Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. Lím f. x 1

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1 Modelo. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción < a ; e > se pide: a) ( punto) Determinar el valor de a para que sea continua en. b) ( punto) Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de en. c) ( punto) Hallar, las tiene, las asíntotas de la gráica y (). a. Para que la unción sea continua en, se debe cumplir: Para que eista límite de una unción en un punto, deben eistir los límites laterales y ser iguales, por lo que la deinición de continuidad se puede escribir de la guiente orma: Se calcula cada término de la igualdad por separado y a continuación se iguala. e e e e Igualando: a a b. Para que la unción sea derivable en debe eistir el límite, deberán eistir los laterales y ser iguales. ( ) ( ) e * L H ( ) e ( ) e ( ), y para que eista el e e e * a la indeterminación se aplica directamente el teorema de L Hopital, el cociente no solo no se mpliica no que aumenta el grado del denominador, por ello se nos debe ocurrir cambiar a la indeterminación. / La unción no es derivable en c. La unción no tiene asíntotas verticales debido a que el dominio de la unción es todo R. Asíntotas Horizontales. L R ± Hacia la unción no tiene asíntota horizontal.

2 e e e Hacia la unción tiene una asíntota horizontal en y. Asíntota Oblicua. Puesto que hacia la unción no tiene asíntota horizontal hay que probar tiene asíntota oblicua. m Lim y m n : ( ) 5 5 m Lim Lim Lim 5 Hacia hay una asíntota oblicua en y 5. Septiembre. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción A > se pide: a) ( punto) Hallar el valor de A para que () sea continua. Es derivable para ese valor de A? b) ( punto) Hallar los puntos en los que (. c) ( punto) Hallar el máimo absoluto y el mínimo absoluto de () en el intervalo [, 8]. a. La unción () esta deinida por epreones polinómicas, que por deinición son continuas en sus respectivos intervalos, por lo tanto, para que la unción sea continua, deberá ser continua en el punto rontera ( ). Para que la unción sea continua en se debe cumplir: se tiene en cuenta que para que una unción tenga límite en un punto debe tener límites laterales en ese punto y además que estos sean iguales, la condición de continuidad en queda: Calculando por separado cada termino de la igualdad e igualando, se calcula el valor del parámetro A. ( ) ( A) A 9 A A 9 A Igualando: 9 A ; A 8 8 > Para que la unción () sea derivable, deberá ser derivable en, y por tanto: ( 8) < < ( ) > > ( ) ( )

3 ( ) ( ) () no es derivable en. b. De las dos epreones que tiene la unción derivada, solo una se puede hacer cero. < ; ; 5 > c. Para calcular los etremos absolutos de la unción en el intervalo [, 8], habrá que tener en cuenta que en este intervalo la unción es una parábola abierta hacia, y que en el intervalo alcanza su vértice ( 5 máimo absoluto). Máimo absoluto. La unción alcanza su máimo absoluto en el vértice de la parábola ( 5) y toma un valor de ( 5) 5 5 Mínimo absoluto. Por ser una parábola abierta hacia, el mínimo se alcanza en alguno de los etremos del intervalo. ( ) ; ( 8) 8 8 Mínimo absoluto ; Máimo absoluto Septiembre. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. a) ( punto) Calcula los límites: y ( e ) b) ( punto) Calcula la integral d ( e ). Hallar el c) ( punto) Halla el dominio de deinición de la unción 9 conjunto de puntos donde la unción tiene derivada c. Dominio 9 { R 9 } 9 : < > La unción tiene derivada en los puntos donde la derivada sea continua 9 D 9 ; 9 > > 9 ( ) ( ) : < < : Dominio[ ] (, ] [, ) La unción tiene derivada en (, ) (, ) ; Septiembre 9. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. Dada la unción: Ln( a) b a > y se pide: a) (,5 puntos). Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la unción es continua en. b) (,5 puntos). Para a b, estudiar la unción es derivable en aplicando la deinición de derivada.

4 a. Para que una unción () sea continua en un punto, se debe cumplir: Por deinición de la unción. Para calcular el límite de la unción cuando tiende a cero, se debe tomar la epreón que tiene la unción en las proimidades de cero, no en el punto cero. Ln ( a) b Ln? Para resolver el límite, y teniendo en cuenta que las epreones que orman la unción son derivables en el entorno de cero, se aplica el teorema de L Hopital. a a b ab b Ln( a) b a a a b ab ( a) La solución del límite depende de los valores que tomen a y b, se presentan dos casos dierentes: a b ab a b ab a b * - a b: ± Discontinua ( a) ( a ) - a b: a b ab a a aa a a a a ( a) ( a) ( a) ( a) ( a ). Para que la unción sea continua: a : a : a b ± * El gno de depende el gno de la dierencia a b. b. ( ) Ln Por deinición: > y ( h) h h Dada la orma que tiene la unción, el límite se hace más ácilmente con el guiente cambio de variable: Ordenando la epreón: h : h : Ln ( ) ( ) L H La unción es derivable en y su derivada Modelo 9. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos Sea Ln ( ) { Ordenando} 6 ( )

5 5 < a) ( punto). Estudiar la continuidad y derivabilidad de (). b) ( punto). Hallar los máimos y mínimos locales de (). c) ( punto). Dibujar la gráica de (). a. La unción () está deinida por epreones polinómicas, por lo tanto su continuidad y derivabilidad solo hay que estudiarla en el punto rontera ( /). Para que la unción sea continua en /, se debe cumplir: 6 6 La unción es continua. Para que la unción sea derivable en /, se debe cumplir: Hace alta la epreón de la derivada. < : 6 : 6 La unción no es derivable en / b. Una unción alcanza un etremo local o relativo en o ( o ) y ( ), con el guiente criterio: ( ) >, en ( o, ( o )) eiste un mínimo; ( ) <, en ( o, ( o )) eiste un máimo. En los puntos donde la unción no sea derivable, se alcanzará un etremo relativo el gno de ( o ) es distinto al gno de ( o ), con el guiente criterio: ( o ) < y ( o ) >, mínimo; ( o ) > y ( o ) <, máimo. () : : 6 : : < 6 (, ()) la unción presenta un máimo local (, ()) la unción presenta un máimo local. local eiste un máimo l, local eiste un máimo 6, 6

6 6 En /, se dan las condiciones de mínimo local: > < En 6, la unción presenta un mínimo local. a. La gráica de la unción se puede obtener por desplazamientos y deormación de la unción y, y calculando los puntos de corte con los ejes. Modelo 9. Ejercicio B. Caliicación máima: puntos Sea: a) ( punto). Estudiar la continuidad y derivabilidad de en. b) ( punto). Estudiar cuándo se veriica que '(). Puesto que ( l ) (), eiste contradicción con el Teorema de Rolle en el intervalo [,]? a. Para poder trabajar con la unción el primer paso será epresar la unción n el valor absoluto. < Continuidad en. Para que la unción sea continua en se debe cumplir:

7 La unción es continua en. Derivable en. Para que la unción sea derivable en se debe cumplir: Calculo de la derivada: < > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < : > ( ) La unción no es derivable en a Modelo 8. B. ( puntos). Se condera la unción () b sí sí < Se pide: a) (,5 puntos). Calcular a y b para que sea continua y derivabe en todo R. b) (,5 puntos). Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el área de la región acotada limitada por la gráica de, el eje horizontal y las rectas,. a. El primer paso será epresar los intervalos n valores absolutos. < < : ± < : : (, ) < : > : [, ) : ± : : (, ] [, ) : : (, ] La epreón de la unción es: a b sí sí sí < < Para que una unción sea continua en un punto, el valor de la unción en el punto debe ser igual al valor del límite de la unción en él, lo cual equivale a que sean iguales los límites laterales en el punto Continúa en : ( ) ( a b) : a( ) b : a b

8 Continúa en : ( a b) : a b : a b En deinitiva se llega a una sola relación. a b La segunda relación se obtiene con la condición de derivabilidad. Una orma sencilla de demostrar la derivabilidad de la unción en un punto rontera (punto donde cambia la epreón de la unción), es demostrar que en dicho punto las derivadas laterales coinciden. La derivada de la unción se obtiene derivando las distintas epreones que la deinen y epresando los intervalos en orma abierta. sí < a sí < < sí > Derivable en ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ( ) : a Derivable en ( ) ( ) ( ) a a : a ( ) Con la condición de derivabilidad se obtiene el valor de a. a 6 Con el valor de a y la condición de derivabilidad, se obtiene el valor de b. a b : b : b a 6 6 Para que la unción sea continua y derivable en todo R su epreón debe ser: sí sí < sí < < ó 6 6 sí sí Nota: Se debe comprobar que la condición de derivabilidad en y en coinciden, en caso contrario, no hubieran eistido valores de a y b que hiciesen continua y derivable a la unción en todo R. a Septiembre 6. Ejercicio A. ( puntos) 8

9 a) ( punto). Calcular los valores de a y b para que la unción < a cos < π a b π sea continua b) ( punto). Estudiar la derivabilidad de () para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. a. La unción () está deinida mediante epreones continuas por deinición (polinómicas y trigonométricas tipo coseno), por lo tanto la continuidad solo se debe estudiar en los puntos rontera (,π). Para que una unción sea continua en un punto ( o ), debe cumplir: o Para que una unción tenga límite en un punto ( o ), debe cumplir: Lim o : Lim Lim Lim o o o por lo tanto la condición de continuidad se puede epresar como Lim Lim Lim o Lim o Lim ( ) Lim ( a cos ) a cos a a o o π Lim π Lim π Lim ( π) π ( a cos ) Lim ( a b) a π b π a cos π a π Teniendo en cuenta que a π π b b b Sustituyendo los valores de a y b se obtiene una unción continua. < cos < π π b. En una unción continua en todo R y deinida por intervalos mediante epreones derivables por deinición (Las unciones polimómicas y trigonométricas tipo seno y coseno son continuas y derivables en todo R por deinición), para estudiar su derivabilidad en los puntos rontera ( o ), hay que comprobar las derivadas laterales en estos puntos coinciden. La derivada de la unción es: ( ) ( ) o o sen < < < π > π 9

10 ( ) ( ) : sen En la unción es continua pero no derivable. π ( ) ( ) ( π ) π sen π π : ( π ) ( π ) π π π En π la unción es continua y derivable Septiembre. Ejercicio B. Caliicación máima: puntos Sea la unción () a. ( punto) Estudiar su continuidad y su derivabilidad. b. ( punto) Dibujar su gráica. c. ( punto) Calcular el área del recinto acotado por la gráica y (), las rectas, 5, y el eje OX. Se pide estudiar una unción en cuya epreón aparece el valor absoluto. El primer paso del estudio es epresar la unción por intervalos, generando estos intervalos los valores que anulen la epreón que lleva el valor absoluto. < > : : > < operando y ordenando () ( ) [ ( ) ] < 8 < () 8 a. Continuidad. Se pide estudiar la continuidad de una unción deinida por intervalos mediante epreones polinómicas. Puesto que los polinomios son continuos y derivables en todo R, los únicos puntos de este tipo de unciones donde hay que estudiar la continuidad y la derivabilidad son los puntos rontera, puntos donde cambia la epreón de la unción( ). Para que la unción sea continua en se debe de cumplir que el valor de la unción y el del límite coincidan. () () - () 8 ( 8 ) - () () () ( 8) La unción es continua en todo R Derivabilidad. Para que la unción sea derivable en, debe de eistir el guiente límite: ( h) ( ) ( ) ó h h empleando la segunda epreón

11 8 8 8 L' H : L' H ( ) No eiste el, por lo que la unción no es derivable en. ( ) ( ) ( ) Otra orma menos ortodoa de estudiar la derivabilidad, es comprobar la derivada por la izquierda en cuatro, coincide con la derivada por la derecha en cuatro 8 < ' 8 > ' ( ) 8 Como ' ' ' 8 La unción no es derivable en cuatro. b. 8 () 8 <. Se trata de ramas parabólicas Junio. Ejercicio B. (Puntuación máima: puntos) Sea la unción real de variable real deinida por ( ) Sí () Sí < (a) (,5 puntos) Razonar la unción es continua en toda la recta real. (b) (,5 puntos) Razonar es derivable en toda la recta real. (c) ( punto) Determinar el área encerrada por la gráica de y por las tres rectas y 8,,. Solución a. Continuidad. La condición necesaria y suiciente para que una unción sea continua en un punto o es que () ( o ) o La unción () es continua en los intervalos (, ) y (, ) por estar deinida por epreones polinómicas, por lo tanto, el único punto donde se debe de comprobar su continuidad es en.

12 Para que la unción sea continua en, se deberá cumplir: () () Se calculan los dos términos de la epreón por separado () ( ) () Lim( ) ( ) () : () () () () Lim Teniendo en cuenta lo anterior () () la unción es continua en y por tanto en todo R. b. Derivabilidad. La condición necesaria y suiciente para que una unción sea derivable en un punto o es que eista el ( o h) ( o ) h h h o h o () ( o ) o o Para que la unción sea derivable en deberá eistir: () () y para que eista este límite, deberán eistir y ser iguales sus límites laterales en. () () () () calculando los limites por separado y teniendo en cuenta las distintas epreones de la unción a la izquierda y derecha del punto, se obtiene: - por la izquierda ( ) 6 ( )( 5 ) () () ( 5 ) ( 5 )

13 - por la derecha () () ( ) ( ) como lo límites laterales son distintos, no eiste el () (), y por tanto, la unción no es derivable. El punto uno es lo que se denomina un punto vértice ó punto anguloso. Se puede hacer la demostración de una orma más sencilla, pero menos ortodoa, y es comprobando las derivadas laterales en el punto en cuestión coinciden o no. Sí ( ) ( ), la unción es derivable en, en caso contrario no. ' () ( ) Sí Sí < > ( ) ' : ' ' No derivable en '( ) Junio 999. A. Caliicación máima: puntos. Se condera la unción e Sí () ² Sí > contestar razonadamente a las guientes preguntas: a) ( punto) Es continua en el punto? b) ( punto) Es derivable en el punto? c) ( punto) Alcanza algún etremo? a. Para que la unción sea continua en : ( e ) e ( ) : Coinciden Continua en e b. Para que la unción sea derivable en se debe cumplir que ( ) ( ) e () Sí Sí >.

14 ( ) e e : ( ) c. Teniendo en cuenta que > R tiene un mínimo absoluto en. ( ) ( ) No es derivable en, la unción no presenta etremos relativos, pero Modelo 999. Ejercicio A. Caliicación máima: puntos. sen Sea k a) ( puntos) Hay algún valor de k para el cual () sea continua en? b) ( punto) Hay algún valor de k para el cual () sea derivable? c) ( punto) Determinar sus asíntotas. a. Para que la unción sea continua en : sen k Teniendo en cuenta el álgebra del calculo de límites: sen sen ( sen ) cos cos L H sen sen k b. Para que una unción sea derivable en un punto, debe ser continua, por lo tanto el único poble valor k para el que la unción puede ser derivable es para el que es continua, por lo tanto se pide estudiar sen la unción es derivable en. Para que la unción sea derivable en, debe eistir el guiente límite: sen sen ( ) ( ) cos sen L H L H sen sen R el límite Es derivable c. Teniendo en cuenta que es continua en todo R, la unción no presenta asíntotas verticales. sen sen Asíntota horizontal: ( ± ) k ± ± ± ± * sen ( ± ) [,] Asíntota oblicua no tiene por tener horizontal Septiembre 99. A. ((Puntuación máima: puntos) Sea la unción () Se pide: a) Hacer un dibujo aproimado de la gráica de la unción. b) Estudiar la derivabilidad de la unción en. c) Calcular el área limitada por la gráica de la unción (), el eje de abscisas y las rectas ;.

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