EJERCICIOS TEMA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE

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1 EJERCICIOS TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE

2 EJERCICIOS TEMA

3 EJERCICIOS TEMA 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicio Demostrar, aplicando el principio de inducción, las siguientes propiedades a) n = n(n + ) ; 8n N; b) n 6 n! si n > 4 Ejercicio Demostrar, aplicando el principio de inducción, las siguientes propiedades a) (n ) = n ; 8n N b) (4n 3) = n(n ); 8n N Ejercicio 3 Demostrar aplicando el principio de inducción n = Ejercicio 4 Hallar los números reales que veri can : jj j j + jj n(n + )(n + ) 6 Ejercicio 5 Estudiar si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos A = f R = < < 5g ; B = f R = 0 < g ; C = f R = 4 g A es abierto en R. B no es abierto en R: C es cerrado en R. Ejercicio 6 Sea el conjunto B = ; ; 3 ; ; n ; Hallar: puntos interiores, frontera, de acumulación y adherentes. B no tiene ningún punto interior. La frontera de B es B [ f0g : El único punto de acumulación de B es el 0. adh(b) = B [ f0g : Ejercicio 7 a) Hallar los números reales que veri can j3 j > j 4j b) Estudiar si el conjunto de puntos que veri can la desigualdad anterior es abierto, cerrado o acotado. a) ( ; 3) [ (; +): b) Es un conjunto abierto. No es un conjunto acotado. Ejercicio 8 a) Hallar los números reales que veri can j j < j 4j b) Estudiar si el conjunto de puntos que veri can la desigualdad anterior es abierto, cerrado o acotado. a) ( 3; ) [ [ ; 5 3 ) = ( 3; ): b) Es un conjunto abierto y acotado. FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio 9 Dada la función demostrar que para ; ( ln + ; ) se cumple la identidad siguiente f( ) + f( ) = f( + + )

4 4 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 0 Hallar el dominio de de nición y la imagen de las funciones siguientes a) y = p ; b) y = jj + a) Dom f = ( ; 0): Im f = (0; ): b) Dom f = R. Im f = [ =; =]: Ejercicio Hallar el dominio de las funciones siguientes a) p 3; b) g() = ln a) Dom f = ( ; ] [ [3; ): b) Dom g = ( ; ): r ! Ejercicio a) Probar que p es estrictamente creciente en el Dom f. b) Probar que es estrictamente decreciente en B = f R= < g. Ejercicio 3 Estudiar si son pares o impares las siguientes funciones a) ln( + p + ); b) + a) f() es impar. b) f() no es par ni impar. Ejercicio 4 Estudiar la paridad de las funciones a) sen cos + 4 ; b) g() = a) f() es una función impar. b) La función g() no es par ni impar. Ejercicio 5 Estudiar si es periódica la función f() es periódica de periodo 4: sen + sen + sen Ejercicio 6 Hallar g [f()] y f [g()] si g() = y : g [f()] = ( ) = ; f [g()] = Ejercicio 7 Hallar la inversa de la función y = ln = ey + p + Ejercicio 8 Estudiar la función inversa de la función y = en el intervalo (0; ) y construir sus grá cas. = p y: Ejercicio 9 Se llama cicloide a la curva descrita por un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar sobre una recta. Supongamos que el punto móvil M, de la circunferencia coincide, al principio del movimiento, con el origen de coordenadas. Determinar las ecuaciones paramétricas de la cicloide. e y = a(t sen t) y = a( cos t) 0 t Ejercicio 0 Se llama astroide a la curva cuyas ecuaciones paramétricas son la siguientes = a cos 3 t y = a sen 3 0 t t Obtener la ecuación de la curva en la forma F (; y) = 0.

5 EJERCICIOS TEMA y 3 = a 3 : Ejercicio Demostrar la fórmula cos + cos y = cos + y Ejercicio Hallar el dominio de de nición de la función cos y p cos(sen ) + arcsen + El dominio de de nición de f() consta sólo de los dos puntos =. Ejercicio 3 Hallar el periodo de las funciones a) T =. b) T = =: a) jsen j ; b) sen cos Ejercicio 4 Demostrar la fórmula ch sh = Ejercicio 5 Demostrar la fórmula ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DEFINICIONES Ejercicio 6 Demostrar, utilizando la de nición correspondiente, que lm ( ) =! Ejercicio 7 Demostrar, utilizando la de nición correspondiente, los siguientes límites! = 7 4 ; b) lm = +; c) lm!( )!+ ln = + Ejercicio 8 Analizar los límites lm. lm. sen ;!+ b) lm sen!0 Ejercicio 9 Hallar los límites siguientes 4! ; b) lm 3 +!j j a) : lm : Ejercicio 30 Hallar cuando! 0 los límites laterales de la función p cos f(0 + ) = p ; f(0 ) = p : Ejercicio 3 Hallar cuando! 0 los límites laterales de la función f(0 + ) = 0; f(0 ) = : + e =

6 6 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 3 Hallar los límites laterales de las siguientes funciones a) + 3 si 3 5 si > cuando! ; b) 5 ( ) 3 cuando! a) f( ) = ; f( + ) = : b) f( ) = ; f( + ) = +: Ejercicio 33 Hallar lm!j j f( ) = ; f( + ) = lm : Ejercicio 34 Hallar f( ) = ; f( + ) = lm : lm! + e INFINITÉSIMOS Ejercicio 35 Calcular los siguientes límites!0 sen 5 ln( + 4) ; b) lm!0 ln cos 4p + ln( + sen 4) ; c) lm!0 e sen 5 a) 5 4 ; b) ; c) 4 5 : Ejercicio 36 Calcular los siguientes límites a) ; b) 3=5; c) ln a. tg!0 e ; b) lm!0 sen 3p ln( + 3) (arctg p ) (e 5 3p ) ; c) lm! (a= ) Ejercicio 37 Calcular : ln( + ) + ln( ) lm!0 INFINITOS Ejercicio 38 Calcular el límite lm ! 7 4 : Ejercicio 39 Calcular los siguientes límites a) ; b) ; c) : 0;000! 7 0 ; b) lm ln!5 00 ; c) lm! Ejercicio 40 Calcular : e 3 lm!! Ejercicio 4 Hallar las constantes a y b para que se veri que + lm a b = 0! +

7 EJERCICIOS TEMA 7 a = ; b =. INDETERMINACIONES Ejercicio 4 Calcular sen ; b) lm!+!+ arc tg 3 a). b) 3 : Ejercicio 43 Calcular p + +!+ p ( np p n a) ; b) lm!a a a) 3 : b) np a an : Ejercicio 44 Calcular [cos ] sen ; b) lm p!0!+ a). b) : Ejercicio 45 Calcular!+ tg ; b) lm arcsen!+ a) =. b). Ejercicio 46 Calcular p ( + 3p ) ; b) lm p!+! a) 0. b) =3. Ejercicio 47 Calcular a) =e. b). cos tg ;!0 b) lm!0 Ejercicio 48 Hallar las constantes a y b para que se veri que p lm + a b = 0! a = ; b = =. ASÍNTOTAS Ejercicio 49 Obtener las asíntotas de las siguientes funciones a) 3 ( + ) ; b) p + + a) Asíntota vertical =. Asíntota oblicua y = : b) La recta y = 3 es asíntota oblicua por la derecha. La recta y = es asíntota oblicua por la izquierda. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINICIONES

8 8 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 50 Estudiar la continuidad de las funciones siguientes en los puntos que se indican. a) sen si 6= 0 si = 0 en = 0; b) en = a) En el punto = 0 la función es continua. b) La función no eiste en el punto = cual no es continua. ; con lo Ejercicio 5 Estudiar la continuidad de la función parte entera E(): tiene puntos de discontinuidad no evitables en todo valor entero de la variable independiente. El salto es s = : Ejercicio 5 Sea la función 4 Cómo podemos elegir el valor de f() en = para que f sea continua en este punto?. f() = 4: Ejercicio 53 Estudiar en = 0 la continuidad de la función sen si 6= 0 0 si = 0 tiene discontinuidad de a especie. Ejercicio 54 Estudiar la continuidad de las funciones siguientes en los puntos que se indican 8 < =5( + 3) si < a) 6 5 si < < 3 en = y = 3 : 3 si 3 < si 3 b) g() = en = 3 3 si > 3 c) h() = j 3j 3 si 6= 3= 0 si = 3= en = 3= a) f() es continua en = : f() es discontinua de a especie en = 3, no evitable, salto 9: b) g() es discontinua de a especie en = 3, no evitable, salto 3. c) h() es discontinua de a especie en = 3=, no evitable, salto. Ejercicio 55 Estudiar la continuidad en = 0 de la función cos si 6= 0 0 si = 0 discontinuidad de a especie en = 0. Ejercicio 56 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones a) sen(e +5 ); b) sen3 + + cos a) f() es continua en R: b) k = 3 + k (k = 0; ; ; :::) son los puntos de discontinuidad de la función. Ejercicio 57 Estudiar la continuidad en R de las funciones ( 8 si < < a) ; b) si : tg( + ) + si 6= si = a) f() es continua en R fg. b) f() es continua en R:

9 EJERCICIOS TEMA 9 Ejercicio 58 Estudiar la continuidad en R de la función 8 >< si < 0 e = 0 si = 0 >: p + si > 0 f() es continua en R f0g. Ejercicio 59 Determinar los valores de los parámetros a y b para que f sea continua en todo R: 8 < sen si a sen + b si : < < cos si a = ; b = : Ejercicio 60 Estudiar la continuidad en R de la función ( sen( ) ( ) si 6= 0 si = f es continua en R: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Ejercicio 6 Probar que = 0 tiene alguna raíz real y dar un intervalo en el que esté contenida. ( 4; 3). Ejercicio 6 Probar que las grá cas de las funciones ln y g() = e se cortan en algún punto y localizarlo aproimadamente. las grá cas se cortan en algún punto de (; ). Ejercicio 63 Dada la función 4 4 si 0 = e si < se cumple que f(0) = < 0 y f() = e > 0: Sin embargo no eiste ningún c (0; ) tal que f(c) = 0: Contradice esto el teorema de Bolzano?. No hay contradición. Ejercicio 64 La función y = tg toma valores de signos distintos en los etremos de no se anula en él. Contradice ésto el teorema de Bolzano?. No hay contradición. 4 ; 3 4, y sin embargo, Ejercicio 65 Si el término independiente de un polinomio P () es 5 y el valor que toma P () en 3 es 7, razonar que hay algún punto en (0; 3) en el que P () toma el valor ( ) : Ejercicio 66 Demostrar que todo polinomio de potencia máima impar tiene al menos una raíz real. DEFINICIONES DERIVADA Y DIFERENCIAL Ejercicio 67 Comprobar si es derivable en = 0 la función sen si 6= 0 0 si = 0 f es derivable en = 0, y su derivada vale f 0 (0) = 0.

10 0 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 68 Comprobar si es derivable en = 0 la función cos si 6= 0 si = 0 f 0 (0) = 0: Ejercicio 69 Estudiar en los puntos = y = 0 la derivabilidad de la función 8 < ( + ) si si < < 0 : sen si 0 f() es derivable en = y f 0 ( ) = : No eiste f 0 (0): Ejercicio 70 Estudiar en los puntos = 0 y = = la derivabilidad de la función 8 < si 0 cos si 0 < < = : ( =) si = f() es derivable en = 0 y f 0 (0) = 0: No eiste f 0 (=): Ejercicio 7 Estudiar si es derivable en = la función j ln j f 0 +() = ; f 0 () = ; no es derivable. Ejercicio 7 Estudiar en = 0 las derivadas laterales de la función f 0 +(0) = ; f 0 (0) = : 3p Ejercicio 73 Hallar en el punto (; 4) las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y = la ecuación de la tangente es y 4 = 9( ) y la ecuación de la normal y 4 = 9 ( ): Ejercicio 74 Hallar el ángulo bajo el que se cortan la recta y = 4 y la parábola y = 4 =. ambas curvas se cortan bajo un ángulo de aproimadamente 8;45 o : Ejercicio 75 Recordando el signi cado geométrico de la derivada, determinar el ángulo formado en el punto = 0 por las tangentes a la izquierda y a la derecha de la curva p y = e =: Ejercicio 76 Demostrar que la curva no puede tener tangente en el punto = 0. y = e jj f 0 +(0) = ; f 0 (0) = : Ejercicio 77 Tiene tangente la curva y = arcsen sí. + en el punto = 0?. Ejercicio 78 Determinar todos los valores de los parámetros m y n para los cuales la función sen si < m + b si a) es continua en = y b) es derivable en = :

11 EJERCICIOS TEMA a) f() es continua en = para todo par de valores de m y n tales que: m + b = 0: b) f() es derivable en = si m = ; y b = : Ejercicio 79 Demostrar que la función no es derivable en =. ( +e Ejercicio 80 Estudiar la derivabilidad de la función no es derivable en = 0; = y =. si 6= 0 si = (j + j j j) Ejercicio 8 Estudiar en = 0 la derivabilidad de la función no es derivable. arc cos(cos ) Ejercicio 8 Determinar todos los valores del parámetro para los cuales la función sen si 6= 0 0 si = 0 a) es continua en = 0. b) es derivable en = 0: a) > 0; b) > : Ejercicio 83 Estudiar en = 0 la continuidad y derivabilidad de la función Construir su grá ca. sen + jj jj es continua y no es derivable. Ejercicio 84 Estudiar en = ; = y = 3 la derivabilidad de la función j j + j 3j no es derivable en ninguno de esos puntos. Ejercicio 85 Hallar, utilizando la de nición, la derivada de la función constante k f 0 () = 0: Ejercicio 86 Hallar, utilizando la de nición, la derivada de la función sen f 0 () = cos. Ejercicio 87 Hallar, utilizando la diferencial, el valor aproimado de a) sen 46 o ; b) 3p 8;0 a) sen 46 o ' 0;7944. b) 3p 8;0 ' ;006667: Ejercicio 88 Hallar dy; para = 0 y d = 0.; de la función y = ln( + e 0 ) + arctg e 5

12 EJERCICIOS TEMA dy =.5: Ejercicio 89 Calcular el incremento y la diferencial de la función y = 3 5 a 5.0: cuando varía desde y = ; dy = 0.05: Ejercicio 90 Empleando el concepto de diferencial, hallar el valor aproimado de a) cos 3 o ; b) 5p 33 a) ; b).05: TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Ejercicio 9 Hallar la derivada de las funciones siguientes a) arctg() ln p + 4 ; b) cos 4 (3 + ) a) f 0 () = arctg(); b) f 0 () = 4(3 + ) cos 3 (3 + ) sen(3 + ) Ejercicio 9 Hallar la derivada de la función y = arcsen p + ln( ) y 0 = arcsen ( ) 3= Ejercicio 93 Hallar y 0 () siendo a) = y p y; b) = 3y cos y a) y 0 = p y 4y 5y ; b) y0 = 3 + sen y Ejercicio 94 Hallar la pendiente de la tangente en un punto cualquiera de la curvas de ecuaciones parámetricas = a(t sen t) = ln(cotg t) a) 0 t ; b) y = a( cos t) y = tg t + cotg t a) y 0 = a(sen t) a( cos t) ; b) y0 = cotg t Ejercicio 95 Hallar la derivada y 0 () de las funciones dadas en forma paramétrica = e a) t = a(ln tg t ; b) + cos t sen t) y = arctg(t + ) y = a(sen t + cos t) a) y 0 = e t t+t(t+) : b) y 0 = tg t: Ejercicio 96 Hallar la derivada y 0 () de la función dada en forma paramétrica ) t = arcsen p +t y = arc cos p +t y 0 = t: Ejercicio 97 Hallar la pendiente de la tangente en el punto (a= p ; b= p ) a la elipse a + y b =

13 EJERCICIOS TEMA 3 y 0 = b a : Ejercicio 98 Hallar dy=d si y es una función derivable de que veri ca sen( + y) = y (3 + ) y 0 = 3y cos( + y) cos( + y) y(3 + ) Ejercicio 99 Hallar la derivada de las funciones dadas en forma implícita a) y 0 = y+ ; b) y0 = y3 3 y 3 3y. a) y + y = 0; b) 3 y y 3 = Ejercicio 00 Hallar la derivada de las funciones dadas en forma implícita a) + p y + y = a; b) arctg y = ln p + y a) y 0 = p y+y p y+ ; b) y0 = +y y. Ejercicio 0 Calcular, mediante el empleo de logaritmos, la derivada de las funciones a) y = ; b) y = ( + )p e a) y 0 = (ln + ); b) y 0 = + 5 ( ) ( + )p e Ejercicio 0 Calcular, mediante el empleo de logaritmos, la derivada de la función y0 = (a ch a + b)y: y = sh a e sh b ch b DERIVADAS SUCESIVAS Ejercicio 03 Sea la función 8 < sen si > 0 0 si = 0 : 3 6 si < 0 Cuántas veces es derivable en = 0?: la función es derivable sólo cuatro veces en = 0. Ejercicio 04 Sea jj 3 Calcular f 0 () y f 00 (). Demostrar que no eiste f 000 (0): f 0 () = 3 si 0; 3 si < 0: f 00 () = 6 si 0; 6 si < 0: No eiste f 000 (0) pues f (0) = 6; f 000 (0) = 6: Ejercicio 05 Hallar las derivadas n-ésimas de las siguientes funciones elementales a) e ; b) ln ; c) k ; d) sen ; e) cos a) f (n) = e ; b) f (n) = ( )n (n )! n ; c) f (n) k! = (k n)! k n d) f (n) = sen( + n ); e) f (n) = cos( + n )

14 4 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 06 Calcular la derivada de orden 00 de la función cos ( ) f (00) () = cos( + 00 ) ( ) 00 cos( + 99 ) cos( + 98 ) Ejercicio 07 Calcular la derivada n-ésima de la función sen f (n) () = n cos + n Ejercicio 08 Calcular la derivada n-ésima, en = 0; de la función f (n) (0) = n! si n es par 0 si n es impar Ejercicio 09 Calcular la derivada n-ésima, en = 0; de la función y (n+) (0) = ( ) n (n)!; y (n) (0) = 0: arctg Ejercicio 0 Calcular la derivada n-ésima de la función f (n) () = ln n a a : a Ejercicio Calcular la derivada n-ésima, en = 0; de la función f (n) (0) = ( ) n 8 n! ( 3) n+ ( ) n+ Ejercicio Calcular la derivada n-ésima, en = 0; de la función f (n) (0) = n!: n.e Ejercicio 3 Calcular la derivada primera, en = 0; de la función f 0 (0) = 000!: Ejercicio 4 Hallar las derivadas dy d ; d y d dy d = b cos t a sen t ; d y d = ( )( ):::( 000) b a sen 3 t : de la curva de ecuaciones parámetricas = a cos t y = b sen t

15 EJERCICIOS TEMA 5 Ejercicio 5 Calcular el valor de y 00 ; en el punto donde y = 0; si la función viene de nida implicítamente por la ecuación p + y = e arctg y y 00 = ( +y ) ( y) 3 : Ejercicio 6 Calcular y 00 () si la función viene de nida implicítamente por la ecuación y 00 = (+y ) y 5 : arctg y y + = 0 Ejercicio 7 Comprobar que la función y() de nida paramétricamente por las ecuaciones = e t sen t y = e t cos t veri ca la ecuación ( + y) y 00 + (y y 0 ) = 0 Ejercicio 8 La fórmula para calcular la curvatura de una curva dada en forma eplícita por y = y() es k = y 00 ( + y 0 ) 3= Deducir la que corresponde a una curva dada en forma paramétrica y aplicarla para = a(t sen t) con t = y = a( cos t) k = p jaj : APROXIMACIÓN MEDIANTE POLINOMIOS DE TAYLOR Ejercicio 9 Obtener los polinomios de Maclaurin (a = 0) de las funciones elementales siguientes a) e ; b) sen ; c) cos ; d) ln( + ); e) ( + ) a) P n () = +! +! b) P n () =! c) P n () = d) P n () = e) P n () = 0 + ::: + n n! 3 3! + ::: + ( )n n (n )!! + + ::: + ( )n n (n)! + 3 n + ::: + ( )n 3 n + + ::: + Ejercicio 0 Obtener el polinomio de Maclaurin (a = 0), de la función cosh P n () = +! + 4 n + ::: + 4! n! n n Ejercicio Calcular de forma aproimada el número e utilizando su polinomio de Maclaurin de grado n = 8. Acotar el error. e ' ; ; jrj < 3 6 = 8;7 0 9!

16 6 EJERCICIOS TEMA Ejercicio Calcular de forma aproimada ln(;) tomando el polinomio de Maclaurin de ln(+) de grado n = : Acotar el error. ln(;) ' 0;; jrj < (0;) = 0;005 Ejercicio 3 Obtener el polinomio de Taylor (a = 8), de la función 3p : Calcular 3p 8;03 con un error menor de 0 8 : P n () = + 3 ( 8) +! 3 3 ( 8) n 5 8 ::: (3n 4) ( 8) n 5 +:::+( )! 3 n 3n n! p 3 8;03 ' P (8;03) = + 3 (0;03) + (! )(0;03)! Ejercicio 4 Dada la función p + a) Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado de f en = 0. b) Calcular un valor aproimado de p ;0 utilizando el polinomio de segundo grado. a) ; b) ;00995 Ejercicio 5 a) Calcular el polinomio de MacLaurin (a = 0), de grado n; de la función b) Calcular ; + de forma aproimada, tomando n =, y acotar el error cometido. a) ::: + ( ) n n ; b) 3 ' 0;9; jrj < 0 ; Ejercicio 6 a) Calcular el polinomio de MacLaurin (a = 0), de grado n; de la función 3 + e b) Calcular f() de forma aproimada, considerando el polinomio de grado n = 3. c) Acotar el error cometido en el apartado anterior. Ejercicio 7 Sea f() la función a) +! +! + 73 n + ::: + 3! n! ; b) f() ' e ; c) jrj < 3 4 e a) Calcular su polinomio de MacLaurin en a = 0. b) Calcular de forma aproimada f() = e con el polinomio de grado n = 3: Acotar el Error. a)! + n + ::: +! n! n; b) e ' ;5; jrj < 5 8 Ejercicio 8 Calcular el polinomio de Taylor, centrado en a =, y de grado n, de la función ln p ( ) ( ) + ::: + ( )n ( )n n

17 EJERCICIOS TEMA 7 Ejercicio 9 Aplicando el polinomio de Maclaurin (a = 0), de la función ch de grado 3; calcular ch 0;5 y acotar el error cometido. ch 0;5 ' ;5; jr 3 (0;5)j < 3;9 0 3 Ejercicio 30 Aproimar tg por el polinomio de Maclaurin (a = 0) de grado 3: Acotar el error cometido si se tomara = 0;. tg ' : jr 3(0;)j < 0 4 Ejercicio 3 Veri car que para e = cos se cumple f (4) () = 4 f(). Hallar el polinomio de MacLaurin de orden 6. P 6 () = + ( ) + ( ) + ( 4 )3 + ( 4 )4 + ( 8 )5 + ( 8 )6 Ejercicio 3 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular los siguientes límites!0 ln( + ) + ; b) lm!0 sen cos sen 3 cos a) 3 ; b) : Ejercicio 33 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular los siguientes límites!0 p + cos tg 4 ; b) lm!0 sen cos sen a) =3; b) =3. Ejercicio 34 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular a) =3. TEOREMA DE ROLLE Ejercicio 35 Sea la función sen cos lm!0 ln ( + ) Comprobar si veri ca las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0; 3]: sí, c = : Ejercicio 36 Sea la función cos Comprobar si veri ca las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [; 5]: sí, c = ; 3 y 4: Ejercicio 37 La función + jj jj toma valores iguales en los etremos del intervalo [ =; =] pero su derivada no se anula en ningún punto de dicho intervalo. Contradice ésto el teorema de Rolle?. no.

18 8 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 38 Demostrar que si n N y es impar, la ecuación tiene una única raíz real. Ejercicio 39 La ecuación n + + = 0 e = 0 admite la raíz real = 0: Probar que no puede tener otra. Ejercicio 40 Estudiar si las siguientes funciones veri can las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos que se indican. En caso a rmativo hallar el punto c intermedio donde f 0 (c) = 0: a) p 3 ( ) en [0; ]; b) 3 9 en [ 3; 3]; c) sen en [ ; ] a) no; b) sí, c = p 3; c) no. Ejercicio 4 Demostrar que la ecuación 6 4 el intervalo (0; ) = 0 no puede tener dos raíces reales distintas en Ejercicio 4 Demostrar que la ecuación a 3 + b + c + d = 0 tiene sólo una raíz real si b 3ac < 0: Ejercicio 43 Demostrar que la ecuación 3 + a + b = 0; con a < 0, tiene a lo sumo una raíz real en el intervalo p p 3jaj; 3jaj 3 3 Ejercicio 44 Sea P () un polinomio. Demostrar que entre dos raíces consecutivas de P 0 () sólo puede eistir una de P (): Ejercicio 45 Demostrar que la ecuación 3 intervalo [0; ]. 3 + m = 0 no puede tener dos raíces reales distintas en el Ejercicio 46 Demostrar que la derivada de tiene in nitas raíces en el intervalo (0; ): sen si > 0 0 si = 0 Ejercicio 47 Determinar el número de raíces reales positivas de la ecuación + = e + Dar un intervalo de longitud en el que esté contenida cada una de ellas. tiene una raíz en (; ): Ejercicio 48 Cuántas soluciones tiene la ecuación: = sen en el intervalo [ 5; 5]?. una. Ejercicio 49 Sea p() = a Demostrar que: a) El polinomio p() posee a lo sumo una raíz en el intervalo [ polinomio p() posee una raíz en [ ; ] si, y sólo si, jaj < 4: ; ], para todo a R: b) El TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE Ejercicio 50 Sea la función 3 Comprobar si veri ca las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [ ; ]:

19 EJERCICIOS TEMA 9 sí, c = : Ejercicio 5 Sea la función 3p 4 Comprobar si veri ca las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [ ; ]: sí, c = 0: Ejercicio 5 Sea la función ( 3 si 0 si < Comprobar si veri ca las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0; ]: c = ; c = p : Ejercicio 53 Estudiar si las siguientes funciones a) p en [0; ]; b) + p + q en [a; b] veri can las hipótesis del teorema de Lagrange en los intervalos que se indican. En caso a rmativo hallar el punto c intermedio. a) sí, c = p 3 ; b) sí, c = a+b : Ejercicio 54 Sea la función ( si 0 a + b si > 0 con 0 < 0 <. a) Determinar los coe cientes a y b para que f() veri que las hipótesis del teorema de Lagrange en [0; ]. b) Tomando 0 = hallar el punto c intermedio. a) a = 0 ; b = 0. b) c = 3 4 : Ejercicio 55 Demostrar que si > 0 se cumplen las desigualdades < ln( + ) < + Ejercicio 56 Demostrar que para ; y R se cumple la desigualdad arctg y arctg y Ejercicio 57 Demostrar que para R se cumple la desigualdad ln( + ) > + Ejercicio 58 Demostrar que para [ ; ] se cumple la igualdad arctg arcsen + = 0 Ejercicio 59 Demostrar que para se cumple la igualdad arctg + arcsen + = Ejercicio 60 Demostrar que para se cumple la igualdad arctg + arcsen + = Ejercicio 6 Comprobar si satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en [ 3; 3] las funciones e ; g() = +

20 0 EJERCICIOS TEMA f y g no, pero g y f sí. Ejercicio 6 Aplicar el teorema de Cauchy en [0; 3] y calcular c para las funciones c = 3+p 4. REGLA DE L HÔPITAL Ejercicio 63 Calcular a) 0; b) cos : 3 ; g() = ln ( + ) sen cos ln( ) ; b) lm!0 e! ln(e e ) Ejercicio 64 Calcular a) +; b) :!+ ( ln ); b) lm!0 Ejercicio 65 Calcular lm!. No es aplicable la regla de l Hôpital. sen + sen Ejercicio 66 Calcular + + sen cos lm! ( + sen cos ) e No es aplicable la regla de l Hôpital. Ejercicio 67 Calcular 0: No es aplicable la regla de l Hôpital. sen lm!0 sen Ejercicio 68 Calcular, aplicando la regla de l Hôpital a) ; b).!0 + ln ln(ln( + )) ; b) lm! e e sen Ejercicio 69 Calcular, aplicando la regla de l Hôpital ln ( + ) sen ; b) lm ln( +!0 + e )! a) 0; b) =. Ejercicio 70 Calcular, aplicando la regla de l Hôpital a) =3; b). cotg cos sen!0 ; b) lm!0 sen CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Ejercicio 7 Hallar los intervalos donde son estrictamente crecientes o decrecientes las funciones a) ; b) ln jj

21 EJERCICIOS TEMA a) estrictamente creciente en ( ; ) [ (3; ) y estrictamente decreciente en ( ; 3) ;b) estrictamente decreciente en ( ; 0) y estrictamente creciente en (0; +) : Ejercicio 7 Demostrar que es creciente la función + cos a Deducir que la ecuación + cos a > : a = 0 no tiene raíces positivas si a < y que tiene una raíz positiva si Ejercicio 73 Hallar los intervalos donde son estrictamente crecientes o decrecientes las funciones a) ln ; b) e a) estrictamente creciente en (=; ) y estrictamente decreciente en (0; =) ; b) estrictamente creciente en (0; ) y estrictamente decreciente en ( ; 0) [ (; +): Ejercicio 74 Hallar los intervalos donde son estrictamente crecientes o decrecientes las funciones a) ; b) a ln a) estrictamente creciente en (e; ) y estrictamente decreciente en (0; ) [ (; e); b) estrictamente decreciente en ( ; a) [ (a; +): CONDICIONES SUFICIENTES DE EXTREMO RELATIVO Ejercicio 75 Estudiar, mediante el criterio de la derivada primera, los puntos críticos de las funciones a) ; b) =3 ( 4); c) + 3 si 6= 0 4 si = 0 a) máimo relativo en = y mínimo relativo en = 3; b) mínimo relativo en = ; c) máimo relativo en = 0. Ejercicio 76 Estudiar, mediante el criterio de la derivada segunda, los puntos críticos de las funciones a) ; b) a) máimo relativo en = y mínimo relativo en = 3; b) máimo relativo en = relativo en =., mínimo Ejercicio 77 Estudiar los puntos críticos de las funciones a) ; b) ( + ) 0 a) mínimo relativo en = ; b) mínimo relativo en = : Ejercicio 78 Estudiar, utilizando los criterios de la derivada primera y de la derivada segunda, los puntos críticos de las funciones a) ; b) ( + ) 3 ( 3) a) = es mínimo, = 0 es máimo, = 3 es mínimo; b) = no es etremo, ' 0;8 es mínimo, ' ;78 es máimo, = 3 es mínimo. Ejercicio 79 Estudiar el punto crítico = 0 de la función mínimo. ch + cos Ejercicio 80 Hallar los etremos relativos de la función + siendo n N. +!! + : : : + n n! e

22 EJERCICIOS TEMA si n es impar hay un máimo en = 0: Ejercicio 8 Estudiar el punto crítico = 0 de la función máimo. EXTREMOS ABSOLUTOS sen Ejercicio 8 Determinar los etremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican a) en [0; ] ; b) ( + ) 0 en [ ; ] a) máimo absoluto en = 0 y en = y mínimo absoluto en = ; b) máimo absoluto en = y mínimo absoluto en =. Ejercicio 83 Determinar los etremos absolutos de la función + en el intervalo 00 ; 00 mínimo absoluto en =, máimo absoluto en = 00 y = 00: Ejercicio 84 Demostrar que la función = si > 0 3 si 0 alcanza un mínimo en = 0, aunque su derivada no cambia de signo en ese punto. Calcular su máimo y mínimo absolutos. máimo absoluto: + y mínimo absoluto: 0: Ejercicio 85 Calculando los etremos absolutos, demostrar las siguientes desigualdades a) + ; 8 > 0; b) cos > ; 8 6= 0 Ejercicio 86 Estudiar los etremos relativos de las funciones a) 50 p ; b) e a) = mínimo relativo: 3 es máimo relativo, = 0 es mínimo relativo, = es máimo relativo; b) = 0 es CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Ejercicio 87 Determinar los puntos de in eión y los intervalos de concavidad y conveidad de las funciones a) convea en b) convea en a) + 43 ; b) e ; 3p 4 [ (0; ) y cóncava en ; p [ ( p ; ) y cóncava en p ; p 3p 4 ; 0 : El único punto de in eión es = 3p 4 ; : Dos puntos de in eión en = p : Ejercicio 88 Determinar los puntos de in eión y los intervalos de concavidad y conveidad de las funciones a) 3p 3p + ; b) jj =3 a) convea en ( ; 0) y cóncava en ( ; ) [ (0; +); puntos de in eión = y = 0; b) cóncava en ( ; +), sin puntos de in eión.

23 EJERCICIOS TEMA 3 Ejercicio 89 Determinar los puntos de in eión y los intervalos de concavidad y conveidad de la curva de Gauss e convea en ( = p ; = p ) y cóncava en ; = p [ (= p ; +); puntos de in eión = = p y = = p : Ejercicio 90 Demostrar que los posibles puntos de in eión de y = sen están sobre la curva y (4 + ) = 4 Ejercicio 9 Sea f() una función estrictamente positiva y dos veces derivable al menos. Se considera la función g() = ln(f()). Demostrar que g() es convea si lo es f(). CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Ejercicio 9 Construir la grá ca de la función 3 ( + ) máimo relativo en = 3, punto de in eión en = 0; asíntota vertical =, asíntota oblicua y = : Ejercicio 93 Construir la grá ca de la función 3p ( ) mínimo relativo en = 0, máimo relativo en = 3, punto de in eión en =, asíntota oblicua y = + 3. Ejercicio 94 Construir la grá ca de la función + 43 mínimo en = =; punto de in eión en = 0;63; asíntota vertical = 0. Ejercicio 95 Construir la grá ca de la función ln( + e ) decreciente y cóncava; asíntota oblicua y =. Ejercicio 96 Razonando adecuadamente, dibujar la grá ca de la función y = f(); en un entorno su - cientemente pequeño del punto = ; conociendo las condiciones f( ) = ; f 0 ( ) = ; f 00 ( ) = 0; f 000 () > 0 OPTIMIZACIÓN EN INGENIERÍA Ejercicio 97 En un taller se quiere construir una caja abierta con una lámina de metal de 4 cm de ancho y 45 cm de largo. Para ello se cortan cuatro cuadrados iguales en las esquinas y se doblan hacia arriba las pestañas. Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que el volumen sea máimo?. la caja de volumen máimo se obtiene con 4 cm de ancho, 35 cm de largo y 5 cm de profundidad. Ejercicio 98 Un campo de futbol tiene por dimensiones: 00 m de largo por 6 m de ancho, estando la porteria, de m de ancho situada a 5 m del corner. Desde qué punto de la banda será más fácil meter gol en la portería?. debe lanzarse a 30 m de distancia del corner.

24 4 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 99 Un operario debe cercar una zona rectangular para que los niños jueguen, dentro de un terreno con forma de triángulo rectángulo de catetos 4 y metros y le han puesto como condición que dos lados del parque infantil estén sobre los catetos. Hallar el área máima que puede tener dicho parque infantil. las dimensiones del parque serán pues de m de ancho y 6 m de largo. Ejercicio 00 Dos pueblos P y Q están en distintas orillas de un río de 5 km de ancho, como se muestra en la gura. Pedro, que vive en P, tiene su novia en Q y quiere llegar a verla en el mínimo tiempo posible. Hallar el camino que debe seguir, sabiendo que Pedro nada a una velocidad constante de 3 km= h y camina a una velocidad constante de 5 km= h. el trayecto que debe recorrer andando: = 5 4 ' 8;5 km. Ejercicio 0 Los cauces de dos ríos r y r tienen por ecuaciones r : y = 0 y r : y = 0 (con las coordenadas en kilómetros). Se pretende construir un canal rectilíneo que una ambos ríos. Sabiendo que el coste de cada kilómetro de canal es de 90000e, hallar el coste mínimo. el coste mínimo es 369e. Ejercicio 0 Una compañía de autobuses alquilará uno con capacidad para 50 personas a grupos de 36 o más. Si un grupo consta de 36 personas, pagará cada una 60e. Para grupos mayores, se reduce e el precio por persona, por cada una que eceda de 36. Determine el tamaño del grupo que hace máimo el ingreso de la compañía. 48 personas. Ejercicio 03 Un cultivador de naranjas de Valencia estima que, si planta 60 naranjos, obtendrá una cosecha media de 400 naranjas por árbol. Este número bajará 4 unidades por cada árbol más que se plante en el mismo terreno. Hallar el número de árboles que hace máima la cosecha. 80 naranjos. Ejercicio 04 Una ventana tiene la forma de un rectángulo rematado en su parte superior con un semicírculo, y se quiere contornear con p metros de borde metálico. Hallar el radio de la parte semicircular si el área de la ventana ha de ser máima. r = p +4 : Ejercicio 05 La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cubo de la altura. Hallar el ancho de la viga de máima resistencia que se puede obtener de un tronco de madera de 6 cm de diámetro. 8 cm. Ejercicio 06 Inscribir en una esfera de radio R, un cilindro de super cie lateral máima. radio del cilindro r = R= p : Ejercicio 07 El precio del diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que rompiéndolo en dos partes, eiste una depreciación de su valor, y que esta depreciación es máima cuando las dos partes son iguales. Ejercicio 08 Dos postes de y 8 m de altura distan entre sí 30 m. Desea tenderse un cable, jado en un único punto del suelo, entre las puntas de ambos postes. En qué punto del suelo hay que jar el cable para usar la menor cantidad posible de cable? a 9 m del poste bajo. Ejercicio 09 Un espejo plano de forma cuadrada de 80 cm de lado se ha roto por una esquina según una recta. Uno de los trozos tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 40 y 3 cm: Calcular el área máima del espejo rectangular que puede recortarse del otro trozo, de modo que los bordes del nuevo espejo sean paralelos al primitivo. 390 cm :