PROBLEMARIO DE CÁLCULO 20. Semestre A Prof. Cosme Duque

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1 PROBLEMARIO DE CÁLCULO 0 Semestre A-010 Prof. Cosme Duque

2 TEMA 1 DERIVADAS 1. Derivada en un punto. Derivabilidad. Derivadas laterales. (a) Encuentre las pendientes de las recta tangente a la curva y = +1 en los puntos en donde =, 1, 0, 1, (b) Suponga que un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado de modo que su distancia dirigida, medida desde el origen, después de t segundos es t + 1 pies. i. Encuentre su velocidad instantánea en t = α, α > 0. ii. Cuándo alcanzará una velocidad de 1/ pie por segundo? (c) Debido a un derrame, el radio de una mancha circular de aceite está creciendo a una velocidad constante de kilómetros por día. A qué velocidad está creciendo el área del derrame 3 días después de que inicio?. (d) En los siguientes ejercicios use la definición de derivada para calcular los que se indica: i. Si f() = , calcule f (1). ii. Si f() = cos, calcule f (π). (e) En cada uno de los siguientes ejercicios se da un límite que es una derivada f ( 0 ) de alguna función f() en algún punto 0 de su dominio. Identifique la función f() así como el punto 0. Calcule el límite indicado. i. h h 4 5 h ii. h 0 h 4 + 3h + 5h h (f) En los siguientes ejercicios estudie la derivabilidad de la función f() en el punto 0 indicado. i. f() = 1, en 0 = 1 y 0 = 1. ii. { f() = si si > 1, 0 = 1 iii. f() = 3 en 0 = 0, iv. f() = 1 si 1 1 si = 1, 0 = 1. La función derivada. Derivada de funciones elementales (tabla de derivadas). Propiedades de la derivada. 1

3 (a) En cada uno de los siguientes problemas encuentre la derivada de f() utilizando las reglas de esta sección. f() = 3 3, f() = , f() = (3 + )( ), f() = + 1, + 1 f() = f() = sin + 3 cos cot + tan, f() = sin, cos + sin, f() = e 1 cot sin + ln, f() = sin sinh + cos cosh, f() = sec 3. (b) Si f(0) = 4, f (0) = 1, g(0) = 3, g (0) = 5, encuentre (a) (f.g) (0), (b) (f + g) (0), (c) (f/g) (0). (c) Utilice la regla del producto para mostrar que D [f()] = f()d [f()]. (d) Utilice la definición de derivada para demostrar que D (sin( ) = cos( ). 3. Interpretación geométrica de la derivada: Recta tangente y recta normal. Relación entre funciones continuas y funciones derivables. (a) Encuentre la ecuación de las rectas tangente y normal a y = + en el punto (1, 1). (b) Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = 3 donde la recta tangente es horizontal. (c) Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de la parte superior de la curva y = 7. Una araña espera en el punto (4, 0). Determine la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. (d) Demuestre que las curvas y = sin y y = cos se intersectan en un ángulo recto en cierto punto con 0 < < π/. (e) En qué punto la recta tangente a la parábola y = es paralela a la recta 5 + y 3 = 0?. (f) Establezca una ecuación de la recta normal a la parábola y = que es paralela a la recta 3y = 5. (g) Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola y = que pasa por el punto (1, 0) a la misma parábola? (h) Hallar una función cúbica y = a 3 + b + c + d cuya gráfica tiene una tangente horizontal en los puntos (, 6) y (, 0).

4 4. Derivada de la función compuesta (regla de la cadena). (a) Hallar la derivada de las siguientes funciones: f() = ( a + b ) 3, f() = 1 c, f() = (3 sin) 5 f() = + 5 cos 3, f() = csc + sec, f() = e +, f() = 3 e ln 6, f() = ln(e + 5 sin 4 arcsin ), f() = 1, 5 f() = sin 3 (5) cos (/3) f() = 1 ( ) 1 cos, f() = cosa cos, f() = (1 + ) (1 + sin 3) 3 (1 sec ), f() = sin 3, f() = e cot + 1 sin + ln, f() = ln (1 + ln ) ( + ln 3 ) 3, f() = (1 + (1 + ln) ) 3 e + e 3, f() = e + 3e, f() = 4 sinh cosh, f() = sin sinh + cos cosh, f() = sin (ln ) + cosh (ln ), f() = sinh + cosh, f() = e tan( ) tanh( ), + sinh f() = + cosh f() = ln(ln(ln )) + ln (ln ), f() = e sin, f() = cosh ( + e sinh +cosh() + e sin()+cos ), f() = cosh( e sinh ) ( ) sin a sin f() = arcsin, f() = log 1 cosacos e, f() = cosh sinh ln(coth(/)), f() = arctan(tanh) 3

5 (b) Sea f() una función derivable cuya gráfica para por el punto (1, 1), tal que f 1 (1) =. Sea φ() = f 5 (). Calcule φ (1). (c) En los siguientes ejercicios, suponga que f() es una función derivable definida en todo IR. Calcule la derivada de la función F() indicada. i. F() = f( + 1), ii. F() = f( + f( + f())), iii. F() = f(3e f( ) ). (d) Sea f : IR IR una función derivable par. Muestre que su derivada f () es una función impar. (e) Sea f : IR IR una función derivable impar. Muestre que su derivada f () es una función par. 5. Derivada de funciones inversas. Derivación implícita. Derivadas usando logaritmos. (a) Sea f() una función inyectiva cuya gráfica pasa por el punto (1, 1). Suponga que f (1) = 3. Determine (f 1 ) (1). (b) Verifique el Teorema de la Función Inversa con la función f() = ( 1) (c) En los siguientes ejercicios suponga que φ() es una función derivable. Determine la derivada de la función dada. f() = arctan φ (), f() = arcsin 1, f() = φ( arccos). φ() (d) En los siguientes ejercicios, obtenga la derivada de la función y = f() dada implícitamente por la epresión indicada: e y = 0, sin y + 3 = 0, arctan( + y ) + y = 1, + 3y + y 3 4 = 0, ln(1 + + y ) + y = 0, sin( + y) + + 3y =. (e) Considere la función y = f() dada implícitamente por la epresión 3 +3y 3 +y = 5. Calcule f () en el punto (1, 1). (f) En los siguientes ejercicios obtenga la derivada indicada de la función f() dada, calculando primeramente f () con derivación logarítmica. f() = ( + 1) 3 (3 + ) 4, f (0) =?, f() = f() = ( + ) (4 + 1) 3, f (0) =?, f() = + 4 ( ) , f (1) =?, (3 + 4), f ( 1) =?.

6 (g) En los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función dada. f() = (3) (5), f() = (1 + sin ) cos, f() = (h) Calcule la derivada de la siguiente función y = f() dada implícitamente por la epresión ( + y) y = + y. (i) En cada uno de los siguientes ejercicios determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función f() dada implícitamente por la epresión F(, y) = 0 + 3y = 4, P = (1, 1), ln( + y ) + y 1 = 0, P(1, 0). 6. Derivadas de orden superior. (a) En los siguientes ejercicios calcule la derivada indicada de la función dada. f() = 4, f (4) () =?, f() = 1, f(3) () =?, f() = ln( + 1), f (5) () =?, f() = arctan, f () =?, f() = cos, f () =?, f() = sin, f (10) () =?. (b) Considere la función f() dada implícitamente por la epresión +3y+y 3 6 = 0. Calcule f () en el punto (1, 1). (c) Sea f : IR IR una función dos veces derivable, con f () 0 y con inversa f 1 dos veces derivable. Muestre que la segunda derivada de la función inversa (evaluada en f()) viene dada por: 7. Diferencial (f 1 ) (f()) = f () (f ()) 3. (a) En los siguientes ejercicios determine dy y y para los valores que se indican de d y. Trace la gráfica correspondiente e indique los segmentos de recta cuyas longitudes son dy y y. y = ; = y = 1, y = 3 ; = 8 y =. (b) En los siguientes ejercicios, calcule, para los valores dados, y, dy y y dy. y = 3; = y = 0.003, y = 1, = 1 y = 0.0. (c) En los siguientes ejercicios, calcule dy. y = (3 + 1) 3, y = + cos sin, y = sin 1 cos 1 5

7 (d) En los siguientes ejercicios, calcular, dy/d determinando término a término la diferencial y = 48, + y = 4, 3 sin + 4 cos y = 1. (e) En los siguientes ejercicios, use diferenciales para aproimar el valor de la función trigonométrica que se indica después de convertir la medida de grados a radianes. Eprese la respuesta con tres cifras significativas. sin 46 0, cos 148 0, tan (f) La medida de una arista de un cubo es de 15cm, con un error posible de 0.01cm. Empleando las diferenciales, halle el error aproimado al evaluar (a) el volumen, (b) el área de una de las caras. (g) Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de cm de espesor. Si el radio interior tiene 6m y la altura es de 10m, calcule mediante las diferenciales la cantidad aproimada de material de revestimiento que usará. (h) Un contratista acuerda pintar ambos lados de 1000 rótulos redondos, cada uno de los cuales tiene un radio de 3m. Al recibir los rótulos, se descubre que el radio tiene 1cm más. Emplee las diferenciales para calcular el aumento porcentual aproimado de pintura que se necesitará. 6

8 TEMA TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES 1. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio. (a) En los siguientes ejercicios, determine si la función dada satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado. En caso afirmativo, determine el (los) valor(es) de c que tal teorema asegura que eiste(n). i. f() = en [ 1, 1]. ii. f() = 1 en [, ]. + 1 iii. f() = sin cos en [0, π]. iv. f() = tan en [ π/4, π/4]. v. f() = ( 9)( + 1) en [ 3, 3]. (b) Use el teorema de Rolle para mostrar que la ecuación 3 3+k = 0, en donde k es una constante, no puede tener dos raíces reales distintas en el intervalo (0, 1). (c) Sea f() = 1 /3. Muestre que f( 1) = f(1) pero no hay un número c en ( 1, 1) tal que f (c) = 0. Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?. (d) Sea f() una función polinomial cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. Muestre que eiste un punto c (0, 1) tal que f (c) = f(1). (e) Sean a y b dos números reales, a > b, y n un número natural mayor que 1. Muestre la validez de las desigualdades: nb n 1 (a b) < a n b n < na n 1 (a b) Ayuda: Considere la función f() = n en el intervalo [b, a]. Qué dice el teorema del valor medio para esta función?.. Teorema de Cauchy y la Regla de L Hospital. (a) En los siguientes ejercicios verifique que las funciones dadas satisfacen el teorema de Cauchy. i. f() = , g() = , en [0, 3]. ii. f() = +, g() = 3 + 1, en [ 1, 0]. iii. f() = 1, g() = 1, en [1,]. (b) Qué sucede si intenta aplicar la regla de L Hospital para evaluar Evalúe el límite aplicando otro método

9 (c) Para qué valores de a y b es verdadera la siguiente ecuación? ( sin + a + b ) = (d) Calcular los siguientes límites usando la regla de L Hospital. 1 1 n 1, e e a 0 sin, tan 0 sin, 0 e 1 cos 1 π ln sin (π ) a b, 0 0 arcsin sin 3, e + sin 1 0 ln(1 + ), , ln, n + e a, ln(1 + 1/) arctan, ln + 1 ln 1 ( π (1 ) tan 1, ), 1, 3 tan4 1 tan 1 e 1/, cot, 0 0 sin 4 1 sin, π π 4 3 tan 1 sin 1, 0 tan3 tan, (e + 1) (e 1) 1 cos, 3 0 sin, a a sin ( + ),, ( arcsinh ) 1, ( ) π arctan ln, + (ln ) 0 ( arctan ) 1 3. Teorema de Taylor (a) Desarrollar en potencias de ( ) la función polinomial f() = (b) Aplicar la fórmula de Taylor a la función f() = cuando 0 = 1 y n = 3. (c) Aplicar la fórmula de Maclaurin a la función f() = 1 + cuando n =. 8

10 (d) Eplicar la procedencia de las igualdades aproimadas, válidas para pequeños valores de, y acotar el error de las mismas: i. ln cos 4 1, ii. arcsin + 3 6, iii. arctan 3 3, iv. cosh = (e) Aplicando la fórmula de Taylor, calcular los siguientes límites: 0 sin e 1 ln (1 + ) sin (tan sin ) 3,, 0 1 e 0 5 9

11 TEMA 3 GRÁFICAS DE FUNCIONES 1. Puntos críticos: Puntos estacionarios, puntos etremos y puntos singulares. Etremos relativos y etremos absolutos (a) Determine los etremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado: y = , [0, ], y =, [ 3, 0], + + y = , [, 3], y = e, [0, ], y = ln(1 + ), [, ], y = 3, [0, 1], + 1 y = arctan +, [ 1, 1], y = arctan(1 + ), [ 1, 1], y = ln(1 + ), [0, ]. (b) Sean f() y g() dos funciones definidas en el intervalo [a, b]. Suponga que ambas tienen un máimo absoluto en = 0 en [a, b]. Muestre que la función h() = f() + g() tiene un máimo absoluto en = 0. (c) Por medio de un ejemplo concreto, muestre que la afirmación anterior es falsa si consideramos la función h() = f()g(). (d) En los siguientes ejercicios, determine los puntos críticos y los intervalos de monotonía de la función dada: y = 3 arctan( + 1) ln( + + ) +, y = 1 y = 3 e 3, y = + arctan, y = 1 +, y = arctan( + ), y = y = 1 4 e4 + 3e , y = e 3.. Signo de la derivada en un punto: Crecimiento y Decrecimiento (a) Determinar los intervalos de decrecimiento y crecimiento de la siguientes funciones: 10

12 y = 1 4, y = ( + 4), y =, y = 6 16, y = 3 3, y = + sin, y = ln, y = arcsin(1 + ). (b) Suponga que f, g : I IR IR son funciones crecientes. Muestre que la función f + g : I IR IR es creciente. (c) Verdadero o falso?. Si f, g : I IR IR son funciones crecientes, entonces el producto f g : I IR IR es creciente. Justifique su respuesta. 3. Criterios de la primera y segunda derivada. (a) Verdadero o falso?. Si la función f() tiene un punto crítico en 0 entonces tiene un etremo local en ese punto. (b) Verdadero o falso?. Si la función f : IR IR es continua y su derivada nunca se vuelve cero entonces no tiene etremos locales. (c) Verdadero o falso?. Si la función f : IR IR no tiene puntos críticos entonces siempre es creciente o siempre es decreciente. (d) Clasificar los etremos de las siguientes funciones: y = + 3, y = ( 1), y = y = 4 + 8, y = 3 4, y = sin() + sin(4), y = cos + 3 cos 3, y = ln(1 + ), y = e, y = 1 +, y = arccos, y = sin4 + cos 4, y = 1 ( + 1) arctan 1 1, y = ( + 3 3)e, y = ln e ln + 3. (e) Determinar los coeficientes p y q de trinomio cuadrado y = + p + q, de forma que y = 3 sea un mínimo de este trinomio cuando = 1. (f) Demostrar las desigualdades i. 3 6 < sin < para > 0. 11

13 ii. < ln(1 + ) < para > Concavidad y puntos de infleión. Asíntotas. (a) Verdadero o falso?. Si la gráfica de una función cambia de concavidad en un punto, entonces la segunda derivada de la función es cero en ese punto. (b) Verdadero o falso?. Si 0 es un punto en IR tal que para < 0 la gráfica de la función f() es cóncava hacia arriba, y para > 0 es cóncava hacia abajo, entonces 0 es un punto de infleión de la gráfica de la función. (c) En los siguientes ejercicios determine los intervalos de concavidad de la gráfica de la función dada, así como también sus puntos de infleión. y = , y = (4 + 9) + 4, y = , y = cos, y = ( + 1) 4, y = sin, y = 3 + 1, y = ln, y = arctan, y = (1 + )e, y = (d) En los siguientes ejercicios, determine los valores de a y b para que la gráfica de la función dada tenga un punto de infleión en el punto indicado. f() = 3 + a + b, en P = (1, 1), f() = + 3b en P = (, 3) + a (e) Hallar las asíntotas de las curvas: y = 1 ( ), y = + + 9, y = 4 + 3, y = e +, y = 4, y = 1 1 e, y = 1, y = , y = y = sin, 1 cos 1. y = ln(1 + ), 5. Construcción de gráficas de funciones. 1

14 (a) Trace la gráfica de una función que cumple todas las condiciones dadas. i. f () > 0 para toda 1, asíntota vertical en = 1, f () > 0 si < 1 o > 3, f () < 0 si 1 < < 3. ii. f () > 0 si <, f () < 0 si >, f () = 0, f() = 1, f( ) = f(), f () < 0 si 0 < < 3, f () > 0 si > 3. (b) Construya las gráficas de las siguientes funciones y = 3 3, y = ( 1) ( + ), y = + 1 y = 4 3, y = +, y = 16 ( 4) y = + 4, y = + 3 ( + 1), y = , y = 4, y = 8 4 4, y = e, y = e 8 14, y = ( + )e, y = ln, y = ( + 1) ln ( + 1), y = ln( ), y = ln(1 + e ), y = sin + cos, y = sin sin(), y = + sin, y = arcsin, y = arctan, y = ln(sinh ) Problemas de optimización. (a) Halle un número positivo tal que la suma de número y su recíproco sean lo más pequeño posible. (b) Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 1000 m cuyo perímetro sea lo más pequeño posible. (c) Un modelo aplicado para el rendimiento Y de un cultivo agrícola como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (que se mide en unidades apropiadas) es Y = kn 1 + N donde k es una constante positiva. Qué nivel del nitrógeno proporciona el mejor rendimiento?. 13

15 (d) Un granjero quiere cercar un área de 1.5 millones de pies cuadrados de un campo rectangular, luego dividirla a la mitad mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. De qué manera debe hacerlo para que los costos de la cerca sean mínimos?. (e) Determine el punto en la recta 6 + y = 9 que está más cerca al punto ( 3, 1). (f) Se fabrica una lata cilíndrica sin tapa de tal modo que contenga V cm 3 de líquido. Calcule las dimensiones que minimizarán el costo del metal para hacer la lata. (g) Una cerca de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de éste último. Cuál es la longitud de la escalera más corta que llegará desde el suelo pasando por encima de la cerca, hasta la pared del edificio?. (h) Una central eléctrica esta situada en una ribera de un río rectilíneo que tiene w pies de ancho. Una fábrica está situada en la ribera opuesta del río, L pies río abajo del punto A, que está enfrente a la centra eléctrica. Cuál es la ruta más económica para conectar un cable de la central a la fábrica, si cuesta a dólares por pies tender el cable bajo el agua y b dólares por pie en tierra (a > b). (i) Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular recto, coronado por un domo semiesférico. Si el domo semiesférico cuesta el doble por pie cuadrado que las paredes cilíndricas, Cuáles son las proporciones más económicas para un volumen dado?. (j) Un alambre de 100 centímetros de largo se corta en dos pedazos; uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para formar un triángulo equilátero. En donde debe hacerse el corte si (a) la suma de las dos áreas debe ser mínima; (b) máima?. 7. La derivada como razón de cambio (a) La diagonal de un cuadrado está aumentando a una razón de 4 cm/min. Calcule la razón a la que está aumentando el área del cuadrado en el momento en que la diagonal es de 5 cm. (b) El volumen de un cubo está aumentando a razón de 10cm 3 /min. Calcule la velocidad a la que está creciendo el lado del cubo cuando éste sea de cm. (c) Un depósito cónico de 1 cm de altura y radio de base 4 m, tiene inicialmente 10 m 3 de agua. En t = 0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m 3 /h, y al mismo tiempo, por el fondo, comienza a salir agua a razón de 5 m 3 /h. Determine la razón a la que está variando el nivel de líquido después de 3 horas. 14

16 TEMA 4 LA INTEGRAL 1. La Antiderivada. (a) En los siguientes ejercicios, suponga que f() es una función suficientemente derivable. Simplifique la epresión dada a) 3f ()d, b) ( (4f () + 5f ())d, c) ) ( + sin + f())d d) (f()) d, e) d ( sin + f 3 () ) ( d, f) + d f ()d). (b) En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la integral indicada. a) ( )d, b) 1 + (1 + 4) d, c) d, ( + 3) ( ) 4 d) d, e) d, f) g) j) d, h) (e / + e / ) d, k) m) d, n) 3 1 p) (4 sin + 5 cos)d, i) d, l) + 1 e / cosh(/)d, o) + ( a ) 4, q), r) 4 4 a cot d, (e )d, d, 3 3 (sin cos )d. cot d. (c) 15