Boletín II. Cálculo diferencial de funciones de una variable

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1 CÁLCULO Boletín II. Cálculo diferencial de funciones de una variable Ejercicios básicos 1. (NUEVO) Utiliza la definición de derivada para demostrar que f () = 10 para 5 2. ( ) sin() 2. Sea arctan. Calcula la recta tangente a la gráfica de f en = cos() Respuesta: y = /2 3. (NUEVO) Escribe el método de Newton Raphson para aproimar 3 2 partiendo de 0 = 1. Calcula los dos primeros iterantes. Indicación: 3 2 es la solución de la ecuación 3 2 = Sea f : R R dada por: Averigua si es derivable en = 1. { 2 1 si 1 ( + 1) si > 1 Respuesta: 1 = 3 2, 2 = Respuesta: No 5. Sea f : R R dada por: e si < 0 1 si = si > 0. Estudia su continuidad y derivabilidad. 6. (NUEVO) Sea f la función dada por ( ) sin si 0 0 si = 0 a) Obtén la epresión de f () para 0. b) Calcula f (0) usando la definición de derivada; es decir, como límite del cociente incremental. 1

2 c) Comprueba que el valor obtenido en el apartado 6b) no coincide con el resultado de substituir por cero en la epresión hallada en 6a). 7. Sea la función f dada por (4 + 1) (2+sin(2 )). Calcula su derivada en cualquier punto. { Respuesta: (4 + 1) (2+sin(2 )) 2 cos( 2 ) ln 2 (4 + 1) + 4 } (2 + sin(2 )) 8. (NUEVO) (E. julio 2013) Calcula los valores de a y b para que a 2 + b + 1 e 2 lím 0 sin( 2 ) = 1 Respuesta: a = 3, b = 2 9. Sea la función f dada por 1. Cuál es la clase de f? 2 Respuesta: f C 1 (R) 10. Consideramos la función f dada por: sin() si (, 0) arctan() si [0, 1] π 3 /4 si (1, + ). a) Esboza la representación gráfica de f. b) Determina la clase de f en R. c) Calcula, si es posible, la recta tangente a f en el punto 0 = 0. d) Determina un intervalo en el que f sea de clase infinito. Respuesta: f C 0 (R) Respuesta: y = 11. Sea f la función dada por: { + 1 si (0, 1) a 2 + b + 1 si [1, 2) a) Determina a y b para que f sea derivable en (0, 2). Respuesta: a = 1/2, b = 3/2 b) Qué condiciones deben verificar a y b para que f tenga un mínimo relativo en el punto = 1? Respuesta: a + b < 1, 2a + b < Calcula los etremos relativos y absolutos, si eisten, de la función definida en el intervalo [ 1 2, 3 2] por

3 Respuesta: m 1 = ( 1/2, 5/4), m 2 = (1, 1), M 1 = (0, 2), M 2 = (3/2, 5/4). 13. (NUEVO) Considera la función f : R R dada por e 1. a) (E. enero 2011) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función. El mínimo absoluto es m 1 y el máimo absoluto es M 1. Respuesta: Es continua en R y derivable en R {0} b) Esboza la gráfica de f; para ello calcula sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. Determina también su concavidad y/o conveidad. c) (E. enero 2011) Determina los etremos absolutos de f. Respuesta: No eiste máimo absoluto. El mínimo absoluto es m = (0, 0) 14. (NUEVO) Un ingeniero de caminos debe construir un puente sobre un río de un kilómetro de ancho para unir dos carreteras. En una orilla la carretera tiene una pendiente ascendente del 7 % y en la otra una pendiente descendente del 5 %. El ingeniero está empeñado en que el puente describa un arco de parábola y se una suavemente a ambos etremos con la carretera. Una matemática le dice que es imposible construir un puente de esa forma. Convéncele de que la matemática tiene razón. 15. (NUEVO) Sea la función f dada por: a) Estudia la continuidad de f en R. 2 1 si e1/ 1 si = 0. Respuesta: f es continua en R b) (E. julio 2013) Justifica la eistencia de una única raíz de f en el intervalo [0, 2]. c) Calcula los dos primeros iterantes del algoritmo de dicotomía aplicado a f en el intervalo [0, 2], para aproimar la raíz a la que se refiere el apartado anterior. Respuesta: 1 = 1, 2 = a) Demuestra que la ecuación = 0 tiene una única raíz en el intervalo [4, 5]. b) Plantea el método de Newton Raphson para resolver la ecuación del apartado anterior. Partiendo de 0 = 4, obtén la aproimación 1. Respuesta: 1 = (NUEVO) En qué intervalo es creciente la función f dada por 3 e?, es cóncava en ese intervalo?, es convea? Esboza su gráfica. 18. Halla la condición que debe cumplir λ para que el polinomio λ 2 sea cóncavo en algún intervalo. Determina ese intervalo en función de λ. 3

4 Respuesta: λ < 9/ (NUEVO) Encuentra un polinomio cúbico sin etremos locales pero con punto de infleión y tangente horizontal en P = (1, 20). 20. (NUEVO) Respuesta: cualquier polinomio de la forma P a () = a 3 3a 2 + 3a + 20 a (con a 0, obviamente). Por ejemplo, P () = a) Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y creciente. Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación? b) Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y decreciente. Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación? 21. Un rectángulo cuya base está en el eje de abscisas tiene sus dos vértices superiores en la parábola y = Cuál es la mayor área que puede tener ese rectángulo? Indica sus dimensiones. Respuesta: A má = 32u 2, base = 4u, altura = 8u 22. (NUEVO) Una isla se encuentra a un kilómetro de distancia de la costa. En dicha costa eiste un pueblo diez kilómetros más abajo. Una compañía de transportes se propone construir un puerto para poder transportar mercancía entre el pueblo y la isla. Si la velocidad de los camiones de la compañía es de setenta kilómetros por hora y la de sus barcos es veinte kilómetros por hora, epresa el tiempo total necesario para transportar mercancías del pueblo a la isla, en función de la distancia del puerto al pueblo. Recomienda a la compañía el lugar adecuado para la construcción del puerto. Respuesta: d = (NUEVO) (E. julio 2013) Sabiendo que p() = 5 + ( + 1) 2 + 3( + 1) 3 es el polinomio de Taylor de tercer orden centrado en 0 = 1 de una función f, calcula f( 1), f ( 1) y f ( 1). Justifica la respuesta. Respuesta: f( 1) = 5, f ( 1) = 0 y f ( 1) = (NUEVO) (E. enero 2012) Dada la función f definida mediante ln(1 + ), a) calcula el polinomio de Mc-Laurin de orden dos relativo a f. Respuesta: p 2 () = b) Utiliza este polinomio para aproimar el valor de ln(1 1), acotando el error cometido. Respuesta: ln(1 1) 0 095, cota de error: = a) Construye el polinomio de Taylor, p, de primer orden de la función g() = sin() centrado en el punto 0 = π/2. Respuesta: p() = 1 4

5 b) Consideramos ahora la función f definida como sigue: { sin() si π/2 p() si > π/2 siendo p el polinomio construido en el apartado anterior. Cuál es la clase de f en R? Respuesta: f C 1 (R) 26. (NUEVO) (E. enero 2012) Mediciones puntuales han determinado que una función desconocida f pasa por ( 2, 16), (0, 0), (1, 1) y (3, 9). a) Calcula, mediante diferencias divididas, una aproimación polinómica de f. b) Aproima el valor de f en = Sea la función dada por: a) Calcula el dominio de f. f : Dom(f) R R 2 e Respuesta: p L () = Respuesta: f(2) 0 Respuesta: Dom(f) = R b) Calcula los etremos absolutos de f en el intervalo [0, 10], justificando previamente su eistencia. ( ) 4 Respuesta: mínimo absoluto: (0, 0), Máimo absoluto: 2, e 2 c) Calcula los etremos absolutos de f en en su dominio de definición, justificando su eistencia. Respuesta: mínimo absoluto: (0, 0), no eiste máimo absoluto Ejercicios complementarios 1. Si la recta tangente a la gráfica de la función y = f() en el punto (4, 3) pasa por el punto (0, 2), calcula el valor de la función f y su derivada en el punto cuya abscisa es = 4. Respuesta: f(4) = 3, f (4) = 1/4 2. (Ejercicio para responder usando MatLab) Aproima la solución de 3 1 = 0 en [1 3, 1 4] mediante los métodos de: a) dicotomía, con un error menor que 10 5 b) Newton Raphson, partiendo de 0 = 1 y realizando tres iteraciones. 5

6 3. (NUEVO) Encuentra los números a y b tales que lím 0 a + b 2 = 1. Respuesta: a = 2, b = 4 4. Calcula el límite: lím 0 (1 + ) 1 e. Respuesta: e/2 5. Sea f : R R dada por: { ( sin ( )) 1 si 0 0 si = 0. Averigua si la función derivada es continua en = 0. Respuesta: Sí 6. Se considera la función f : R R dada por: 1 cos() 2 si 0 λ si = 0 a) Calcula el valor de λ para el cual f es derivable en = 0. b) Calcula f (0) para el valor de λ hallado en el apartado anterior. Respuesta: λ = 1/2 Respuesta: f (0) = 1/12 7. Sea f : R R dada por: 1 2 si < 0 2 cos() si 0 Cuántas veces es f derivable en el punto = 0? Respuesta: tres veces 8. a) Comprueba que la función F, dada por F () = ln, tiene un mínimo relativo, mín, en el intervalo (1, 3). b) Utiliza el algoritmo de dicotomía, partiendo de a = 1 y b = 3, para aproimar mín con un error menor que 1 7. Respuesta: 4 = 11/8 9. Consideramos la ecuación e = e 3. 6

7 a) Comprueba que tiene eactamente dos soluciones en R. b) (Ejercicio para responder usando MatLab) Plantea el método de Newton Raphson a partir de un punto en el intervalo [2, 5]. Calcula 2 a partir de 0 = Se desea construir un arco que describa la curva dada por 1 2. Para facilitar la construcción, se propone aproimar dicha función por un polinomio de Taylor de segundo grado centrado en a = 0. Calcula dicho polinomio y aproima f(1). Respuesta: p 2 () = 1 2 2, f(1) Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye. La velocidad v del aire en la tráquea durante la tos viene relacionada con el radio, r, mediante la ecuación: donde r 0 es el radio en estado de relajación. v = Ar 2 (r 0 r), A > 0 a) Halla el radio de la tráquea cuando la velocidad es máima, así como esta velocidad. b) Justifica la eistencia de un mínimo. Calcúlalo. Respuesta: r = 2 3 r 0, v má = 4A 27 r3 0 Respuesta: mínimos: (0, 0) y (r 0, 0) (aunque el primero de los mínimos no tien sentido en este conteto) 12. Con una hoja cuadrada de cartón, de lado a, se quiere hacer una caja abierta, recortando para ello cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la hoja y doblando hacia arriba las pestañas para formar los lados de la caja. Qué dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea máimo? Respuesta: 2 3 a, a Halla el radio y la altura de una lata cilíndrica de refresco de 33 cm 3 que minimice la cantidad de material utilizado para su construcción (supón que el grosor del material empleado es uniforme en toda la lata y despreciable). Respuesta: = π, h = π 14. Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabemos que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h. A qué distancia de A debe abandonar la costa para llegar hasta B lo antes posible? 15. Sea la función real f dada por: sin() 1 si < 0 3 e 2 si 0. Respuesta: d = 8 25 km 7

8 a) Estudia la derivabilidad de f en R. Respuesta: Sí, es derivable b) Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de la función f en un entorno de 0 = 1. c) Determina razonadamente los etremos absolutos de f en [0, + ). 16. Sea la función f dada por: a) Estudia la continuidad de f en R. Respuesta: p 2 () = e 1 ( ) Respuesta: mínimo absoluto: m = (0, 0), Máimo absoluto: M = sin() si < 0 2 cos() si 0. b) Determina, si eiste, f (0). En caso afirmativo, razona si f es de clase uno en R. c) Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de f en = π. 17. Llamamos + 1. a) Halla el polinomio de Taylor de cuarto orden de f en = 0. ( 1 4 ) e 2, 8 Respuesta: f C 0 (R) Respuesta: f (0) = 0, f C 1 (R) Respuesta: p 2 () = 1 π 2 { 2 + 3π + 2π 2} b) Aproima 1 02 con el polinomio de segundo grado y acota el error cometido. Respuesta: Respuesta: 1 02 = f(0 02) Cota de error: Obtén el polinomio de McLaurin de orden menor o igual que n relativo a (1 ) α, con α R. 19. Considera la siguiente tabla de valores: correspondientes a mediciones de una función f. i f( i ) a) Calcula el polinomio p de interpolación de Lagrange de orden 2 relativo a f en los nodos {1, 3, 4}. Respuesta: p() = 1 3 ( ) b) Calcula el polinomio q de interpolación de Lagrange de orden 2 relativo a f en los nodos { 1, 0, 1}. Respuesta: q() =

9 c) Aproima f(0 25) y f(2). Respuesta: f(0 25) q(0 25) = 51 43, f(2) p(2) = a) Calcula el polinomio de interpolación de Lagrange de orden tres relativo a la función en los puntos 0 = 1, 1 = 2, 2 = 3 y 3 = 4. Respuesta: p L () = 1 3 ( ) b) Calcula, utilizando el apartado anterior, una aproimación del número r = y una aproimación de la raíz de la ecuación log 2 (y + 5) = Responde a las siguientes cuestiones: Respuesta: r 0 75, y 6 25 a) Consideramos la circunferencia de centro (0, 0) y de radio 2. Halla la ecuación de la recta tangente a la semicircunferencia superior en = 1. b) Calcula la primera derivada de la función y = ln(arcsin( 2 1)). c) Dadas las funciones f y g, dadas por: sin() si 0 1, si = 0 son continuas en el punto = 0? sin() si 0 y g() = 1, si = 0 d) Construye el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 de la función en un entorno del punto a = Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Sea 3 a 2 + b + c, con a, b, c R. Entonces: 1) Para que f tenga un etremo relativo es necesario que 4a 2 12b = 0. 2) El punto = a es siempre un punto de infleión de f. 3 b) (JUN03) Si P () = 1 2(+π) 2 3(+π) 3 es el polinomio de Taylor de orden 3 de una función f en 0 = π, entonces π es un máimo relativo de f. c) (FEB04) Sea f una función real de variable real tal que f(1) = 1, f (1) = f (1) = 2, f (1) = 0. Entonces su polinomio de Taylor de grado 3 centrado en 1 es 2. 9