Boletín II. Cálculo diferencial de funciones de una variable

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1 CÁLCULO Boletín II. Cálculo diferencial de funciones de una variable Ejercicios básicos 1. Sea f la función dada por 5x 2. a) Utiliza la definición de derivada para demostrar que f (x) = 10x. b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = Sea f : R R dada por: Averigua si es derivable en x = 1. { 2x 1 si x 1 (x + 1) 3 + 2x si x > 1 Respuesta: No 3. Sea f : R R dada por: xe x si x < 0 1 si x = 0 x si x > 0. Estudia su continuidad y derivabilidad. 4. Sea f la función dada por ( ) 1 x + x 2 sin si x 0 x 0 si x = 0 a) Obtén la expresión de f (x) para x 0. b) Calcula f (0) usando la definición de derivada; es decir, como límite del cociente incremental. c) Comprueba que el valor obtenido en el apartado 4b) no coincide con el resultado de substituir x por cero en la expresión hallada en 4a). Razona el porqué de estos resultados distintos. 5. Escribe el método de Newton Raphson para aproximar 3 2 partiendo de x 0 = 1. Calcula los dos primeros iterantes. Indicación: 3 2 es la solución de la ecuación x 3 2 = 0. Respuesta: x 1 = 3 2, x 2 =

2 6. (Ex. enero 2015) Para aproximar el valor de la solución de la ecuación x 3 + 2x 2 = 0, en el intervalo [ 2, 2], vamos a usar el método de Newton-Raphson. a) Plantea el algoritmo de Newton-Raphson para este caso. b) Calcula las dos primeras iteraciones usando ese algoritmo. Para ello usa como aproximación inicial el valor x 0 = 0. ( ) sin(x) 7. Sea arctan. Calcula la recta tangente a la gráfica de f en x = cos(x) Respuesta: y = x/2 8. Sea la función f dada por (4x + 1) (2+sin(x2 )). Calcula su derivada en cualquier punto. 9. (Ex. julio 2013) Calcula los valores de a y b para que ( Respuesta: (4x + 1) (2+sin(x2 )) 2x cos(x 2 ) ln(4x + 1) + 4 ) 4x + 1 (2 + sin(x2 )) ax 2 + bx + 1 e 2x lím x 0 sin(x 2 ) = 1 Respuesta: a = 3, b = Sea la función f dada por 1 x x. Cuál es la clase de f? 2 Respuesta: f C 1 (R) 11. Consideramos la función f dada por: sin(x) si x (, 0) arctan(x) si x [0, 1] πx 3 /4 si x (1, + ). a) Esboza la representación gráfica de f. b) Determina la clase de f en R. c) Calcula, si es posible, la recta tangente a f en el punto x 0 = 0. d) Determina un conjunto de números reales en el que f sea de clase infinito. Respuesta: f C 0 (R) Respuesta: y = x 12. Sea f la función dada por: { x + 1 si x (0, 1) αx 2 + βx + 1 si x [1, 2) a) Determina α y β para que f sea derivable en (0, 2). 2

3 Respuesta: α = 1/2, β = 3/2 b) Qué condiciones deben verificar α y β para que f tenga un mínimo relativo en el punto x = 1? Respuesta: α + β < 1, 2α + β > Calcula los extremos relativos, y absolutos si existen, de la función definida en el intervalo [ 1 2, 3 2] por x 2 2 x + 2. Respuesta: Los extremos relativos están en x 1 = 1/2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 3/2. Así, P 1 = ( 1/2, 5/4) y P 2 = (1, 1) son mínimos relativos mientras que Q 1 = (0, 2) y Q 2 = (3/2, 5/4) son máximos relativos. 14. Considera la función f : R R dada por x e x 1. El mínimo absoluto está en x 2 = 1 y el máximo absoluto en x 3 = 0. a) (Ex. enero 2011) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función. Respuesta: Es continua en R y derivable en R {0} b) Esboza la gráfica de f; para ello calcula sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Determina también su(s) intervalo(s) de concavidad y/o convexidad. c) (Ex. enero 2011) Determina los extremos absolutos de f. Respuesta: No existe máximo absoluto. El mínimo absoluto está en x = Un ingeniero de caminos debe construir un puente sobre un río de un kilómetro de ancho para unir dos carreteras. En una orilla la carretera tiene una pendiente ascendente del 7 % y en la otra una pendiente descendente del 5 %. El ingeniero está empeñado en que el puente describa un arco de parábola y se una suavemente a ambos extremos con la carretera. Una matemática le dice que es imposible construir un puente de esa forma. Convéncele de que la matemática tiene razón. 16. Sea la función f dada por: x 2 1 si x e1/x 1 si x = 0. a) Estudia la continuidad de f en R. Respuesta: f es continua en R b) (Ex. julio 2013) Justifica la existencia de una única raíz de f en el intervalo [0, 2]. c) Calcula los dos primeros iterantes del algoritmo de dicotomía aplicado a f en el intervalo [0, 2], para aproximar la raíz a la que se refiere el apartado anterior. Respuesta: x 1 = 1, x 2 = a) Demuestra que la ecuación x 4 4 x 3 1 = 0 tiene una única raíz en el intervalo [4, 5]. b) Plantea el método de Newton Raphson para resolver la ecuación del apartado anterior. Partiendo de x 0 = 4, obtén la aproximación x 1. 3

4 Respuesta: x 1 = En qué intervalo es creciente la función f dada por x 3 e x? Es cóncava en ese intervalo?, es convexa? Esboza su gráfica. 19. Halla la condición que debe cumplir λ para que el polinomio x 4 + x 3 + λx 2 sea cóncavo en algún intervalo. Determina ese intervalo en función de λ. Respuesta: λ < 9/ Encuentra un polinomio cúbico sin extremos locales pero con punto de inflexión y tangente horizontal en P = (1, 20). Respuesta: cualquier polinomio de la forma P a (x) = ax 3 3ax 2 + 3ax + 20 a (con a 0, obviamente). Por ejemplo, P (x) = x 3 3x 2 + 3x a) Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y creciente. Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación? b) Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y decreciente. Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación? 22. Un rectángulo cuya base está en el eje de abscisas tiene sus dos vértices superiores en la parábola y = 12 x 2. Cuál es la mayor área que puede tener ese rectángulo? Indica sus dimensiones. Respuesta: A máx = 32u 2, base = 4u, altura = 8u 23. (Ex. julio 2013) Sabiendo que p(x) = 5 + (x + 1) 2 + 3(x + 1) 3 es el polinomio de Taylor de tercer orden centrado en x 0 = 1 de una función f, calcula f( 1), f ( 1) y f ( 1). Justifica la respuesta. 24. (Ex. enero 2012) Dada la función f definida mediante ln(1 + x), a) calcula el polinomio de Mc-Laurin de orden dos relativo a f. Respuesta: f( 1) = 5, f ( 1) = 0 y f ( 1) = 2 Respuesta: p 2 (x) = x 1 2 x2 b) Utiliza este polinomio para aproximar el valor de ln(1 1), acotando el error cometido. Respuesta: ln(1 1) 0 095, cota de error: = a) Construye el polinomio de Taylor, p, de primer orden de la función g(x) = sin(x) centrado en el punto x 0 = π/2. b) Consideramos ahora la función f definida como sigue: { sin(x) si x π/2 p(x) si x > π/2 siendo p el polinomio construido en el apartado anterior. Cuál es la clase de f en R? Respuesta: p(x) = 1 4

5 Respuesta: f C 1 (R) 26. (Ex. enero 2015) a) Determina el polinomio de Taylor de orden dos de la función arcsen(x) relativo al punto x 0 = 0. b) Utiliza el polinomio anterior para obtener, de forma aproximada, el ángulo cuyo seno es (Ex. enero 2012) Mediciones puntuales han determinado que una función desconocida f pasa por ( 2, 16), (0, 0), (1, 1) y (3, 9). a) Calcula, mediante diferencias divididas, una aproximación polinómica de f. b) Aproxima el valor de f en x = Sea la función dada por: a) Calcula el dominio de f. f : Dom(f) R R x x2 e x Respuesta: p L (x) = x 3 2x 2 Respuesta: f(2) 0 Respuesta: Dom(f) = R b) Calcula los extremos absolutos de f en el intervalo [0, 10], justificando previamente su existencia. ( ) 4 Respuesta: mínimo absoluto en el punto P = (0, 0), Máximo absoluto en el punto Q = 2, e 2 c) Calcula los extremos absolutos de f en su dominio de definición, justificando su existencia. Respuesta: mínimo absoluto en R = (0, 0), no existe máximo absoluto 5

6 Ejercicios complementarios 1. Si la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto (4, 3) pasa por el punto (0, 2), calcula el valor de la función f y su derivada en el punto cuya abscisa es x = 4. Respuesta: f(4) = 3, f (4) = 1/4 2. (Ejercicio para responder usando MatLab) Aproxima la solución de x 3 x 1 = 0 en [1 3, 1 4] mediante los métodos de: a) dicotomía, con un error menor que 10 5 b) Newton Raphson, partiendo de x 0 = 1 y realizando tres iteraciones. 3. Encuentra los números a y b tales que lím x 0 ax + b 2 x = 1. Respuesta: a = b = 4 4. Calcula el límite: lím x 0 (1 + x) 1 x e. x Respuesta: e/2 5. Sea f : R R dada por: { x ( 1 + x 2 sin ( )) 1 x si x 0 0 si x = 0. Averigua si la función derivada es continua en x = 0. Respuesta: Sí 6. Se considera la función f : R R dada por: 1 cos(x) x 2 si x 0 λ si x = 0 a) Calcula el valor de λ para el cual f es derivable en x = 0. b) Calcula f (0) para el valor de λ hallado en el apartado anterior. Respuesta: λ = 1/2 Respuesta: f (0) = 1/12 6

7 7. Sea f : R R dada por: 1 x2 si x < 0 2 cos(x) si x 0 Cuántas veces es f derivable en el punto x = 0? Respuesta: tres veces 8. a) Comprueba que la función F, dada por F (x) = 1 4 x2 ln x, tiene un mínimo relativo, x mín, en el intervalo (1, 3). b) Utiliza el algoritmo de dicotomía, partiendo de a = 1 y b = 3, para aproximar x mín con un error menor que 1 7. Respuesta: x 4 = 11/8 9. Consideramos la ecuación xe x = e 3. a) Comprueba que tiene exactamente dos soluciones en R. b) (Ejercicio para responder usando MatLab) Plantea el método de Newton Raphson a partir de un punto en el intervalo [2, 5]. Calcula x 2 a partir de x 0 = Se desea construir un arco que describa la curva dada por 1 x 2. Para facilitar la construcción, se propone aproximar dicha función por un polinomio de Taylor de segundo orden centrado en a = 0. Calcula dicho polinomio y aproxima f(1). Respuesta: p 2 (x) = 1 x2 2, f(1) Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye. La velocidad v del aire en la tráquea durante la tos viene relacionada con el radio, r, mediante la ecuación: donde r 0 es el radio en estado de relajación. v = Ar 2 (r 0 r), A > 0 a) Halla el radio de la tráquea cuando la velocidad es máxima, así como esta velocidad. b) Justifica la existencia de un mínimo. Calcúlalo. Respuesta: r = 2 3 r 0, v máx = 4A 27 r3 0 Respuesta: mínimos: (0, 0) y (r 0, 0) (aunque el primero de los mínimos no tiene sentido en este contexto) 12. Con una hoja cuadrada de cartón, de lado a, se quiere hacer una caja abierta, recortando para ello cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la hoja y doblando hacia arriba las pestañas para formar los laterales de la caja. Qué dimensiones debe tener la caja para que su volumen sea máximo? Respuesta: 2 3 a, a 6 7

8 13. Halla el radio y la altura de una lata cilíndrica de refresco de 33 cm 3 que minimice la cantidad de material utilizado para su construcción (supón que el grosor del material empleado es uniforme en toda la lata y despreciable) Respuesta: x = 3 2π, h = 3 π 14. Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 km y 5 km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabemos que puede nadar a 3 km/h y caminar a 5 km/h. A qué distancia de A debe abandonar la costa para llegar hasta B lo antes posible? 15. Sea la función real f dada por: sin(x) 1 si x < 0 x x 3 e x2 si x 0. a) Estudia la derivabilidad de f en R. Respuesta: d = 8 25 km Respuesta: Sí, es derivable b) Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de la función f en un entorno de x 0 = 1. c) Determina razonadamente los extremos absolutos de f en [0, + ). ( 6 Respuesta: mínimo absoluto: m = (0, 0), Máximo absoluto: M = 2, e 3/2 ). 16. Sea la función f dada por: sin(x) si x < 0 x 2 cos(x) si x 0. a) Estudia la continuidad de f en R. Respuesta: f C 0 (R) b) Determina, si existe, f (0). En caso afirmativo, razona si f es de clase uno en R. Respuesta: f (0) = 0, f C 1 (R) c) Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de f en x = π. Respuesta: p 2 (x) = 1 ( x 2 π 2 + 3πx + 2π 2) 17. Llamamos x + 1. a) Halla el polinomio de Taylor de cuarto orden de f en x = 0. 8

9 b) Aproxima 1 02 con el polinomio de segundo grado y acota el error cometido. Respuesta: 1 + x 2 x2 8 + x3 16 5x4 128 Respuesta: 1 02 = f(0 02) Cota de error: Obtén el polinomio de McLaurin de orden menor o igual que n relativo a (1 x) α, con α R. 19. Considera la siguiente tabla de valores: correspondientes a mediciones de una función f. x i f(x i ) a) Calcula el polinomio p de interpolación de Lagrange de orden 2 relativo a f en los nodos {1, 3, 4}. Respuesta: p(x) = 1 3 (23x2 44x + 39) b) Calcula el polinomio q de interpolación de Lagrange de orden 2 relativo a f en los nodos { 1, 0, 1}. c) Aproxima f(0 25) y f(2). Respuesta: q(x) = 3x Respuesta: f(0 25) q(0 25) = 51 43, f(2) p(2) = a) Calcula el polinomio de interpolación de Lagrange de orden tres relativo a la función 2 x+1 5 en los puntos x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3 y x 3 = 4. Respuesta: p L (x) = 1 3 (2x3 6x x 15) b) Calcula, utilizando el apartado anterior, una aproximación del número r = y una aproximación de la raíz de la ecuación log 2 (y + 5) = Responde a las siguientes cuestiones: Respuesta: r 0 75, y 6 25 a) Consideramos la circunferencia de centro (0, 0) y de radio 2. Halla la ecuación de la recta tangente a la semicircunferencia superior en x = 1. b) Calcula la primera derivada de la función y = ln(arcsin(x 2 1)). c) Dadas las funciones f y g, dadas por: sin(x) x si x 0 1, si x = 0 son continuas en el punto x = 0? sin(x) si x 0 y g(x) = x 1, si x = 0 d) Construye el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 3 de la función x 2 2x + 1 en un entorno del punto a = 1. 9

10 22. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Sea x 3 ax 2 + bx + c, con a, b, c R. Entonces: 1) Para que f tenga un extremo relativo es necesario que 4a 2 12b = 0. 2) El punto x = a es siempre un punto de inflexión de f. 3 b) (Ex. junio 2003) Si P (x) = 1 2(x + π) 2 3(x + π) 3 es el polinomio de Taylor de orden 3 de una función f en x 0 = π, entonces π es un máximo relativo de f. c) (Ex. enero 2004) Sea f una función real de variable real tal que f(1) = 1, f (1) = f (1) = 2, f (1) = 0. Entonces su polinomio de Taylor de orden 3 centrado en 1 es x 2. 10