Cálculo Diferencial Agosto 2015

Transcripción

1 Laboratorio # 1 Desigualdades I.- Determinar los valores de que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones dadas. 1) 2 3 x 3 < 4 6 y x 1 > 1 3 2) 5x 4 > 1 4 y x ) 7x y 4x + 4 > 1 4 4) x x y 5x + 7 > x 2 II. - Determina los valores de que satisfagan al menos una de las condiciones. 1) 5x + 5 > 1 5 ó x > 6 2) (x + 3) 2 > 0 ó 3x > 7 3) 8x ó 3x ) 19x 1 x > 10 ó 8x 1 3x 9 III.- Hallar los valores de en los cuales puede cambiar de signo la expresión dada. 1) 6x x 6 2) 49x ) x2 36 x 6 4) 9x 2 2 Página 1 de 13

2 Laboratorio #2 Inecuaciones I.-Resolver la desigualdad dada. Escribir la solución con la notación de intervalos y representarla gráficamente. 1) 9x 27 < 18 11) 1 5 3x ) x x + 64 > 0 12) 3x ) 3x > 9x 13) 3x 4 10 < 5 4) x+5 x 7 > 0 14) 4 x < 0 5) x 2 3x + 2 > 0 15) 1 3x < 5 3 6) 1 16) x + 8 < x + 5 4x+1 x ) x x ) 3x x 4 4 8) 5x+15 5 > 10x ) 3(x 2 9) = 0 9) x x 3 19) 4 3x 1 < ) x 2 x > 3 20) 5x 2 x 8 > x Página 2 de 13

3 Laboratorio # 3 Funciones I I - Determina cuales de las siguientes gráficas representa una función 1) 2) 3) 4) 5) II.- Determinar si la ecuación dada, representa una función. 1) 5y 3x = 3 2) (x 3) 2 + (y 1) 2 = 0 3) (x 2) 2 3y + 5 = 0 x 2 4) 2 = a5 y2 (x + 1) 5) y + 1 x 1 = 2x y III.- Calcula las funciones,,,, especificando el dominio en cada caso. 1) f(x) = 5 x g(x) = x 3 2) f(x) = x 2 1 g(x) = 2sen x 1 3) f(x) = x g(x) = x 4) f(x) = x 2 2 g(x = x + 2) Página 3 de 13

4 Laboratorio # 4 Funciones II I.- Para la función dada obtener y los valores de para los cuales. 1) f(x) = 3x2 1 (x 2) 2) f(x) = 4x 3 3) f(x) = x2 +4x 5 (x 1) 4) f(x) = x2 4 x ) f(x) = 2x2 3x+8 2x II. - Calcular si: 1) f(x) = 4x ) f(x) = x 3 x + 3 3) f(x) = 2x 1 3 x 4) f(x) = (x + 2) 1 2(3) 5) f(x) = x 3 4x+2 III - Determinar si la función dada es par, impar o ninguno de los dos. 1) f(x) = 3x x ) f(x) = x2 x ) f(x) = x 6 x ) g(x) = x(x 2 +1) 5) g(x) = x x Página 4 de 13

5 Laboratorio # 5 Gráfica de funciones I.- Trazar la gráfica de la función dada señalando su dominio y rango. 1) f(x) = x 2) f(x) = 2x 3 3) f(x) = 1 x 2 4) f(x) = x + 5 5) f(x) = 7 x 1 6) f(x) = 1 2 x 7) f(x) = { x2, x 0 1 x, x > 0 8) f(x) = 1 2 x + 2 9) f(x) = x + 3 5x 10) f(x) = x(x 2 + 1)} 11) f(x) = x2 1 x 1 + x, 0 x 1 12) f(x) = { x, 1 < x < 2 1 x + 1, 2 x 2 13) f(x) = x 3 14) f(x) = x + 1 x Página 5 de 13

6 I.- Evaluar el límite indicado. 1) lim x 5 x 2) lim x 2 3x + 5 3) lim x 3 x(x + 1) 4) lim (5x + 7)4 x 2 5) lim x 3 1 x 1 x 2 1 6) lim x3 27 x 3 x 3 x 2 7) lim x 4 x 4 8) lim 8x3 27 x 3 4x ) lim x2 9 x 3 x 3 10) lim x 0 x Laboratorio # 6 Limites 11) lim 11) lim x2 2x 8 x 4 x )lim x 2 x 2 x 5 13) lim x x 5 14) lim 9x2 x 0 7x 2 15) lim x3 1 x 1 x 1 16) lim x 1 (x + 1 x ) Página 6 de 13

7 17) lim ln (2x) x 1 2 x 18) lim x 0 x II.- Trazar la gráfica de la función por medio de asíntotas. 1) f(x) = 1 x ) f(x) = x 1+x 3) f(x) = 1 4x x+3 4) f(x) = 1 x 4 5) f(x) = 9x2 36 3x+6 6) f(x) = x x 1 7) f(x) = x+7 x+8 8) f(x) = x2 +x 12 x 3 Página 7 de 13

8 Laboratorio # 7 Continuidad I.- Determina los valores de x para las cuales es discontinua la función dada. 1) 2) 3) 4) II.- Determinar los valores de a y k de modo que la función dada sea continua en los reales Página 8 de 13

9 III. - Verificar las condiciones del teorema del valor intermedio para la función dada en el intervalo indicado. Si las condiciones se cumplen, halla el valor de c que satisfaga la conclusión del teorema. 1) 2) 3) IV. - Evaluar el limite indicado. 1) 2) 3) 4) Página 9 de 13

10 Laboratorio # 8 Derivadas I.- Obtener la derivada de las funciones siguientes y simplificar cada resultado. 1) f(x) = x 3 + 2x 2) f(x) = (3x 2 2x) 3 3) f(x) = x x ) f(x) = sen 2x 5) f(x) = ln(x 2 ) 6) f(x) = 4x (2x 3) 3 7) f(x) = x 3 cos(3x) 8) f(x) = csc(2x) 4 tan(x) 9) f(x) = 3x + 4(x 2 1) 10) f(x) = x+3 x+1 11) f(x) = e 3 x2 12) f(x) = e2x x 2 13) f(x) = ln(6x 5 2x 3 + 4x + 1) 14) f(x) = cos (9 3x) 3 15) f(x) = sin (x) 16) f(x) = ln(sen x) 17) (7x2 8) 3 x 2 18) cos 2 (3x 3 + x) 19) f(x) = ( 7x2 3x x 2)3 20) f(x) = x 3 cos 2x 3 21) f(x) = ln ( 3x ) x+2 22) f(x) = x 3 tan 2x sen 2x Página 10 de 13

11 Laboratorio # 9 Aplicaciones geométricas de la Derivada y derivación implícita I.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x 3 + 3x 2 en el punto cuya abscisa es 3 2) Obtener el punto de la gráfica de f(x) = x 2 + 4x + 8 en el cual la pendiente de la recta tangente sea igual a 8 3) Hallar el punto de cada una de las funciones f(x) = 2x 2 + x y y x = 3x 2 6xen el cual las rectas tangentes son paralelas f (x) = 4x + 1 ; y (x) = 6x 6 4) Hallar la ecuación a la recta tangente a la gráfica de y = 6x 2 + 8x + 7 x 3 en el punto cuya abscisa es 1. II.- Usar diferenciación implícita para obtener 1) 3x 3 y 2 x + 6y 3 = 7 1 2) + 2 = 3 x 3 y 2 3) x+y x y + x = 4 III - Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación dada en el punto indicado. 1) x 2 + y 2 = 2 ; (2,2) 2) 2x 2 + 6y 2 = 6 ; (4, ( 1 2 )) 3) 2x 2 3y 3 = e x ; (6,3) IV.- Obtener los puntos de la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente es horizontal. 1) 6x 2 12x + 6y 2 = 0 2) 3x 2 + 3xy 2y 2 = 4 3) (y 6) 2 + 4x = 0 V.- Hallar y simplificar 1) 6y 3 4x 2 = 4 2) 2x 3 + y 3 = 15 3) 3y 3 4x 4 = 6 Página 11 de 13

12 Laboratorio # 10 Aplicaciones Graficas I - Para la función dada obtener: a) Sus valores mínimos y máximos relativos b) Los intervalo donde es creciente y los cuales donde es decreciente. c) Sus puntos de inflexión d) Los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Trazar la gráfica correspondiente. 1) f(x) = x 2 + 4x + 4 2) f(x) = 2x 3 + 5x 2 + 4x + 1 3) f(x) = x 3 + 3x 2 4 4) f(x) = x x 3 64x 2 5) f(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 6) f(x) = 1 4 x4 x 3 7) f(x) = 1 4 x2 + 3x 8) f(x) = x 4 16x 9) f(x) = 1 5 x5 x 2 II.-Trazar las gráficas de una función continua f. Que cumpla con las condiciones dadas 1. f(0) = 2 f (0) = 0 f (0) > 0 2. f(2) = 4 f (0) > 0 f (0) < 0 3. f(0) = 2 f (x) > 0 f (x) < 0 4. f( 2) = 3 f (x) < 0 f (x) Página 12 de 13

13 Laboratorio # 11 Problemas de Optimización I.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Se va a cercar un terreno rectangular de 2700 de área, y se utilizará una valla adicional para dividir el terreno a la mitad, es de por metro colocado, y el costo de la cerca para los lados es de $36 por metro colocado. Estime las dimensiones del terreno de modo que el costo total del material para la cerca sea el mínimo. 2) Una página de un libro debe contener 27 pulgadas cuadradas de impresión. Los márgenes inferior, superior y de un lado medirán dos pulgadas y el del otro lado una. De qué dimensiones debe ser la página para gastar la menor cantidad de papel?. 3) Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288pulg, y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho. Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material. 4) Determine una ecuación de la recta tangente a la curva que tenga la pendiente mínima. 5) Se va a construir una ventana en forma de un rectángulo coronado por un semicírculo cuyo diámetro es igual al ancho del rectángulo si el perímetro de la ventana es de 16 pies. Qué dimensiones admitirán la mayor iluminación?. 6) Una hoja de metal con perímetro de 4 metros va a ser enrollada para formar la cara lateral de un recipiente cilíndrico. Encontrar las dimensiones del recipiente con el máximo volumen. 7) Se va a construir una caja rectangular abierta de base cuadrada y un volumen de 32,000 unidades cúbicas. Encontrar las dimensiones que requieran la mayor cantidad de material. 8) Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10 metros. 9) Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cono circular recto de altura h unidades y radio de la base r unidades 10) Encontrar las dimensiones de la lata cilíndrica cerrada que requiera la menor cantidad de material para que contenga un volumen de 32 unidades cúbicas. Página 13 de 13