Universidad Politécnica de Cartagena Departamento de Matemática Aplicada y Estadística. Cálculo diferencial de una variable

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Margarita Velázquez Poblete
hace 5 años
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1 Universidad Politécnica de Cartagena Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Cálculo diferencial de una variable. Calcula el dominio máimo de las siguientes funciones. Determina en cada caso los puntos de acumulación de dicho conjunto. i) y = 2 + ii) y = iii) y = iv) y = 2 + v) y = vi) y = log 2 vii) y = 3 3 viii) y = sin. 2. Demuestra usando la definición de límite que: i) lim Calcula los siguientes límites: i) lim ii) lim 3 = 0 ii) lim = iii) lim = iii) lim iv) lim v) vi) lim vii) lim ( + 3 ) viii) lim 2 ( ) 2 +2 i) lim ( +3 )2 ) lim 2 ( 2 +2 ) iii) lim +3 2 iv) lim i) lim ( Analiza la continuidad de las siguientes funciones: i) y = 2 ii) y = 2 4 iii) y = iv) y = + v) y = 2 4 vi) y = 2 ++ vii) y = 2 4 si < 2 viii) y = + si 2 < 2 2 si si 0 ) y = si 0 < 2. 2 si > 2 si < 0 i) y = + si si > 3 +2 ) 2 + ii) lim

2 5. Determina a, b R para loscuales las siguientes funciones son continuas: a 5 si i) f : R R tal que f() = a + b si < < 2 2a + 3b si a si 2 < ii) g : [ 2, 5[ R tal que g() = b + a si < 3. 2 b si 3 < 5 6. Demuestra, aplicando el Teorema de Bolzano que las siguientes ecuaciones tienen solución en los intervalos indicados: i) = 0 en ]0, 2[. ii) = tan en ]0, π/4[. iii) = sin en ] π/6, π/6[. iv) n 2 = 0 si n N, n > en ]0, 2[. 7. Indica en cada apartado que hipótesis del Teorema de Bolzano falla y analiza si se verifica o no la Tesis de dicho Teorema: { si 0 i) f : [0, 2] R f() =. 2 2 si < 2 ii) g : [, 3] R g() = Demuestra que todo polinomio de grado impar tiene por lo menos un raíz real. 9. Justifica que un hilo de alambre con forma circular calentado tiene dos puntos diametralmente opuestos con la misma temperatura. 0. A partir de la definición de derivada, calcula: i) f ( ) siendo f() = ii) g (2) siendo g() = iii) j (3) siendo j() = +2 + iv) l ( ) siendo l() =.. Calcula los puntos de la gráfica de la función f() cuya recta tangente en dichos puntos forme un ángulo θ con la parte positiva del eje OX en los siguientes casos: i) f() = 2 4, θ = π 4 ii) y = sin, recta tangente horizontal. iii) y = e, θ = π 2. 2

3 2. Analiza la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: i) f() = { 2 si 0 2 si > 0 ii) f() = 2 { si si > iii) f() = { 2 5 si < si 2 iv) f() = si < si 0 v) f() = si 0 si = 0 vi) f() = + si 0 si = 0 si 0 vii) f() = +3 f() = viii) f() = si = 0 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones: i) f() = 2 4. i) y = 3 + ( )2 ii) y = log iii) y = sin 3 2 iv) y = arctan3 sin 2 2 v) y = arcsin 2 ( +2 ) vi) y = cos(cos(cos)) vii) y = sec 2 cosec 2 viii) y = 5 2sin 4 i) y = () 2 ) y = sin i) y = (cos) ii) y = arctan2. 4. Representa gráficamente las siguientes funciones: i) y = ii) y = iii) y = 2 iv) y = 2 + v) y = vi) + vii) y = log (2 9) viii y = e i) y = sin ) y = sincos Calcula las rectas tangentes a la gráfica de f() en sus puntos de infleión en los siguientes casos: i) f() = ii) f() = e iii) f() = 2 2 log. 6. Demuestra las siguientes desigualdades: i) tan si 0 < π 2 ii) e > + si > 0 iii) log < si >. 7. Calcula las derivadas n-ésimas de las siguientes funciones: i) y = log k, k > 0 ii) y = cos k, k > 0 iii) y = iv) y = e. 8. Calcula entre todos los números positivos cuyo producto es 6, aquellos que tienen suma mínima. 9. Calcula el punto de la parábola y = 2 de menor distancia al punto P = (, 2), 3

4 20. Calcula las dimensiones del triángulo isósceles de área máima entre los que tienen de perímetro 30 cm. 2. Calcula la distancia mínima del origen a la curva y =. 22. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máima que tiene sus lados paralelos a los ejes de coordenadas, inscrito en la elipse y 2 =. 23. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en una circumferencia de radio 8 cm. 24. Para cada una de las siguientes funciones, analiza si se verifican o no las hipótesis del Teorema de Rolle. Si es posible, calcula un valor donde se obtenga la tesis. i) y = en [, 3]. ii) y = 3 en [0, ]. iii) y = en [0, 2]. 25. Para cada una de las siguientes funciones, analiza si se verifican o no las hipótesis del Teorema del valor medio de Lagrange. Si es posible, calcula un valor donde se obtenga la tesis. i) y = 2 9 en [, 4]. ii) y = en [0, 2]. iii) y = en [, ]. iv) y = si 0 + si > 0 en [, 2]. 26. Calcula los valores de a y b para los cuales las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del Teorema del valor medio de Lagrange en los intervalos indicados. dichos valores, calcula un valor donde se obtenga la tesis. Para i) f() = { a 2 + b + si 0 a + b si > 0 en [, ]. ii) f() = { 2 a si a + b si > en [, 2]. { a 2 { + si a 2 + b + si iii) f() = en [ 4, 0]. iv) f() = 2 + b si > a + b si > { 2 { a si < a 2 si [ 2, 0]. v) f() = en [ 2, 3]. vi) f() = b + 3 si 2 + b si > { a 2 + 2b si [, 3]. vii) f() = en [0, 4]. b + a + 4 si > en en 4

5 27. Dada la función f() = 2 +, Qué teorema afirma que eiste 0 ] 2, [ tal que la recta tangente a la gráfica de f() en ( 0, f( 0 )) es paralela a la recta que pasa por los puntos ( 2, 5) y (, 2). Calcula Analiza si f() y g() verifican las hipótesis del Teorema del valor medio de Cauchy en los intervalos indicados. Si es posible, calcula un valor donde se obtenga la tesis. i) f() = 2, g() = + 2 en [0, 3]. ii) f() = y g() = en [, 2]. iii) f() = { 2 4 si 2 2 si 2 y g() = en [0, 3]. 29. Calcula los siguientes límites usando el Teorema de L Hôpital: i) lim 3 2 ii) lim cos a 0 cos b siendo a, b R. iii) lim π 4 tan π 4 iv) lim 0 sin v) lim cosec 0 + log vi) lim sec π 2 + log( π 2 ) vii) lim e e viii) lim e sin 0 3 i) lim 0 + tan log ) lim 0 ( sin 3 ) i) lim iii) lim e +cos e +sin iv) lim π 2 ( + 2 cos ) cos v) lim cos ( ) (log ) 2 ii) lim 0 sin 3 vi) lim 0 + (cotan) vii) lim 0 ( +tan +sin )cosec viii) lim 0 (cotan ) i) lim log sin( ) ) ii) lim 0 e 2 cos sen iv) lim 0 cos(+ π 2 ) log(+ 2 )+sin 2 lim (cos ) i) lim 0 sen 2 sen 2 ii) lim 0 tan 2 tan 2 v) lim 0 2 sin 2 sin Calcula el polinomio de Taylor de grado n de f() en 0 en los siguientes casos: i) y = cos, 0 =, n = 5. ii) y = sin, 0 = 0, n = 6. iii) y = tan2, 0 = 0, n = 4. iv) y =, 0 =, n = 4. v) y = log, =, n = 4. vi) y = cos, = π 2, n = Dada la función f() = + calcula: i) Su polinomio de Mc. Laurin de grado 3. ii) Aproima. utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 5

6 32. Dada la función f() = log calcula: i) Su polinomio de Taylor de grado 3 en =. ii) Aproima log 0.9 utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 33. Dada la función f() = calcula: i) Su polinomio de Taylor de grado 4 en = 9. ii) Aproima 0 utilizando el polinomio obtenido en el apartado anterior y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 34. Obtén aproimaciones decimales con las cifras decimales eactas indicadas usando el polinomio de Taylor adecuado: i). con 3 decimales eactos. ii) cos 0. con 3 cifras decimales eactas. iii) e 0. con 4 cifras decimales eactas. iv) 84 con 2 cifras decimales eactas. v) e 0. sin0. con 3 cifras decimales eactas. 35. Usando el polinomio de Taylor de la función f() = 6arcsin en = 0, calcula una aproimación de π con 4 cifras decimales. (Ayuda: π = f( 2 )) 36. Demostrar que sin siny y para todo, y R. 37. Calcula el polinomio de Taylor de grado 3 de f() = e 2 en = 0, aproima el valor de e 0.2 utilizando dicho polinomio y obtén una cota del error cometido con tal aproimación. 38. Dada la función f() = e calcula su polinomio de Taylor de grado 3 en = 0, aproima 7 e utilizando el polinomio calculado y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 39. Dada la función f() = sen( 2), calcula su polinomio de Taylor de grado 3 en = 0, aproima sen( 0.4) utilizando el polinomio calculado y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 6

7 40. Dada la función f() = cos( 2), calcula su polinomio de Taylor de grado 2 en = 0, aproima cos( 0.2) utilizando el polinomio calculado y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 4. Dada la función f() = calcula su polinomio de Taylor de grado 2 en = 8, aproima 80 utilizando el polinomio calculado y obtén la menor posible de las cotas superiores del error cometido. 7

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