f(x) = xe para x -1 y x 0, MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio 1. (Reserva 1 Septiembre 2013 Opción A) Sea f la función definida por

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1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE FUNCIONES. Ejercicio. (Reserva Septiembre 0 Opción A) f() = para > 0, (donde ln denota el logaritmo neperiano). ln() a) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. Ejercicio. (Septiembre 00-B) + a + b si 0 Considera la función f : [0, 4] IR definida por: f( ) = c si < 4 (a) [.75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica que f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. (b) [0.75 puntos] Para a =, b = 4 y c = halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio. (Junio 0 Opción B) + e si 0 Sea f : (, ) R la función definida por f( ) = a b si 0 < < a) [ 5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0. Ejercicio 4. (Reserva Junio 0 Opción B) f() = e para - y 0, a) [ punto] Calcula los límites laterales de f en = 0. b) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. Ejercicio 5. (Junio 00-A) Sea f la función definida como a + b f( ) = a- para a. (a) ['5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, ) y tenga una asíntota oblicua con pendiente 4. (b) [ punto] Para el caso a =, b =, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =.

2 Ejercicio 6. (Sobrante 009) Sea f : IR IR la función definida por f( ) = + e. (a) [0.75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f. (b) [0.5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. (c) [0.75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de f. (d) [0.5 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio 7. (Junio 009-A) [ 5 puntos] Calcula el siguiente límite (ln denota logaritmo neperiano): lim ln( ) Ejercicio 8. (Septiembre 008-B) [.5 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (, ), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. Ejercicio 9. (Eamen Junio 0 Específico Opción B) f() = para y. + - ( )( ) (a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) [0'5 puntos] Calcula, si eiste, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal. Ejercicio 0. (Eamen 0 Opción A) Sea la función f : [, e] R definida por neperiano. f() = - 8ln() donde ln denota la función logaritmo (a) [0'75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (b) [ punto] Calcula los etremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (c) [0'75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de conveidad.

3 Ejercicio. (Junio 0 General Opción A) Sea la función f : R R definida por f() = e ( - ) (a) [ punto] Calcula las asíntotas de f. (b) [ punto] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) [0'5 puntos] Determina, si eisten, los puntos de infleión de la gráfica de f. Ejercicio. (Septiembre 0 Opción A) [ 5 puntos] Un alambre de 0 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. Ejercicio. (Junio 0-B General) [ 5 puntos] Sea f: [, + ) R la función definida como f( ) =. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(, 0). Cuál es esa distancia? Ejercicio 4. (Reserva Septiembre 0 Opción A) [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm. de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible. Ejercicio 5. (Reserva Septiembre 0 Opción B) [ 5 puntos] Considera la función f : R R dada por f ( ) = + a + b + c. Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 es y+=- y que el punto de infleión tiene abscisa =. Ejercicio 6. (Reserva Junio 0 Opción A) Sea g la función definida por m g() = para n. -n ( ) a) [ 75 puntos] Halla m y n sabiendo que la recta y = 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) [0 75 puntos] Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.

4 4 Ejercicio 7. (Eamen 6 Junio 0 Opción A) cos( ) + bsen( ) [ 5 puntos] Sabiendo que lim 0 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. Sea f : R R definida por f ( ) = + a + b + c a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de infleión de abscisa =/ y que la recta tangente en el punto de abscisa = 0 tenga por ecuación y = 5-6. b) Para a =, b =- 9 y c = 8, calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Ejercicio JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de 5 m. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima. Ejercicio RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Considera la función f : R R definida por a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. f() = e - Ejercicio. 04. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a - si < Sea f : R R la función derivable definida por: f() = b + ln si > donde ln denota el logaritmo neperiano a) Calcula a y b. b) Para a = y b =, calcula los etremos absolutos de f en el intervalo [0, e]. (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)

5 5 Ejercicio. 04. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Sabiendo que a sen - e lim 0 es finito, calcula a y el valor de dicho límite. Ejercicio. 04. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. Ejercicio RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Sea f : R R la función definida por f ( ) = + b + c + d. Halla b, c y d sabiendo que f f( ) tiene un máimo relativo en = - y que lim = 4 - Ejercicio RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Sea f : R R la función definida por f ( ) = + a + b + c. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene de abscisa = y que f tiene un mínimo relativo en = de valor 9. Calcula a, b y c. Ejercicio RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

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