PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
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- Elvira Luna Castillo
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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B
2 Se sabe que la función f : (, + ) R definida por continua en(, + ). a) Halla el valor de a. Es f derivable en =? b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 4. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. + si < < f ( ) a = si es a) Como la función es continua en (, + ) debe serlo en=, luego: + = a a a lim + = = = a + lim 4 + Vamos a ver si es derivable en =. Calculamos la función derivada: 4 si < < f '( ) = + si > ( + ) f f '( ) = 4 + f '( ) f '( ) + '( ) = No derivable b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. 4 si < < f '( ) = + si > ( + ) (,) (, ) (, ) Signo f ' + Función D D C
3 Considera la función f : R R definida por f ( ) = ( + )( )( ). a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. MATEMÁTICAS II. 4. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La ecuación de la recta tangente será: y f ( ) = f '( ) ( ) f = + = + ( ) ( )( )( ) f () = + = f = f = '( ) 4 '() luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y = ( ) y= + La ecuación de la normal será: y = ( ) y= b) Calculamos la segunda derivada. f ''( ) = 6 4= = Signo,, f '' + Función Cn C P.I., 7
4 Sea f :[, π ] R la función definida por f ( ) = e (cos + sen). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los etremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: π π y ' = e cos= = ; = π, π π, π, π Signo y ' + + Función C D C π π Máimo, e mínimo, π e π El máimo absoluto es (,e π ) π y el mínimo absoluto es π, e π
5 Se sabe que la función f : (,) R definida por: + c si < < f ( ) = si < es derivable en el intervalo (,). a) Determina el valor de la constante c. b) Calcula la función derivada f. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y =. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Si la función es derivable en=, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: lim + c= c c = lim = + b) La función derivada es: 4 si < < f '( ) = si < c) Si son paralelas a la rectay= m=, luego: 5 4 = = ; y= + = 8 Luego, la recta tangente es: Luego, la recta tangente es: 5 y = + + y = 8 = = ; y= = 4 y = 4+ 4y 5= 4
6 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola recta 4 + y + =. y= que es paralela a la b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y= que pasan por el punto (,). MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La ecuación de la recta tangente será: y f ( ) = f '( ) ( ) Como tiene que ser paralela a la recta 4+ y+ = m= f '( ) = 4= =, y f = =, luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: ( ) 4 y 4= 4 ( ) y= 4 4 b) La ecuación de todas las rectas tangentes será: y a = a ( a) ; y como queremos que pasen por el punto (,), tenemos: a= a = a ( a) a + 4a= a = 4 a= y = ( ) y= a= 4 y 6= 4 ( 4) y= 8 6
7 Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con litros de capacidad. Halla las dimensiones de la caja que precisa la menor cantidad de chapa. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. y a) La función que queremos que sea mínimo es: Superficie = + y min 4 b) Relación entre las variables: = y y= c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. + Superficie 8 8 min = + 4 = + = d) Derivamos e igualamos a cero 8 8 S ' = = = = 64 = 4 Luego, las dimensiones son: = 4 dm ; y= dm
8 Sea f : R R la función definida por f ( ) =. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en =. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Lo primero que hacemos es abrir la función y dibujarla + < f ( ) = = si si b) Calculamos la función derivada: si < f '( ) = si > Vamos a estudiar la derivabilidad en = f f '( ) = + '( ) = Si es derivable en = c) La ecuación de la recta tangente será: y f () = f '() ( ) f () = f '() = 4 luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y+ = 4 ( ) y= 4+ 6
9 a Se sabe que lim e es finito. Determina el valor de a y calcula el límite. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a ae + a ae lim lim lim = = = = ae = a= ( ) e e ( e ) + e a ae + a ae ae a lim lim lim lim = = = = = = = = ( ) ( ) e e e e + e + e + e 4
10 Sea f : R R la función definida por f ( ) = e a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La función f ( ) e =, no tiene asíntota vertical ya que su dominio esr. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal lim = = lim = = lim = = e e e + 4 e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y=. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: e e y ' = = = = ; = ; = ( e ) e (, ) (,) (,) (, ) Signo y ' + + c) Función C D C D Máimo, mínimo (, ) Máimo, e e
11 Halla una función f : R R tal que su gráfica pase por el punto M (,), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta y + = y que f ''( ) =. MATEMÁTICAS II. 4. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. La función que queremos averiguar será de la forma: 4 f ( ) = a + b + c + d+ e Calculamos la primera y segunda derivada. f '( ) = 4a + b + c+ d ; f ''( ) = a + 6b+ c Aplicamos las condiciones del problema: a= a= 4 f ''( ) = a + 6b+ c= 6b= b= c= c= f a b c d d '() = = = Pasa por M f a b c d e e 4 (,) () = = = Luego, la función pedida será: 4 f ( ) = + + 4
12 Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base se emplea un material un 5% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. MATEMÁTICAS II. 4. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. y a) Función que queremos que sea mínimo es: Coste = + + y= + y min '5 4 '5 4 8 b) Relación entre las variables: 8= y y= c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. + Coste 8 '5 min = '5 + 4 = '5 + = d) Derivamos e igualamos a cero 7 '5 '5 5 C ' = = = = 64 = 4 Luego, las dimensiones son: = 4 cm ; y= 5cm
13 De una función f :[,4] R se sabe que f () = y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función su máimo absoluto. c) Estudia la concavidad y conveidad de f. MATEMÁTICAS II. 4. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) De la gráfica de la función f '( ), vemos que f '() =, luego, la ecuación de la tangente será: y f () = f '() ( ) y = ( ) y= + b) De la gráfica de la función f '( ), vemos que siempre es positiva, luego, la función f ( ) es creciente en el intervalo [,4 ] y, por lo tanto no tiene máimos ni mínimos relativos. Como es creciente el máimo absoluto está en= 4. c) (,) f '( ) escreciente f ''( ) > Convea (,) f '( ) esdecreciente f ''( ) < Cóncava (,4) f '( ) escreciente f ''( ) > Convea Luego, = y = son puntos de infleión.
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