PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sean f : R y g : R las funciones definidas mediante 3 f ( ) = + 3 y g( ) = + 3 a) Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Para dibujar la función con los ejes. f ( ) 3 3 = +, vamos a calcular sus etremos relativos y puntos de corte f f ''( ) = 6+ 6 f ''() = 6> mínimo (,) f ''( ) = 6< Máimo (, 4) '( ) = = = ; = La función corta al eje X en (,) y( 3,). Para dibujar la función g( ) = + 3, basta con hacer una tabla de valores, ya que es una recta. Vemos claramente en el dibujo que las funciones se cortan en los puntos: ( 3,) ; (,) y (, 4) b) A = ( + 3 ) ( + 3) d= ( + 3 3) d= + 3 = 4u A = ( + 3) ( + 3 ) d= ( ) d= = 4u 4 3

3 Dada la función f : R definida por f ( ) = Ln( + ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano). MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B Ln ( + ) d= Ln ( + ) d= Ln( + ) d+ d= + + = Ln ( + ) + arctg+ C u= Ln( + ); du= + dv= d; v= d De todas las primitivas de f() F( ) = Ln ( + ) + arctg+ C nos piden la que pasa por el punto (,), luego: F = Ln + + arctg + C= C= () ( ) Por lo tanto, la primitiva que nos piden es: Ln ( + ) + arctg

4 Considera Sea las funciones f : R y g : R definidas por f ( ) = e y g( ) = e a) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) La gráfica def ( ) = e, es eactamente igual que la de e pero desplazada una unidad a la derecha en abscisas OX (en negro). Como g( ) = e = e e, sabemos que la gráfica de e es eactamente igual que la de e pero simétrica respecto al eje de ordenadas OY, y al estar multiplicada por e, está dilatada a lo largo de dicho eje OY. En concreto si =, g() = e, por tanto un esbozo de dichas gráficas es Para encontrar el punto de corte igualamos las funciones cual el punto de corte es (,). e e = = =, con lo A= e e d= e e e e u = + + = + + e e b) ( )

5 Sea f : R la función definida porf ( ) = ( 3). a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada de la función 3 f ( ) = ( 3) = ( 6+ 9) = f '( ) = 3 + 9= = ; = 3 (,) (,3 ) ( 3, ) Signo y ' + + Función C D C Máimo (,4) mínimo (3,) b) Para hacer un esbozo de la gráfica calculamos los cortes con los ejes. Puntos de corte (, ) y (3, ) c) A= ( ) d= u 4 3 = + = 4 4

6 SeaI = d. e a) Epresa I haciendo el cambio de variablet = e. b) Calcula I. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) t= e dt e d d dt dt I = d = e t t t = = b) dt A B I = d= = dt+ dt= ln( t) + lnt = ln( e ) + lne + C= ln( e ) + C e t t t t A B A t+ B( t) t = = B B= = + = t t t t ( t) t t = = A A =

7 α si < Sea f : (,) la función definida mediante f ( ) = β si < < a) Determina α y β sabiendo que f es derivable. b) Calcula f ( ) d. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) Para que sea derivable, primero tiene que ser continua en=, luego: lim α α = α β = α= +β α β= β β lim = + Estudiamos la derivabilidad de f() en = α si < f '( ) = si < < f '( ) = α + α= f '( ) = Sustituyendo en la ecuación anterior nos queda: α β= β= β= 3 b) [ ] d= ln = ln

8 +α si < Sea f : R la función definida por f ( ) = e si a) Determina el valor de α sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula f ( ) d. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Estudiamos la derivabilidad de f() en = α si < f '( ) = e si f '( ) =α + α= f '( ) = b) Para hacer un esbozo de la gráfica tenemos en cuenta que es una recta y con dos puntos nos basta para dibujarla, en concreto (,) y (, ). La gráfica de e es eactamente igual que la de la eponencial de ordenadas OY. Un esbozo sería: e pero simétrica respecto al eje c) ( ) d e d e e 5 + = + = + + = e

9 Calcula 3+ 4 a) d + b) 4 π cos d MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) d= d+ d= d+ 4 d= ln arc tg + C b) Calculamos primero la integral por partes sen sen cos d = sen d= + cos 4 u= ; du= d dv= cos d; v= sen Ahora, calculamos la integral que nos piden: π 4 π 4 π sen cos d= + cos = 4 8 4

10 Calcula Sea β> para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : R y g : R definidas por f ( ) = y g( ) = + β sea 7 (unidades de área). MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. La gráfica de f ( ) Como β>, la gráfica de = es una parábola que tiene su vértice en (,) y las ramas hacia arriba. g( ) = + β es igual que la de respecto el ej OX) pero desplazada hacia arriba conjuntas son: (como la de pero simétrica β en OY. Aunque no lo piden las gráficas Para encontrar el punto de corte igualamos las funciones ; = + β =β = β. β β = ( + β ) d= 3 β + β = β + β β + β = β β= 3 β 3 3 3

11 Sea Sea f : R la función definida porf ( ) =. a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La ecuación de la recta tangente en = es: y f () = f '() ( ) - f () = - f '() = Luego, la recta tangente es: y = ( ) y= b) Un esbozo de la gráfica de ambas funciones es: Las funciones se cortan en el punto (, ) El área pedida es: 3 ( ) A= d d = = + + = u

12 Sea Sea f : R la función definida por f ( ) =. a) Estudia la derivabilidad de f en =. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. + si a) Lo primero que hacemos es abrir la función. f ( ) = = si > Las funciones + y por ser polinómicas son continuas y derivables en R. En el único punto donde puede haber problemas es en=, que es el punto donde cambiamos de una a otra. Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en = Veamos la continuidad de f() en= : ) f () = ) 3) + = lim ( ) f = lim ( ) = lim ( ) + f () = lim f ( ) = Por lo tanto, la función es continua en = Estudiamos ya la derivabilidad de f(), en particular en = + si < f '( ) = + f '( ) = f '( ) f '( ) + si > f '( ) = b) No derivable c) El área pedida será: A= ( + ) d= 4 u + = + = 3 3 3

13 Sea f : (, + ) la función definida por f ( ) = Ln( + ). (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa=. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta =. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La recta tangente en = es y f () = f '() ( ) f () = Ln= f '( ) = f '() = + Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y = ( ) y= b) El área de la región pedida es: 3 A= ( Ln( + )) d= Ln( ) Ln( ) Lnu = Ln( + ) d = Ln( + ) d Ln( ) d Ln( ) Ln( ) + = + + = u= Ln( + ); du= d + dv= d; v=