Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos

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Virginia Bustamante Macías
hace 6 años
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1 Análisis Integral Indefinida Matemáticas II TEMA La integral definida Problemas Propuestos Integrales definidas Halla el valor de: a) d b) 7 c) d 5 d d) e d Calcula la integral e ln( ) d Utilizando el cambio de variable t ln calcula e d e ( ln ) Calcula las siguientes integrales definidas: a) arcsin d b) ln d 5 (Propuesto en Selectividad, Madrid) Calcula razonadamente las siguientes integrales definidas: / sin a) e cos d b) d cos Cálculo de áreas de recintos planos 6 Calcula el área de la región limitada por y, el eje OX y las rectas =, = 7 Halla la superficie del recinto plano encerrado entre la curva dada por la función f ( ) e y el eje OX, en el intervalo [, ] 8 Calcula el área encerrada entre la curva de la función intervalo [, ] f ( ) y el eje OX, en el 9 Halla el área de la región plana limitada por la curva y sin y el eje OX en el intervalo [, ] Halla el área de la región plana limitada por la curva y sin cos intervalo [, /] y el eje OX en el Halla el área encerrada entre la curva y y el eje OX, entre = y = e

2 Análisis Integral Indefinida Calcula el área de la región limitada por la función puntos (, ) y (, ) y y la recta que pasa por los Calcula el área comprendida entre las parábolas y, y Halla el área del recinto plano comprendido entre las gráficas y e y 5 Calcula el valor de a para el que las tangentes a la curva y a en los puntos de abscisa de valor absoluto, pasan por el origen de coordenadas Halla el área del recinto limitado por la curva y las dos tangentes 6 Calcula el área encerrada entre las curvas dadas por las funciones g( ) 7 Calcula el área de la región acotada del plano limitada por la curva recta y f ( ) y y y la 8 Halla el área de dicho recinto limitado por las curvas de ecuación y e y 9 De la función f ( ) a b c d se sabe que tiene un máimo relativo en =, 5 un punto de infleión en (, ) y que f( ) d Calcula a, b, c y d (Propuesto en Selectividad) Calcula el área determinada por las curvas de ecuaciones y e y, representadas en el dibujo adjunto Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola y y por la recta y Calcula el área encerrada entre la gráfica de la función eponencial a la misma que une los puntos de abscisas = y = f ( ) e y la cuerda Halla el área de la región limitada por las curvas y sin e y cos y las rectas = / y = 5/ Dibuja el recinto finito del plano limitado por la recta =, la parábola 8 hipérbola y Calcula su área y y la

3 Análisis Integral Indefinida 5 (Propuesto en Selectividad, Etremadura) a) Calcula los puntos de corte de la recta y y de la recta y con la rama hiperbólica y, > b) Dibuja el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior c) Calcula el área de dicho recinto 6 Halla el área del recinto limitado por las curvas y e, y e y la recta = 7 (Propuesto en Selectividad, Navarra) Dadas las funciones f ( ) 5 y g( ), calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f () y g () Teorema fundamental del cálculo integral 8 Aplicando el teorema fundamental del cálculo, halla los valores de las constantes a, b, c y d, sabiendo que: t t t e dt a b c d e 9 (Propuesto en Selectividad) Halla los puntos donde se anula la derivada de la función ( t t) f ( ) e dt Si f es una función continua en el intervalo [, ] tal que f () tdt f() tdt, se puede asegurar que eisten dos números, b y c pertenecientes a [, ], tales que b, c y f ( b) f ( c)? (Propuesto en Selectividad, Madrid) Sea la función t F( ) e dt a) Calcula F ( ), estudia el crecimiento de F( ) y halla sus máimos y mínimos b) Calcula F ( ) y estudia la concavidad y conveidad de F( ) Esboza la gráfica con los datos obtenidos (Propuesto en Selectividad, Madrid) Sea f una función real de variable real, continua y positiva, tal que f ( tdt ) e arctg a Determina el valor de la constante a y halla f ( ) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (Propuesto en Selectividad, La Rioja) sin t Sea la función F( ) dt, definida para t Halla sus máimos y mínimos relativos

4 Análisis Integral Indefinida (Propuesto en Selectividad, Andalucía) Sea f una función continua en el intervalo [, ] y F una primitiva de f tal que F() = y F() =, calcula: b) 5 f ( ) 7d a) f ( ) d c) F ( ) f ( ) d 5 (Propuesto en Selectividad, Madrid) 8 Sea f () una función continua tal que f ( u) du Halla f ( d ) Volúmenes 6 Calcula el volumen del cuerpo generado al girar alrededor del eje OX de la superficie limitada por la curva y sin y el eje OX, entre y 7 Halla el volumen generado al girar alrededor del eje OX el recinto plano determinado por dicho eje y la curva y 8 Halla el volumen del cuerpo limitado por la elipse y 5 completa alrededor del eje OX al dar una vuelta 9 Se consideran, en el plano, las curvas de ecuaciones y e y Se pide: a) El área del recinto finito determinado por dichas curvas b) El volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar dicho recinto alrededor del eje OX Otros problemas Halla el área encerrada por la gráfica de la función f ( ) sin y el eje de abscisas entre el origen y el primer punto positivo donde f se anule Aplicando el cálculo integral confirma que la fórmula del área del círculo de radio R es S R (Dato: La ecuación de una circunferencia de radio R es y R ) Determina también el volumen de la esfera del mismo radio (Propuesto en Selectividad) El número de pasajeros que pasan por la terminal de un aeropuerto se ajusta durante un día determinado a la función P( t) t t, siendo t el tiempo en horas y P(t) el número de viajeros en el momento t a) Representa la gráfica de la función en el conteto del problema Cuál fue la máima afluencia del día y en qué momento se da? b) Qué cantidad de viajeros pasa por esa terminal desde las horas hasta las 8 horas? El tiempo, en horas, que tarda un autobús en hacer el recorrido entre dos ciudades es una variable aleatoria con función de densidad: f ( ),( ), si [, ]; y en otro caso

5 Análisis Integral Indefinida 5 a) Calcula el tiempo medio que tarda en hacer el trayecto b) Calcula la probabilidad de que la duración del trayecto sea inferior a dos horas Halla el área limitada por la curva y e la abscisa del punto máimo de la curva, el eje de abscisas, y la recta = a, siendo a 5 Sea f ( ) una función derivable en (, ) y continua en [, ], tal que f() = y f ( ) d Utilizando la fórmula de integración por partes halla f ( d ) 6 (Propuesto en Selectividad, Asturias) Se considera la curva de ecuación y a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen b) Dibuja un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada c) Calcula el área de ese recinto Soluciones: a) 65 b) 8 c) 7 d) 6 e e 6 ln 5 a) b) ln( ) 5 a) e b) ln 5 6 ln 7 e 8 ln 9 / 5 ln / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 f ( ) 8 5

6 Análisis Integral Indefinida 6 9 e 7 8ln u 5 c) ln 6 e e 7 / 8 a = ; b = ; c = 5; d = 9 = ; = Sí a) F ( ) e ; mínimo en = b) PI en a = ; f( ) e Máimos: =,, 5, ; mínimos: =,, 6, a) b) c) 7/ u 8 9 a) 6 b) 5 u R b) 7 a),8 b),65 e 5 / 6 a) y c) /

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