INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el autobús en marca. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y alla la velocidad a la que corre. b) Cuál es la velocidad aproimada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero? Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 0 m más allá. Corrió, por tanto, a m/s. Es decir: 8,6 8,8 km/ b) En el instante s está a 5 m de la parada. En el instante 6 s está a 50 m de la parada. 5 m Velocidad media 7,5 m/s 7 km/ s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.

2 Es preferible esperar o correr tras el autobús? Los viajeros y, en el momento de la salida del autobús, estaban a 00 m de la parada. El decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El tiene un etraño comportamiento. Etraño? 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Describe el movimiento del pasajero. b) Eplica por qué el comportamiento del pasajero es muco más sensato que el del, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Carrera de relevos La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos: a) Por qué en las carreras de relevos Ò 00 m cada relevista empieza a correr antes de que llegue su compañero? b) Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?.º relevista c) Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? Cómo son sus velocidades en el momento. er relevista de la entrega del testigo? a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad,

3 Página 77. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los siguientes intervalos: [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8] f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7. Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba, dando a los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 78. En la gráfica, en verde, de la función adjunta, se an señalado cinco puntos, A, B, C, D y E. En cada uno de ellos está trazada la recta tangente, cuya pendiente se puede calcular. Epresa los resultados utilizando la epresión f'(a) Por ejemplo, para el punto B: f'( )

4 y f () B C A D E 9 f'( 8) ; f'( ) ; f'() ; f'(5) ; f'(0) 5 7 Página 79. Halla, aplicando la definición, el valor de la derivada de y 5 en los puntos de abscisas 0,,, y 5. Hazlo también, aproimadamente, con calculadora, tomando 0,000. f (a + ) f (a) Por la definición f'(a) : 8 0 f'(0) 5; f'() ; f'() ; f'() ; f'(5) 5 Con calculadora (numéricamente, de forma aproimada): f (0,000) f (0) f'(0),9999 0,000 f (,000) f () f'(),9999 0,000 f (,000) f () f'() 0,9999 0,000 f (,000) f () f'(),000 0,000 f (5,000) f (5) f'(5) 5,000 0,000

5 Página 80. Halla la derivada de f () 5 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos allados en la página anterior. f ( + ) f () f'() [5( + ) ( +) ] [5 ] (5 ) f'() ; f'(0) 5; f'() ; f'() ; f'() ; f'(5) 5. Halla la derivada de y y, a partir de ella, alla f'( ), f'(0) y f'(). Qué significan los resultados? f ( + ) f () [( +) 5( + ) + 6] [ 5 +6] f ( + ) f () ( + 5) f'() 5 f'( ) ( ) 5 9 f'(0) f'() 5 Significa que la tangente pasa de tener pendiente negativa a tenerla positiva. Página 8 Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () f'() 6 6. f () + f'() +

6 . f () f'() + 5. f () f () / 8 f '() 5/ 5 5. f () sen cos f'() cos sen 6. f () tg. Epresa tg que: tg sen cos sen cos y deriva como cociente. Al simplificar, ten en cuenta (sen ) + (cos ) D (sen ) cos sen D (cos ) cos cos sen ( sen ) D tg (cos ) (cos ) 7. f () e cos + sen cos f'() e + e e ( + ) cos 8. f () f'() + ln ( + ln ) 9. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln 0. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( )

7 . f () ( f'() + 6 5) ( ) + +. f () log f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln 0. f () + ( + ) () ( ) () f'() ( +) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) + ( ). f () f() / / D f() (/) ( /) + ( ) Página 8 Halla la función derivada de las siguientes funciones: 5. f () sen ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7) 6. f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / f () sen ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )]

8 8. f () log log f () 8 f'() ( ln 0 log ) ln 0 9. f () cos ( π) f'() sen ( π) 0. f () + f'() +. f () e + f'() e + + e + e + ( + ). f () sen ( + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) Página 8. Calcula la función derivada de f () + y alla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas, y. b) Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. c) Las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos. d) Es f () creciente o decreciente en? f'() 8 a) f'( ), f'() 5, f'() b) y ( + ) ; y 5 ( ) ; y ( ) 8 c) f'() , 8/ d) f'() < 0 8 decreciente

9 Página 85 LENGUAJE MATEMÁTICO. En la fórmula que sirve para allar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto y f(a) + f'(a)( a) di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La es la variable independiente, de qué función? f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se traza la tangente; f(a) es la ordenada de ese punto, y f'(a) es la pendiente de la recta tangente, pues f' es el nombre de la función derivada. Las variables e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un punto cualquiera) de la recta tangente. es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangente a f en el punto de abscisa a. Página 87. Representa estas funciones: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() , Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90)

10 c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f () ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) 0 0 Página 89. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a) y + + b) y + c) y + + d) y e) y + f ) y + ( + ) ( + ) ( a) f'() + + ) ( + ) ( + ) , ( + ) Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( + ) ( + ) ( b) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y

11 ( c) f'() + ) + ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f'() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 8 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: Asíntota orizontal: 0 es asíntota vertical y ; y es asíntota orizontal Cuando y < ; y cuando 8 y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota.

12 Puntos singulares: f'() ( ) + f'()? 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f'() < 0 si < 0; y que f'() > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en 0) y es creciente en (0, Corta al eje en (, 0) y (, 0). Gráfica: y 6

13 Página 9 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Si la T.V.M. es positiva, la función crece. T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] 8 Decrece b) T.V.M. [, ] 8 Decrece 7 c) T.V.M. [, ] 8 Crece 8 d) T.V.M. [, ] 8 Crece

14 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). Dada la función f (), alla la tasa de variación media en el intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Comprueba que la T.V.M. de la función f () +5 en el intervalo [, + ] es igual a +. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [, ], [;,5], utilizando la epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 Derivada en un punto 6 En esta función se an trazado las tangentes en los puntos A, B y C. Halla sus pendientes y di el valor de f'( 5); f'(0) y f'(). A B C 0 m A 8 f'( 5) + 5 m B 0 8 f'(0) 0 0 m C 8 f'() 7

15 7 a) Halla f' en los puntos de abscisas, 0 y. Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en esos puntos. b) En, la derivada es positiva o negativa? 6 f a) f'( ), f'(0), f'() b) Positiva. 8 a) En qué puntos de esta función la derivada vale 0? b) Cuánto vale f'()? c) Di para qué valores de la derivada es negativa. a) En (, 5) y en (, ). 0 b) m 8 f'() 5 c) ) «(, 9 Aplicando la definición de derivada, calcula f'( ) y f'(), siendo: f () ( + ) 7 + f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'()

16 f ( + ) f () 0 Halla para valores muy pequeños de (por ejemplo, 0,0 o bien 0,00) y di después el valor de f'() en cada caso: a) f () b)f () ( +) c) f () + 5 d) f () f ( + ) f () ( + ) +6 a) + 6 f ( + ) f () Si 0,0 8 6,0 f ( + ) f () Si 0,00 8 6,00 f'() 6 f ( + ) f () (( + ) + ) 9 + b) + f ( + ) f () Si 0,00 8,00 8 f'() f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 6 +7 c) + 7 f ( + ) f () Si 0,00 8 7,00 8 f'() 7 f ( + ) f () (/ + ) d) ( + ) + f ( + ) f () Si 0,00 8,998 8 f'() Halla la pendiente de la tangente a la curva y 5 + en el punto de abscisa, utilizando la definición de derivada. m f'( ) 8 0 f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) ( + ) 5( + ) Por tanto, la pendiente es 9.

17 Halla el valor del crecimiento de f () ( ) en los puntos y, aplicando la definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) f'() ( ) f ( + ) f () ( + ) 0 f'() Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso: a) f () 5 8 f'() 5 b) f () 7 8 f'() c) f () + 8 f'() + d) f () 8 f'() f ( + ) f () 5( + ) a) f'() f ( + ) f () b) f'() 7( + ) ( + + ) (7 + ) 8 0 f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 0 ( + )

18 Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Ordena de menor a mayor los valores de f'( ), f'() y f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() Página 95 Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 5 f() + 6; f'() 6 + 6; f'() 6 f() + ; 7 f'() ; f' ( ) 7 7 f() + ; f'() + ; f'() f() ; f'() 7 ; f'(0) 7 (7 + ) 9 f() ; + f'() 6 8 f'( ) ( + ) 0 f() ln ( ); f'() 8 f'() 8

19 f() sen + cos ; π f'() cos sen 8 f'(π) f() ; 8 f'() 8 f'(8) ( ) f() + ; f'() + ln () f'( ) ln + f() (5 ) ; 5 f'() 5(5 ) 8 f' 5 5 ( ) f() ; 5 0 f'() 8 f'() ( 5) 5 6 f() + log ; f'() + 8 f' + ln 0 ( ) ln 0 7 f() e ln ( + ); f'() e ln ( [ +)+ ] 8 f'() e ( ln + + ) Halla la función derivada de estas funciones: 8 a) f() + b) f() ( ) a) f'() + b)f'() 6( ) 9 a) f() b) f() + a) f'() (si? 0) b) f'() +

20 0 a) f() ( + 6) b) f() ( + e ) a) f'() + 6 b) f'() e ( + e ) a) f() b) f() 7 + a) f() ( ) / ; f'() ( ) / ( ) b) f'() 7 + ln 7 ( ) a) f() + b) f() ln a) f'() + b) f'() a) f() b) f() + a) f'() + ( + ) b) f'() e (7 0) ( 5) ( + ) e 5 a) f() b) f() ln ( ) a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f () ln / ln 8 f'() 5 a) f() b) f() e a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f'() e e e ( ) e ( )

21 6 a) f() ln e b) f() log a) f'() 0 b) f () log log ( ) log log ( ) f'() + ln 0 ( ) ln 0 7 a) f() + b) f() ln + a) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) b) f'() ln Puntos en los que la derivada vale k 8 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y + b) y a) f'() Punto (, ) b) f'() 0 8,. Puntos (, ) y (, ) 9 Obtén los puntos donde f'() en los siguientes casos: a) f() + + b) f() +5 a) f'() ; 8 ; f() 0 8 P(, 0) + 5 b) f'() ( +5) ( +5) ( +5) 8 ( +5) ; f( ) 8 P(, ) 7; f( 7) 8 Q( 7, ) 0 Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f'() 8 8 ; f() 0 8 P(, 0)

22 b) f'() 8 8 ( +) ( +) 8 ( +) ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) c) f'() ; f( ) 8 P(, ) d) f'() 8 8 ; f ln 8 P, ln ( ) ( ) Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientes casos: a) y b) y + 5 c) y d) y a) f'() ; f() 8 P(, ) b) f'() ; f 8 P, c) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f( ) 8 Q(, ) ; f( ) 8 R(, ) d) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ( +) ( +) ( ) ( 5 ) Comprueba que las siguientes funciones no tienen ningún punto en el que la derivada sea igual a 0. 7 a) y b) y + 6 c) y + d) y 7 7 a) f'() 8? 0 para cualquier. b) f'() no tiene solución. c) f'() + 8 ± + 0; 6 no tiene solución. 6 6 d) f'() 8 ( ) ( ) 0 no tiene solución.

23 Página 96 Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. f'() 5; m f'(), f () 0 La recta es y ( ) Escribe la ecuación de la recta tangente a y en el punto de abscisa. f'() + ; m f'( ), f ( ) La recta es y ( + ) Escribe la ecuación de la recta tangente a y + + cuya pendiente sea igual a. f'() + 8 ; f ( ) La recta es y ( + ) 6 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y + en 0. f'() ; m f'(0), f(0) + La recta es y + 7 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0 8, Puntos (, 0) y (, 0) f'(), f'(), f'( ) Las rectas son: En, y ( + ) + 8 En, y ( ) + 8 Puntos singulares 8 Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + 5 b) y + c) y d) y

24 a) f'() ; f 8 P (, ( ) ) b) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ; f() 0 8 Q(, 0) c) f'() 8 0 d) f'() 8 0 0; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f() 7 8 Q(, 7) ; f() 6 8 P(, 6) ; f( ) 6 8 Q(, 6) 9 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + b) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) b) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ( +) ( +) 50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares: a) y + b) y c) y d) y ln a) f'() no tiene solución. b) f'() 8 0 no tiene solución. c) f'() 8 0 no tiene solución. d) f'() 8 0 no tiene solución. Crecimiento y decrecimiento 5 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 5 al 7 y di si cada una de las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica. 5) Creciente. 6) Creciente. 7) Creciente. 8) Decreciente. 9) Creciente. 0) Creciente. ) Creciente. ) Decreciente. ) Creciente. ) Creciente. 5) Decreciente. 6) Creciente. 7) Creciente.

25 5 Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: + a) y b) y 5 c) y + d) y e) y f) y a) f'() 8 Creciente en b) f'() 8 Decreciente en c) f'() 8 Crece en (, Decrece ) ( ) d) f'() 8 Crece en ). Decrece en (, e) f'() 8 Creciente en f) f'() 8 Crece en ) «(, Decrece en (, ). 5 Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f' es positiva y en los que f' es negativa. Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si ) «(, f' < 0 si é(, ) 5 Dada la función f () , obtén su función derivada y estudia su signo. Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? Tiene f máimo o mínimo? f'() f' > 0 f' < 0 f' > 0

26 Crece en ) «(, Decrece en (, ). Máimo en. Mínimo en. Gráficas de funciones polinómicas y racionales 55 Representa una función y f () de la que sabemos: Es continua. f () f 8 Tiene tangente orizontal en (, ) y en (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 56 De una función polinómica sabemos que: f () f () 8 Su derivada es igual a 0 en (, ) y en (, ). Corta a los ejes en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente.

27 57 Representa la función continua y f () de la que sabemos: En los puntos (, ) y (, ) la tangente es orizontal. Sus ramas infinitas son así: 58 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? f'() ( ) : f(0) 8 pasa por (0, ) f() 0 8 pasa por (, 0) f() 8 pasa por (, ) f'() 0 El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo, porque la derivada no cambia de signo. Página Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración de la dereca. Represéntala. f() + f'() 0 8, Puntos (, ) y (, ) f () 8 0 f Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y.

28 60 Comprueba que la función y : + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: Si y <. Si 8 y <. Represéntala. ( f' () + ) ( ) ( + ) ( + ) f'(0) 0; f (0) Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares: ( 5 5,, (0, 0) y (, ) ) y que sus ramas infinitas son las representadas.

29 PARA RESOLVER 6 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Los coces, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 0% cada año, aproimadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coce desde que se compró asta años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coce en los dos primeros años, entre los años y 6, y entre los años 8 y 0. Es constante la depreciación? Depreciación: [0, ] [, 6] [8, 0] La depreciación no es constante. 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que sean paralelas a la recta 6 y +00. La pendiente de la recta es el coeficiente de cuando la y está despejada. f'() 6 8,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 6 En qué puntos la recta tangente a y tiene la pendiente igual a 8? f'() 8 8, Puntos (, 0) y (, 0). 65 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta + y 0. f'() ( ) 8 ( ) 8 0, ( ) ( ) En (0, 0), y En (, ), y ( ) + + 8

30 66 Halla los puntos de tangente orizontal de la función y 9. f'() ,. Puntos (, ) y (, 8). 67 En qué puntos de la función y / la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? Eiste algún punto de tangente orizontal en esa función? f'() 8,. Puntos (, ) y (, ). 0 no tiene solu- No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues f'() ción. 68 La altura que alcanza una piedra lanzada acia arriba viene dada por la función f (t) 0t 5t (t en segundos, f en metros). a) Calcula su velocidad media entre t 0 y t 5. b) En qué instante la velocidad es igual a 0? c) En algún momento su velocidad de la piedra es 5 m/s? En caso afirmativo, a qué altura? f(5) f(0) 5 0 a) T.V.M. [0, 5] 5 m/s b) f'(t) 0 0t 8 f'(t) 0; 0 0t 0 8 t A los segundos. c) f'(t) t 5 8 t 0,5 s A los 0,5 segundos la velocidad es 5 m/s. La altura en ese instante es: f(0,5) 8,75 m. 69 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimo o mínimo: a) y + 6 b) y c) y d) y + a) f'() En ) crece y en (, decrece. Tiene un máimo en (, ). b) f'() 8 8 Creciente en (, decreciente en ). Tiene un mínimo en (, ).

31 6 c) f'() 8 Decreciente en todo su dominio: Á {} ( ) 5 d) f'() 8 Creciente en todo su dominio: Á ( +) 70 Halla el vértice de la parábola y +6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. f'() Punto (, ). 7 Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función y + k en 0 sea paralela a la recta y +. f'() + k 8 f'(0) k 8 k Página 98 7 En cada una de las siguientes funciones, alla los puntos singulares y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máimos o mínimos. Represéntalas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + a) f'() 6 f'() 0 ï f (0) 0 8 (0, 0) 8 f () 8 (, ) ( ( ) 8 (0, 0) máimo y (, ) mínimo y 6 8 0

32 b) f'() f'() 0 ï ± f () 0 8 (, 0) f ( ) 8 (, ) ( + ( + ) 8 (, ) máimo y (, 0) mínimo. 6 y c) f'() + f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) 8 f ( ) 7 8 (, 7) ( + ) ( + ) 8 (, 7) mínimo. 0 y d) f'() 8 + ; f'() 0 ï 6 ± 6 6 ± ï f () 8 (, ) f () 0 8 (, 0) ( 9 + y ( 9 + 0) 8 (, 0) máimo y (, ) mínimo. 0 e) f'() ; f'() 0 ï ± f () 6 8 (, 6) f ( ) 6 8 (, 6) ( ) ( 8 (, 6) máimo y (, 6) mínimo. 5 y

33 f) f'() + ; f'() 0 ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) ( ) ï 8 f 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) y + ( + ( + 8 (, ) y (, ) son máimos y (0, 0), mínimo. g) f'() 5 8 8; f'() 0 ï ï 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( ( ) 8 (, ) máimo y (, ) mínimo. y ) f'() 6; f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 8 (0, ) 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( 8 + ) 8 ( 8 + y (0, ) máimo, y (, ) y (, ) mínimos.

34 7 Representa las siguientes funciones allando los puntos singulares y estudiando sus ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + a) f'() + 0 8, y + Puntos de tangente orizontal:, (, 0) 7 (, ) ( + ) 8 ( + b) f'() + ( ) 0 8 0,, Puntos de tangente orizontal: (, ), (0, 0) y (, ) y + ( + 8 ( + c) f'() ( + 5) + 0 8, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) Asíntotas verticales:, 0 0 y + 5 +

35 d) f'() ( ) 0 8 ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, ) Asíntotas verticales:, y + (, ) 5 ( + 5) e) f'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) Puntos de tangente orizontal: ( 5, 0 ) 8 ( + 5) ( + 5) 0 0 Asíntota vertical: y ( + 5)

36 ( + ) f) f'() + 8 ( + ) 0 8 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, 6), (0, 0) (y asíntota oblicua) Asíntota vertical: y Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y b) y c) y + d) y + a) f'() 5? 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ) Asíntota vertical:, (, 0) y + 6 ( )

37 b) f'() +? 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y 6 (y asíntota oblicua) 6 6 Asíntota vertical: 0 6 c) f'() +? 0 El punto de corte es: (0, 0) y d) f'()? 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) Asíntota vertical: Asíntota orizontal: y 0 75 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + ( ) i) y + j) y 5 + +

38 a) f'() 6 ( 6) Asíntotas verticales:, y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal b) f'() + ( ) Asíntotas verticales:, y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. c) f'() + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,58; 0,05), (,58;,97),5 + y ,5 6 0,5 6,5

39 d) f'() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y e) f'() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 6 ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) 6 6 y 6

40 g) f'() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, y + 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) ) f'() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) y ( ) i) f'() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y j) f'() ( ) Asíntotas verticales: 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6

41 76 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () 8 a + b + c f'() 8 a + b f (5) 8 5a + 5b + c a b 6 c 7 La función es f () Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y +5 e y +6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f() f'() 6 g() g'() Para f () + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + 8 y 0 7 Para g() + 6 la tangente en es: y 0 ( ) y 0 78 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b f'( ) a + b 0 f'(0) 0 8 b 0 f () 8 + a + b + c La función es f () a 6 b 0 c 6 79 Calcula a y b de modo que la función f () + b + a 5 tenga un máimo en y un mínimo en. f'() 6 +b + a f'() b + a 0 f'() b + a 0 a +b 6 a +b a b 9

42 CUESTIONES TEÓRICAS 80 Calcula la T.V.M. de f () en los intervalos [, ], [, ] y [, ]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos, porque la función es una recta de pendiente. 8 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. 8 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(). Cuántas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde k es cualquier número. 8 Esta es la gráfica de la función y. Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)? Ecuación de la tangente en (0, 0): f'() 8 f'(0) 0 8 y 0 + 0( 9) 8 y 0 es el eje de abscisas. 8 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y a b + b + c es. a f'() a + b 0 8 b a

43 85 Si f'() 0, cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La recta tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). Página 99 PARA PROFUNDIZAR 86 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y + 0. Cuál es el valor de f'()? el de f ()? + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 87 f Qué relación eiste entre f y g? entre f' y g'? g 0 f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 88 Esta es la gráfica de f', la función derivada de f. a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? f' b) Di para qué valores de es f creciente y para cuáles es decreciente. a) Sí, en, puesto que f'() 0 b) Si < es creciente, pues f' > 0; y si > es decreciente, pues f' > El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es C (q) C (q) q + 5q El coste medio por unidad es: M (q). q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a).

44 q a) M(q) + 5q + 75 q (6q + 5)q (q M' (q) + 5q + 75) 6q + 5q q 5q 75 q q 5 8 q 5 unidades q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q q 90 La función f () 60 indica los beneficios obtenidos por una empresa + 9 desde que comenzó a funcionar ( f () en miles de euros, en años). a) Represéntala gráficamente. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 8 La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0.

45 Página 99 AUTOEVALUACIÓN. Observa la gráfica de la función y f() y responde. a) Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, ] y [, ]? b) Tiene algún punto de tangente orizontal? c) Para qué valores de es f'() > 0? d) Sabemos que la tangente en el punto de abscisa 0 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Cuánto vale f'(0)? f () f (0) / a) T.V.M. [0, ] 0 f ( ) f ( ) 0 T.V.M. [, ] ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f'() > 0. d) La recta y (bisectriz del.º cuadrante) tiene pendiente igual a. Por tanto, f'(0).. Dada f(), prueba que f'( ) 7 aplicando la definición de derivada. f ( + ) f ( ) f'( ) 8 0 f( ) ( ) ( ) f ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f ( ) 7 f ( + ) f ( ) Por tanto, f'( ) 7.

46 . Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y e 5 c) y ( ) d) y a) f'() b) f'() e + ( )e e c) f'() ( 5 ) 9 5 ) 9 ( 5) 8 ( ) d) f'() ( ) ( ) ( ) ( ( ) +. Escribe la ecuación de la tangente a la curva y ln en el punto de abscisa. Punto de tangencia:, y ln 0 8 P(, 0) Pendiente de la recta tangente: f'() 8 f'() Ecuación: y 0 + ( ) 8 y 5. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f() f() 8 f'() Buscamos los valores de para los que f'() > 0 8 > 0 f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 Intervalos de crecimiento de f: ) «(, Intervalo de decrecimiento de f: (, ) La función tiene un máimo en y un mínimo en.

47 6. Determina los puntos singulares de: + y de la cual conocemos sus asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. Represéntala. f() + ( )( ) ( + ) ( ) f'() ( ) ( + ) + ( ) ( ) + f'() ( ) + ( ) f (0) ; f () 6 0 Los puntos singulares son (0, ) y (, 6). El primero es un mínimo y el segundo, un máimo. 7. Representa la función y + 6. y + 6 es una función polinómica, por ello es continua en Á. Ramas infinitas: ( + 6) 8 ( +

48 Puntos singulares: f'() f'() f () (, 0) f ( ) ( ) ( ) (, ) Los puntos singulares son (, 0) y (, ). Esta es su gráfica: 8. Estudia y representa y. + f() + El dominio de esta función es Á. Asíntotas: f () 0 8 f () 0 y 0 es una asíntota orizontal. Cuando 8 f() > 0 8 la curva está por encima de la asíntota. Cuando f() < 0 8 la curva está por debajo de la asíntota. Cortes con los ejes: f() La función corta a los ejes en el punto (0, 0). Etremos relativos: ( + ) f'() ( + ) ( + ) ( + ) f'()

49 Así, observando la asíntota y el corte con el eje, (, ) es un máimo relativo, y (, ), un mínimo relativo. La gráfica es: 9. La función f() + b + c tiene un mínimo en y pasa por (, ). Calcula b y c. f () + b + c f'() + b es un mínimo: f'() b 0 8 b Pasa por (, ): f () 8 + c 8 c 6 Así, la función es y + 6.

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