Hacia la universidad Análisis matemático

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1 Hacia la universidad Análisis matemático OPCIÓN A. a) Deriva las funciones f( ) = 8, g ( ) =, h ( ) = e. f( ) si 0 b) Indica si la función m ( ) = es continua en =. g ( ) si < c) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m() en = 9. a) b) f ( ) = ; g ( ) = ; h ( ) = e 8 si 0 m ( ) = Como lim m ( ) = lim = =, lim m ( ) = lim = = si < y m() = f() = 8, tenemos que m() = lim m( ) = lim m( ), por tanto la función m() es continua en =. + c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica en = 9 es: y 7 = 9 ( 9). Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma B ( ) = a+ b, siendo el número de unidades producidas y a, b parámetros reales. a) Calcula, si eisten, los valores de los parámetros a y b para que la producción de = 00 proporcione un beneficio de 50 unidades monetarias y que además sea el máimo que se puede obtener. b) Para a = y b =, calcula las cantidades que se han de producir para que el beneficio aumente o disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de infleión de B(), si eisten. a) Por una parte sabemos que B(00) = 50 y como, además, hay un máimo en = 00, debe cumplirse que B (00)=0. B(00) = 50 a 00 + b 00 = 50 00a+ 0b = 50 0a+ b = 5 b La derivada de la función beneficio es B ( ) = a+. Por el conteto del problema, > 0. b b B (00) = 0 a+ = 0 a+ = 0 0a+ b = a+ b = 5 Resolviendo el sistema obtenemos que 0a+ b = 0 a = y b = 0. b) La función beneficio es B ( ) = +. Estudiemos su monotonía: La derivada es B ( ) = + = + =, > 0, B ( ) = = = 0 = (0, ) (, + ) Signo de f + =0 Comportamiento de Máimo Decreciente f Por tanto: si se producen menos de unidades, el beneficio aumenta. Y si se producen más de unidades, el beneficio disminuye. El máimo beneficio se obtiene con una producción de unidades. Para hallar los posibles puntos de infleión debemos calcular la segunda derivada. 8 B ( ) = + B ( ) =, que no se anula nunca y por tanto concluimos que la función B() no tiene puntos de infleión. De hecho, la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio por que su derivada segunda es siempre negativa. 50

2 0p+ 00 si 0 p 0. La oferta de un bien, conocido su precio, p, es: Sp ( ) = p 0p+ 000 si 0 < p 0 Represéntala y a la vista de su gráfica, indica para qué valor del precio se alcanza la máima y la mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 00 unidades. S (p) Como la función en [0, 0] es una recta, para representarla nos basta hallar su valor en los etremos de intervalo. La recta pasa por A(0, 00) y B(0, 500). En (0, 0] es una parábola cuyo vértice es V(0, 00). Calculamos el valor de la parábola en los etremos del intervalo: C(0, 500) y D(0, 00). Para representarla, elegimos escalas distintas en los ejes. 00 O 0 P A la vista de la gráfica, se alcanza la máima oferta en A (0,500), esto es, si el precio es de 0 euros y alcanza su mínima oferta cuando es de 0 euros. Vemos que la función es menor de 00 en el intervalo (0, 0) (para calcular dichos valores resolvemos p 0p+ 000 = 00 ). Así pues, la oferta es menor que 00 unidades si los precios están entre 0 y 0 euros.. a) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y = +. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. b) Dada la función g ( ) =, calcule la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de + abscisa = 0. a) Como f ( ) = + = 0 si =, y es positiva en (, ) en (, ), +. y decreciente en ( ) y negativa en ( ) b) La ecuación de la recta tangente es y = g (0)( 0) + g(0). Calculamos g ( ) =, +, la función es creciente 0 ( + ) 5 5 Así pues g (0) = y g (0) =. La ecuación de la recta tangente es y =. 5. Los beneficios mensuales de un artesano epresados en euros, cuando fabrica y vende objetos, se ajustan a la función B ( ) = 0, , en que 0 0. a) Halla el beneficio que obtiene de fabricar y vender 0 objetos y el de fabricar y vender 0 objetos. b) Halla el número de objetos que debe fabricar y vender para obtener el beneficio máimo, así como dicho beneficio máimo. c) Esboza la gráfica de la función B(). B ( ) d) El beneficio medio para objetos es M ( ) =. Indica cuántos objetos debe fabricar y vender para que el beneficio medio sea máimo y cuál es dicho beneficio. a) B (0) = 0, = 0, es decir, al fabricar y vender 0 objetos no hay pérdidas ni ganancias. B (0) = 0, = 00, es decir, al fabricar y vender 0 objetos se obtiene un beneficio de 00 euros. b) Debemos hallar el máimo de B() en el intervalo cerrado [0, 0]. La derivada, B ( ) = + 50, se anula para = 50. Comparemos ahora B(50), B(0) y B(0) y elijamos el mayor valor de todos ellos: B (50) = 0, = 50, B(0) = 0 y B(0) = 00 Así pues, al fabricar y vender 50 objetos se obtiene el máimo beneficio que asciende a 50 euros. c) La gráfica de B() es un trozo de parábola cóncava hacia abajo: d) Ahora debemos hallar el máimo de M() en el intervalo cerrado B ( ) 800 [0, 0]. M ( ) = = 0, Su derivada es M ( ) = 0,5 +, se anula si: O 0 0X , 5 + = 0 = 0, 5 = = 00 = 0 la solución negativa la desechamos. 0, 5 Comparemos ahora M(0), M(0) y M(0) y elijamos el mayor valor de ellos: M(0) = 0, M(0) = 0, M(0),7 Así pues, al fabricar y vender 0 objetos se obtiene el máimo beneficio medio que asciende a 0 euros. B (). 5

3 . Se dispone de un listón de madera de metros de largo para hacer los tres lados del bastidor de una puerta rectangular de ventilación. a) Qué medidas debemos dar a los lados del bastidor para que la ventilación sea máima? b) Qué superficie de ventilación hemos conseguido? a) Sabemos que + y = y queremos maimizar la función Superficie = y. Como y = Superficie = ( ) = + que, al ser una parábola cóncava hacia abajo, alcanza su máimo en el vértice V (, ). Luego las medidas que debemos tomar son: un metro de alto por de ancho. b) La superficie de ventilación es de m. 7. Sea la función f() = + 7. Si f' representa su derivada: a) Encuentra una primitiva F de f que verifique F() = f'(). b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre = y =,5. 7 F ( ) = + 7 d= + + C Ahora calculamos C para que se cumpla la condición F() = f () C = + 7 C = F ( ) = b) f() es una parábola de vértice V, y que pasa por (0, ) A. Y,5 El área que debemos hallar es: f( ) d a) Para encontrar la primitiva, calculamos ( ) Observando la gráfica:.,5,5 7 7 f( ) d f( ) d = + + = = ( F() F() ) ( F(,5) F() ) = u = O f X 8. Se quiere regar una parcela de jardín limitada por y ( ) metro cuadrado debe recibir litros de agua: a) Representa la parcela. b) Cuántos litros de agua hay que utilizar? a) Y = e y = +. Si se mide en metros y cada O X b) Debemos calcular el área de la parcela y multiplicar dicha área por. Para ello buscamos los puntos de corte de las funciones resolviendo ( ) = + cuyas soluciones son = y =. 7 5 ( + ) ( ) d = + 7 ) d = + m = Calculamos ( ) ( ) El agua necesaria es: = L. 5

4 OPCIÓN B. Se considera la función f() = ( + a)e a, siendo a un parámetro real. a) Razona a qué es igual el dominio de f(). b) Determina el valor de a para que la gráfica de f() pase por el punto (0, ). c) Para a =, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Eisten máimos y mínimos s de f()? En caso afirmativo, indica dónde se alcanzan y su valor. a) El dominio de f es todo R ya que es el producto de una función polinómica por una eponencial, ambas de dominio R. a 0 b) Debe cumplirse que f(0) =, es decir = f(0) = ( 0 + a) e = a, es decir, a =. c) La función es f( ) = ( ) e y su derivada es f ( ) = e ( ) e. Estudiemos dónde se anula y su signo: f ( ) = e ( ) e = e ( + + ) ( ) = = 0 =, =. Obsérvese que f Por tanto, f ( ) = e ( + )( ) e es siempre positivo. (, ) (, ) (, + ) Signo de f =0 + =0 Mínimo Máimo Comportamiento de f Decreciente Decreciente La función tiene un mínimo en el punto (, e ) y un máimo en el punto ( ), e. + m. Considera la función de variable real f( ) =, donde m es un parámetro real. a) Calcula el valor de m para que la tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = sea paralela a la recta y + = 0. Calcula también la ecuación de dicha tangente. b) Fijando m = : ) Determina el dominio de la función y los intervalos en los que es creciente o decreciente. ) Determina las asíntotas. ) Esboza la gráfica de la función. a) La pendiente de la recta tangente a f() en = es f () y debe coincidir con la pendiente de la recta y + = 0, que es, ya que dicha recta puede escribirse como y = +. m m La derivada de f() es f ( ) = y por tanto, f () = = m =. La función es f( ) = y la recta tangente es y f( ) = ( + ), es decir: y =. Trabajamos ahora con la función f( ) =. b) ) D(f) = R { 0} ya que cero anula el denominador. Su derivada es f ( ) =, que es siempre positiva (salvo para = 0, que no está definida). Así pues, la función es creciente en (,0) ( 0, + ). ) Asíntotas verticales: lim =+ y lim = La recta = 0 es una asíntota vertical de la función f(). f Y Asíntotas horizontales: lim = y lim =. + La recta y = es una asíntota horizontal de la función f(), tanto en más infinito como en menos infinito. Asíntotas oblicuas: no tiene ya que sí tiene horizontales. O X ) La función corta al eje X en el punto gráfica. A,0. Con toda la información recogida ya podemos dibujar su 5

5 . La función f(), en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido,, en años, desde su creación: si 0 f( ) = + si > + a) Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? Y al cuarto año? b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias. c) Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta. a) f (,5) =,5 = 0,75. La ganancia al año y medio es de euros. + f () = =,. La ganancia a los cuatro años es de euros. + b) Para estudiar el crecimiento derivamos la función. Debemos tener especial cuidado en = ya que allí la función puede no ser derivable. si 0 < < f '( ) = si > ( + ) Como Intervalo (0, ) (, + ) Signo de f Positiva Negativa f Crece Decrece Las ganancias crecen en los primeros años y decrecen a partir del tercero. Los beneficios máimos se obtienen el tercer año y son de f( ) = =,5,es decir, euros. + c) Como lim f( ) = lim =, a medida que pasa el tiempo las ganancias se acercan cada vez a vez más a euros, siendo siempre algo superiores.. a) Sea la función definida para todo número real por f() = a + b. Determina a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es. b) Si en la función anterior a = y b =, determina sus intervalos de monotonía y sus etremos. a) Como pasa por (, ), sabemos que f () =, luego a + b =. Además, sabemos que f () =, y como f ( ) = a + b, tenemos que a+ b =. a+ b = Resolviendo el sistema obtenemos a =, b = y por tanto la función es f( ) = +. a+ b = b) Si f( ) = f ( ) = =0 = ο = Estudiando el signo de la derivada tenemos que f es creciente en,, + y decreciente en,. Tiene un máimo en A, f = A, y un mínimo en 9 B, f = B, 9 5

6 5. Se desea construir un marco para una ventana rectangular de m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 0 euros, y el de tramo vertical, un 50% más. Calcula: a) Las dimensiones de la ventana para que el coste sea mínimo. b) El coste del marco. a) Estamos ante un problema de optimización.. Nombramos variables. Longitud del tramo horizontal: (precio: 0 /m). Longitud del tramo vertical: y (precio: % de 0, es decir, 0 /m).. Relacionamos las variables: y = y por tanto y =. 80. La función que queremos optimizar (en este caso, minimizar) es: f( ) = = 0 +. Buscamos el intervalo en el que se mueve la variable. En este caso, puede tomar cualquier valor positivo Buscamos el mínimo de la función f( ) = = 0 + siendo positiva La derivada es f ( ) = 0 0 = 0 = (la solución negativa se desestima). Por tanto: (0, ) (, + ) Signo de f =0 + Comportamiento de f Decreciente Mínimo Como la función es continua, podemos asegurar que dicho mínimo es absoluto. Así pues, las dimensiones de la ventana que hacen mínimo el coste del marco son metros de tramo horizontal y metros de tramo vertical. b) Este coste mínimo es 80 f () = 0 + = 0 euros.. Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función S() = 5 + +, donde indica el número de años desde la última remodelación. a) Halla el año en que el club ha tenido el mayor número de socios. b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta remodelación tuvo éito o no. a) La derivada de la función es S'( ) = 0+ = ( 5 + ) = ( )( ). Estudiemos su signo: (,) (, ) (, + ) Signo de s + =0 =0 + Comportamiento Máimo Mínimo Decreciente de s Así pues, fue en el primer año cuando el club tuvo el mayor número de socios, en concreto socios ya que s () = 7. b) A partir del cuarto año la función comienza a crecer, es decir, la remodelación sí que fue efectiva. Si siguiera esta tendencia, seguramente llegará un momento en que se superen los socios del primer año. 55

7 7. Dada la función f( ) = + ( > 0): a) Encuentra la primitiva de f que en = valga 5. b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa = y =. a) Las primitivas de f() son. F ( ) = + d= + C Sólo falta calcular la constante C sabiendo que F() = 5: 5 = F() = + C = + C = C C = 5. La primitiva pedida es F ( ) = + 5. b) Df ( ) = (0, + ). El único valor conflictivo sería = 0 que no pertenece al dominio porque así lo dice la definición de la función. No corta al eje X ya que f( ) = + siempre es positiva por ser > 0. No corta el eje Y porque = 0 no está en su dominio. Asíntotas verticales: estudiaremos qué ocurre cuando nos acercamos al cero por su derecha (nótese que por su izquierda no tiene sentido). lim + + = + La recta = 0 es una asíntota vertical de la función f(). 0 Asíntotas horizontales: no tiene ya que su límite en el más infinito no es un número. lim + = + +. El límite en el menos infinito no se estudia porque la función no se define para números negativos. Asíntotas oblicuas: la epresión de la función ya nos asegura que la recta y = es una asíntota oblicua de f(). lim ( f( ) ) = lim + lim = =, así pues, y = es, en efecto una asíntota oblicua de f() La derivada es f ( ) = = y se anula para =. Estudiemos su signo en los dos intervalos que define este valor: (0, ) (, + ) Signo de f =0 + Comportamiento de f Decreciente Mínimo Así pues, f decrece en (0, ), crece en (, + ) y tiene un mínimo (en este caso es también absoluto) en el punto (, f()) = (, ). 5

8 Ya podemos dibujar su gráfica: Y f O X El área del recinto, que está por encima del eje X, será el valor de la integral definida: u F ( ) = + d= = d. 8. Calcula la integral definida ( + + ) Al haber un valor absoluto en la función del integrando debemos definirla a trozos ya que su valor varía dependiendo del signo de : si 0 f( ) = + + = + +, es decir, + + si > 0 si 0 f( ) = + si > 0 Para calcular la integral la separamos en dos trozos: 0 0 ( ) d d ( ) d [ ] = + + = + + = + + = 57