ENGINYERIA TÈCNICA INDUSTRIAL: ELECTRICITAT

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1 ENGINYERIA TÈCNICA INDUSTRIAL: ELECTRICITAT CÀLCUL CURSO 007/08 Profesor: Juan Alberto Rodríguez Velázquez jarodriguez/ Departament d Enginyeria Informàtica i Matemàtiques

2 PROGRAMA I NUMEROS REALES Y COMPLEJOS. FUNCIONES.. El cuerpo de los números reales. Desigualdades, valor absoluto, intervalos. Eponenciales, raíces y logaritmos.. El cuerpo de los números complejos. Epresión binómica. Módulo y argumento de un número complejo. Forma polar, forma trigonométrica y forma eponencial..3 Funciones reales de una variable real. Definición, dominio, imagen de una función. Inyectividad y ehaustividad. Funciones elementales. Composición de funciones. Función inversa. II LÍMITE Y CONTINUIDAD. Límite de una función en un punto. El concepto de límite, propiedades. Infinitésimos equivalentes. Cálculo de límites.. Continuidad. Definición de función continua en un punto. Propiedades de las funciones continuas. Teorema del valor intermedio..3 Asíntotas. III DERIVACIÓN 3. Funciones derivables. La recta tangente. Definición de derivada de una función en un punto. Reglas de derivación. Derivación de funciones elementales. Etremos. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Derivada de funciones implícitas. Regla de L Hôpital. 3. Desarrollo de Taylor. Polinomio de Taylor. Teorema de Taylor. Cálculo aproimado. 3.3 Representación gráfica de funciones. IV INTEGRACIÓN 4. Integral definida. Integral de Riemann. Propiedades. Teorema fundamental del cálculo integral. Teorema del valor medio. Regla de Barrow. 4. Integral indefinida. Primitiva de una función. Métodos de integración.

3 4.3 Aplicaciones. Cálculo de áreas, volúmenes, momentos y centros de masa. 4.4 Integrales impropias. V ECUACIONES DIFERENCIALES 5. Ecuaciones de primer orden. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones eactas. Factor integrante. Ecuaciones lineales. 5. Ecuaciones lineales de segundo orden. Solución general de la ecuación homogénea. La ecuación homogénea con coeficientes constantes. Método de los coeficientes indeterminados. 5.3 Aplicaciones. Circuitos eléctricos. Descomposición radioactiva. Oscilaciones mecánicas. VI TRANSFORMADA DE LAPLACE 6. Introducción y transformadas elementales. Definición. Transformadas de funciones elementals. Transformada de la función derivada. Transformada de la integral. 6. Convolución. Convolución, función escalón y función impulso. 6.3 Transformada inversa. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. BIBLIOGRAFÍA - S. Salas, E. Hille, Calculus. Editorial Reverté (995). - R. Larson, R. Hostetler, B. Edwards, Càlculo. Editorial McGraw-Hill (995). - G. F. Simmons, Ecuaciones diferenciales. Editorial McGraw-Hill (993). Consultas: jueves de 0:00 a 3:00 (despacho 33). EVALUACIÓN: eamen parcial 30 % y eamen final 70 %.

4 Tema Numeros reales y complejos. Funciones.. Resuelve las siguientes inecuaciones y dibuja el conjunto solución en la recta real. (a) 5 8 (b) + 5 (c) 4 < 3 < 6 (d) 4 (e) (f) (g) ( + 3)( ) 0 (h) 3 0 (i) (j) 4 < (k) < 0 (l) + 0. Resuelve las siguientes inecuaciones y dibuja el conjunto solución en la recta real. (a) 3 < (b) 0 < < (c) 4 + > 5 (d) + > (e) + (f) + < 3. Demuestra que si a y b son números reales no negativos, entonces ab a + b. 4. Demuestra que, y R, + y + y. 5. Demuestra que, y R, y y. 6. Simplifica las siguientes epresiones de números complejos mostrando el resultado en forma binómica a + ib y eponencial ρe iθ. (a) ( + i) (b) i (c) +i (d) +3i 3 4i (e) i 5 + i 6 (f) e i π 7. Calcula el módulo y argumento principal de los siguientes números complejos. (a) i (b) 3 i (c) +i (d) 3 + 3i (e) ( + i) (f) ( + i) 3 8. Representa los z del plano complejo que satisfacen las siguientes relaciones: (a) z < (b) z + z = (c) z = 3 9. Escribe en forma eponencial ( ) 5 i. + i 0. Calcula (a) 4 i (b) 4 (c) 3 i (d) 3 + i (e) ( ) i. Calcula (a) ( + i) ln( ) (b) ln(i) (c) i i (d) i. Determina los valores de n que verifican la igualdad ( + i) n = ( i) n.

5 3. Demuestra que sin 3 θ = 3 4 sin θ sin 3θ Representa en el plano complejo z = θe iθ, 0 θ π. 5. Determina el dominio de las siguientes funciones: (a) f() = 3. (b) f() = arcsin() (c) f() = ( 4 6) 4. (d) f() = cos( π) + ln ln ln. (e) f() = 4 ( ) sin(). (f) f() = ln(3 + 5). (g) f() =. (h) f() = (i) f() = ln(). (j) f() = sin( ). (k) f() = e sin(). (l) f() = e ( + ). (m) f() = Representa gráficamente las siguientes funciones. si 0; si 0; f() = g() = si (0, ); si > 0. si. 7. Determina g f y f g en cada uno de los siguientes casos. (a)f() = + 5, g() = (b) f() = +, g() = (c) f() =, g() = (d) f() =, g() = ( + ) 8. Determina si la función dada es inyectiva y, en caso afirmativo, calcula la inversa. (a)f() = 4 5 (b) f() = 3 (c) f() = (d) f() = (e) f() = + (f) f() = 3e +

6 Tema Límite y continuidad 9. Calcula los siguientes límites 4 3 (a) lím (b) lím (c) lím (d) lím 0 + e (e) lím 0 ( ) [] (f) lím 0 (g) lím (h) lím 0. Calcula los siguientes límites (a) lím 0 3 tan (d) lím 0 sin 3 () 4 3 (b) lím 0 sin. Calcula los siguientes límites (a) lím 0 e e sin sin. Calcula los siguientes límites (a) lím 5 ( ) (e) lím + (b) lím 0 e + sin ln( + ) (b) lím (i) lím 0 + ( (c) lím cos 3 ) + (f) lím ( + sin ) 3 sin 0 (c) lím 0 ( sin ) sin sin (c) lím + (d) lím + + (e) (g) (i) lím (f) lím ± 5 ± ( )( ) 3 lím (h) lím ± 5 ± 5 9 e e e e lím (j) lím e + e + e + e 3. Calcula lím f() y lím f() en cada uno de los siguientes casos. + a a + si 3;. a = 3 y f() = si > si ;. a = y f() = + si >.

7 3. a = y f() = 4. a = y f() = si < ; + 4 si >. si ; si >. 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Clasifica los puntos de discontinuidad. (a) f() = (b) f() = 6 +4 (c) f() = (d) f() = + (e) f() = (f) f() = + + (g) f() = (h) f() = ( 7) 5 (i) f() = + ln(+) 5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Clasifica los puntos de discontinuidad. ( sin ) si < 0; + si 0, ; ( ) + si 0 < < ; + (a) f() = (b) f() = e si > 0. e si ; 5 si = 0. (c) f() = sin si 0; 0 si = 0. (d) f() = e si 0; 0 si = Calcula el dominio y las asíntotas verticales de f() = 9 ( ) ln(+). 7. Determina los valores de c tal que la función f sea continua en todo R. f() = c + si < 4; c si Determina los valores de A y B tal que la función f sea continua en todo R. sin si π; f() = A sin + B si π < < π; cos si π. 9. Demuestra que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real. (a) sin = (b) = 0 (c) e = Demuestra que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. 3. Sea f : [0, ] [0, ] continua. Demuestra que (a) α [0, ] tal que f(α) = α. (b) β [0, ] tal que f(β) = β.

8 3. Sean f, g : [a, b] R dos funciones continuas tales que f(a) g(a) y f(b) g(b). Demuestra que eiste c [a, b] tal que f(c) = g(c).

9 Tema 3 Derivación 33. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones 4 si ; (a) f() = + 3 (b) f() = + si >. (c) f() = 3 si 0; 3 si > Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones sin si 0; (a) f() = ( ) (b) f() = (c) f() = 0 si = 0. Es f continua en =0? Es f derivable en =0? sin si 0; 0 si = Demuestra la regla de la derivada del producto y la regla de la derivada del cociente. 36. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones (a) f() = (b) f() = sin() (c) f() = sin (). 37. Determina los puntos del gráfico de f() = e en los que su recta tangente es horizontal. 38. Determina los etremos y los intervalos de monotonía de las siguientes funciones. (a) f() = e (b) f() = ln (c) f() = e ( + ). 39. Estudia la eistencia de asíntotas verticales (a) f() = e sin (b) f() = ln ln( ) (c) f() = ln (d) f() = + (e) f() = ln (f) f() = e. (g) f() = e (h) f() = sin ln (i) f() = e. 40. Estudia la eistencia de asíntotas oblicuas (a) f() = (b) f() = (c) f() = e (d) f() = +3 e 3 + (e) f() = e (f) f() = ln (g) f() = e. 4. Demuestra que la ecuación e = 4 + tiene una única solución real. 4. Demuestra que f() = arctan + arcsin + es constante para > y no lo es en [0, ]. 43. Calcula (f ) () para f() = ln Demuestra que (arcsin ) =. 45. Demuestra que (ln ) =. 46. Demuestra que (arctan ) = +.

10 47. Determina el mínimo k R tal que ke, R. 48. Calcula y. (a) + y = 4 (b) 3 + y 3 4y = 0 (c) sin( + y) = y. 49. Determina los puntos de infleión y los intervalos de curvatura de las siguientes funciones. (a) f() = e (b) f() = e (c) f() = +e (d) f() = Representa gráficamente las funciones de las preguntas 37, 38 y Halla el polinomio de Taylor de orden n de f() = e, en un entorno de = Halla el polinomio de Taylor de orden 5 de f() = 3 sin, en un entorno de = π. 53. Calcula el coeficiente de 4 en el desarrollo de Taylor de f() = ln(cos ), en un entorno de = Calcula el coeficiente de 4 en el desarrollo de Taylor de f() = e ln( ), en un entorno de = Desarrolla el polinomio en potencias de. 56. Desarrolla f() = e / en potencias de 3 sin calcular derivadas. 57. Calcula el polinomio de Taylor de orden 3 de f() = e cos, en un entorno del origen. 58. Dada la función f() = e 5, calcula f (k) (0), k N. 59. El polinomio de Taylor de orden de f() =, en un entorno de 0, es P () = a+b+ 8. Calcula los valores de a y b. 60. Sea c (, ) el único punto donde la función f() = verifica el teorema del valor medio en el intervalo [, ]. Determina el polinomio de Taylor de segundo orden de f en un entorno de = c. 6. Demuestra que la función f() = e + 3 es invertible y calcula el polinomio de Taylor de orden 3 de f en el origen. 6. Usa el desarrollo de Taylor de f() = tan en el origen para calcular el desarrollo de Taylor de orden 3 de g() = arctan(). 63. Calcula el polinomio de Taylor (para 0 = 0) de grado 4 de f() = e sin.

11 64. Calcula los siguientes límites (a) lím 0 ln( + ) arctan sin tan 4 (b) lím 0 3 sin ( + 3 cos ) ( + cos (c) lím 0 3 sin 3 ) 4 (d) lím 0 3 arctan ln( + ) Calcula el valor aproimado de e con un error inferior a 0, 000.

12 Tema 4 Integración 66. Calcula el área de la región limitada por: a) El eje y f() =, 0. b) El eje y f() = sin, 0 π. c) El eje y f() = 3. d) Las funciones f() = y g() = 3. e) Las funciones f() = y g() = 3. f ) Las funciones f() = + 3 y g() = + 3. g) Las funciones f() =, el eje y la recta = Calcula el volumen obtenido al girar al rededor del eje el área comprendida entre la gráfica de f() =, el eje y la recta =. 68. Calcula el volumen obtenido al girar al rededor del eje el área comprendida entre la gráfica de f() = e y los ejes. 69. Calcula el volumen obtenido al girar al rededor del eje el área comprendida entre la gráfica de f() = y el eje. 70. Prueba que el volumen de una esfera de radio r es 4 3 πr3. 7. Calcula F (), 5, si F () = (t + t )dt. 7. Calcula F ( 3 4 ), sabiendo que F () = 0 sin(πt)dt. 73. Calcula la primera derivada de la función F () = 3 e t t dt. 74. Calcula la primera derivada de la función F () = e tan tdt ds ln s. 75. Calcula la primera derivada de la función F () = 0 f(t)dt, con f continua en R. 76. Estudia los puntos críticos y la monotonía de F, donde F () = Calcula los etremos locales de F () = (e t e t )dt Calcula lím et dt dt. +t Sea f continua y estrictamente positiva en [0, ]. Definimos F () = 0 f(t)dt f(t)dt. Demuestra que F se anula sólo una vez en (0, ).

13 80. Calcula lím 8. Calcula lím 0 0 et dt e 0 sin t3 dt 4 8. Determina la ecuación de la recta tangente a la curva F () = = 4 π 4. π tan(t )dt en el punto 83. Calcula 3 (a) + d (d) (g) (b) d (e) + 4 sin d (h) d (c) e d (f) 3 + e ln d ln ln ln d e d (i) ( 3 + )e d (j) cos d (k) e d (l) 3 e + + d (m) 4 d (n) ( ) 3 d (o) d 3 + (p) (s) d d (ln ) 3 (q) (t) d d + 3 (r) tan d (u) d + (v) d (w) arctan d 84. Estudia la convergencia de las siguientes integrales. (a) d (b) b sin d (c) 0 ln d 5 + () d 4

14 Tema 5 Ecuaciones diferenciales 85. Halla la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y = y y y+ (b) dy d = ey (c) y y = Determina la solución particular que verifica la condición inicial y() = en la ecuación del primer apartado de la pregunta anterior. 87. A mediados del siglo XIX el biólogo belga P.F. Verhulst utilizó la siguiente ecuación diferencial para estudiar el crecimiento de la población de varios países: dy d = ky(m y), donde k y M son constantes positivas. Esta ecuación se conoce como ecuación logística. Determina la solución general de la ecuación logística. 88. En una población de 5000 personas se difunde un rumor a una velocidad proporcional al producto del número de personas que conocen el rumor y el número de personas que no lo ha oído. Supongamos que 00 personas inician el rumor y que el segundo día lo conocen 500. Cuánto tiempo tardará en conocer el rumor la mitad de la población? 89. Un magnate posee una fortuna que crece a un ritmo proporcional al cuadrado de su valor en cada momento. Si tenía 0 millones de euros hace un año y ahora tiene 0, cuál será su fortuna dentro de 6 meses? 90. Inicialmente había 00 mg de una sustancia radioactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó un 3 %. Si la velocidad de desintegración es proporcional, en cada instante, a la cantidad de sustancia en ese instante, calcula la cantidad de sustancia que queda a las 4 horas. 9. Halla la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) ( + y)d ( y)dy = 0 (b) dy d = 3 +y y (c) y 3y y = 0 (d) sin ( ) y y = y sin ( ) y + (e) y + y e = 0 (f) y 3 y = 0 (g) y + y = (h) dy 3y = +e 4 (i) d (j) e y d + (e y + y) dy = 0 (k) ( ) + dy + yd = 0 y dy d = y + e y (l) ( + y ) dy d = 3 y (m) dy d = 3 y + y 3 + y + 6y (n) dy d = y(y + ey ) y + e y + 9. Determina la solución particular de y + y = que satisface y(0) =.

15 93. Determina la solución particular de y y = 3 4 que satisface y( ) =. 94. Determina la solución particular de y y = e que satisface y() =. 95. Halla la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) y + y 6y = 0 (b) y + y + y = 0 (c) y y + 4y = 0 (d) y + 8y = 0 (e) y y y = 4 (f) y + 3y 0y = 6e 4 (g) y + 0y + 5y = 4e 5 (h) y y + 3y = sin (i) y + 4y = 3 sin (j) y y + y = e sin (k) y + y 3y = ( + )e (l) y + y + y = sin 3 (m) y + y + y = cos (n) y y 3y = 3e 3 (o) y + y + = e (p) y 6y + 9y = (q) y 6y = e (r) y + 3y + y = 3e 96. Resuelve y + y = 0 y determina la solución particular para la cual y(0) = e y (0) = Resuelve y 3y + y = 0 y determina la solución particular para la cual y(0) = e y (0) =.

16 Tema 6 Transformada de Laplace 98. Prueba, sin integrar, que L(sinh a) = a p a, p > a. 99. Demuestra que L(y ()) = pl(y()) y(0). 00. Calcula la transformada de Laplace de (a) 5 e (b) e 3 cos (c) ( )e 0. Calcula la transformada inversa de Laplace de (a) 6 (p+) +9 (b) (p+3) 4 (c) p+3 p +p+5 0. Resuelve la ecuación diferencial lineal y + 4y = 4, con las condiciones iniciales y(0) =, y (0) = Resuelve la ecuación diferencial lineal y + y = e, con las condiciones iniciales y(0) = 0, y (0) =. 04. Resuelve la ecuación diferencial lineal y + 4y = sin 3, con las condiciones iniciales y(0) = y (0) = 0.