FACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A. TRABAJO PRÁCTICO N 4: Aplicaciones de la derivada. Estudio de funciones

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1 TRABAJO PRÁCTICO N 4: Aplicaciones de la derivada. Estudio de funciones ) Analice las guientes funciones satisfacen las hipótes del teorema de Rolle en el intervalo indicado, en cuyo caso halle los valores de c correspondientes. a) f ( ) = en [0, ] b) f ( ) = ( ) en [ 0, ] f ( ) = ( ) en [, ] d) f() = en [ -, ] c) ) Analice las guientes funciones satisfacen las hipótes del teorema de Lagrange en el intervalo indicado, en cuyo caso halle los valores de c correspondientes. 4 a) f ( ) = en [, ] b) f ( ) = ( ) en [0, ] c) f() = n en [ 0, d ] n N, n > ) Sea f ( ) = a + b + c. Demuestre que en cualquier intervalo [ p, q] el valor de c cuya eistencia garantiza el teorema del valor medio es el punto medio del intervalo. 4) Dada f() =, halle, utilizando el Teorema de Lagrange, el punto en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que une los puntos (-,-) y (,8). 5) Ídem al () para el Teorema de Cauchy, endo: a) f() = + g() = - en [,] b) f() = sen g() = cos en [0,π] 6) Calcule los guientes límites utilizando la regla de L'Hospital. a a) lím a n n a g) lím b) lím 0 tg sen h) lím ln c) lím 0 cotg cotg i) lím π (sen ) tg Página

2 d) lím ln + e lím j) ( ) 0 a e) lím. ln sen 0 lím cot g k) ( ) 0 f) lím ( tg ). sec π 4 ln 7) Sea f : R R una función dos veces derivable tal que: f(0) =, f (0) = 6 5 y f (0) = 5. f ( 6) Definimos g : R R por g() = 5 0 = 0. Calcule: a) lím g () 0 b) g (0) 8) a) Desarrolle en potencias de hasta la derivada de cuarto orden incluve la función f() = sen y utilice este desarrollo para calcular sen 9 π. b) Desarrolle en potencias de hasta la derivada de cuarto orden incluve la función f() = cos y utilice este desarrollo para calcular cos 4 π. c) Desarrolle en potencias de hasta la derivada de cuarto orden incluve la función f() = + y utilice este desarrollo para calcular, 9) Desarrolle f() = en potencias de ( + ). 0) a) Desarrolle f() = ln en potencias de ( - ) hasta la derivada de orden 5, y calcule aproimadamente ln,. b) Desarrollar f() = ln ( + ) en potencias de hasta la derivada de cuarto orden, y calcule aproimadamente ln,0. ) Si f : R R es una función cuatro veces derivable en R y su polinomio de Taylor de orden en 0 = es P () = - + ( ) ( ) + ( ) y g : R R una función cuatro veces derivable en R donde su polinomio de Taylor de orden en 0 = es Q () = 5 + ( ) + ( ) 7 ( ). Halle el polinomio de Taylor de orden en 0 = de la función f. g. ) Marque la opción correcta: Si P() = A + B + C + D es el polinomio de Taylor de grado menor o igual a de la función f() = e -. cos en 0 = 0 entonces : Página

3 a) A = y D = b) B = 0 y C = c) ninguna de las anteriores ) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de las guientes funciones: a) f() = 4 h) f() = ln b) f() = i) f() = + 4 > c) f() = ( - ) j) g() =. d) f () = sen + cos (0 π ) e) f () = + f) f () = + g) f () = + 4) Sea f : R R, una función derivable en todo punto; encuentre todos los máimos y mínimos relativos de f() justificando la respuesta, sabiendo que la función cumple multáneamente : f (-) = f ( ) = f (0) = f ( ) = 0. { R / f () > 0 } = (-, -) ( 0, ). { R / f () < 0 } = (-, ) (, 0) (, + ). + k 5) Determine analíticamente el valor de k R tal que la función f ( ) = alcance un + etremo relativo en =. Es máimo o mínimo? 6) Sea f() = a + b + c + d, un polinomio que cumple f() = 0 y f (0) = y tiene dos etremos relativos en = y = ; a) Determine a, b, c y d b) Los etremos, son máimos o mínimos? Página

4 7) Plantee y resuelva los guientes problemas: a) Descomponga 64 en dos sumandos de producto máimo. b) Entre todos los rectángulos con un área dada A, encuentre las dimenones del que tiene perímetro mínimo. c) Dado un alambre de 0 m de longitud se desea cortarlo en dos partes y hacer con los trozos dos cuadrados tales que la suma de las áreas encerrada sea mínima. d) Halle dos números cuya suma sea a y tal que la suma de sus cuadrados mínima. e) Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (n tapa) de dm de volumen. Halle las dimenones para que dicha caja tenga superficie mínima. 8) Para las funciones que se indican, grafique f() y f () (en un mismo gráfico) para mostrar que f () es creciente en los intervalos en que la gráfica de f() es cóncava hacia arriba y que f () es decreciente en los intervalos donde la gráfica de f() es cóncava hacia abajo: a) f () = b) f () = c) f () = sen [ -π.π ] 9) Para las guientes funciones determine intervalos de concavidad y puntos de infleión: 6 a) f () = b) f () = c) f 6 + ( ) = d) f ( ) = + 4 > e) f ( ) = ( ) 0) Calcule los coeficientes a,b, c y d del polinomio P ( ) = a + b + c+ d que: a) P tiene un mínimo en = b) P tiene un punto de infleión = c) P ( 0 ) =, P ( ) = 5, sabiendo ) Efectúe el estudio completo (dominio, intersecciones con los ejes coordenados, discontinuidades, asíntotas, intervalos de crecimiento, etremos, puntos de infleión, concavidad, gráfico aproimado, imagen) de las guientes funciones. a) f ) = + ( d) f() = ( ) +. e Página 4

5 b) f ( ) = e) 4 e f() = cos 0 0 < π c) f ( ) = e f) f ( ) = ln ) La figura adjunta muestra la gráfica de la derivada de una función f() con dominio en R (reales) y continua para todo. Determine justificando sus respuestas: Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de f(). Etremos relativos de f(). Intervalos de concavidad de f() Puntos de infleión de f(). Grafique una función f() que cumpla los incisos anteriores sabiendo que los ceros de f() son = 0 y =. Propuestos ) Dara f ( ) = -, podemos afirmar que eiste c ( 0 ; ) tal que f() f( 0) f ( c ) = = 0.? Justifique 4) La función f ( ) = 9+ verifica el Teorema de Rolle en el intervalo[ 0 ;b], Cuál es el valor de b? a) Halle el punto intermedio cuya eistencia asegura el teorema. b) Enuncie el Teorema de Rolle y justifique gráficamente en la función propuesta. 5) Determine eiste el valor de la constante R k para que: lím( + e ) = e + 0 Enuncie las propiedades o teoremas utilizados en el desarrollo. k. Página 5

6 6) Seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta. f ( sen) f ( sena) Sea f: R R, derivable y L = lim a a L puede no eistir L = f (sen a) L = f (sena) cos a L = + entonces: 7) Sea f : (,7) R una función tres veces derivable en el intervalo (,7) y sea P()= (-5) + 9(-5) el polinomio de Taylor de orden de f() en 0 =5. Calcule g () sabiendo que g() = ln(f(5)). 8) Marque y justifique la respuesta correcta. Dada f() = -, el coeficiente de (-) del polinomio de Taylor es: /6 -/6 /8 -/8 9) Dada la f ( ) = 4, halle intervalos de crecimiento y decrecimiento. Analice, además, la eistencia de etremos relativos. + k ( ) 0) Sea f:r-{0} R f()= k R a) Halle los valores de k R para los cuales f() tiene un punto crítico en =. b) Para el mayor valor de k hallado en a), determine intervalos de crecimiento y de decrecimiento y etremos relativos de f(). ) a) Defina máimo relativo y mínimo relativo de una función y = f() b) Sea f: R R / su derivada es f ' ( ) = e ( sen ). Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = f(). Determine, eisten, sus etremos relativos. ) Dada la función f ( ) = + 5. e 8+. < a) Complete, es poble, sobre la línea de puntos para que las guientes propociones resulten verdaderas: a ) Intervalos de concavidad hacia arriba a ) Intervalos de concavidad hacia abajo a ) Punto/s de infleión Página 6

7 b) Enuncie las definiciones y criterios usados en la resolución del inciso a. ) Determine las dimenones del rectángulo de área máima que se puede inscribir en el triángulo como se indica en la figura RESPUESTAS ) a) c = b) c = c) No satisface las hipótes d) No satisface las hipótes d ) a) c = 0 b) c = ½ c) c = n n ) ) P (, ) 4 5) a) c = 9 b) c = π 6) a) e) 0 i) n n a b) f) j) c) g) - k) e d) 0 h) 7) a) b) 8. 8) a) P 4 () = -! sen 9 π = 0, b) P 4 () = - 4 +! 4! cos 4 π = 0,7074 Página 7

8 a) P 4 () = +, =, ) P() = ( + ) + ( + ) - ( + ) 4 + ( + ) 5 0) a) P 5 () = (-) - f(,) 0, b) P 4 () = ln,0 = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ) Q () = -0-9 ( ) + 9 ( ) ) Respuesta a) 4 5 ) a) f() crece en (-, - ) y decrece en (-,+ ). Máimo en P(-,5) b) f() decrece en todo su dominio. No tiene etremos c) en: (,0) U, + ; decreceen : 0, 5 5 Crece Ma. Rel.: (,0) 0 ; Min. rel:, f 5 5 d) π π 5π π π π 5π π Crece en: 0, U, U, π ;decrece en:, U, π π π 5π Mínimos relativos P (, ) y P (, - ).Máimos relativos P (, ) y P (, ). 6 6 e) f() crece en(,+ ) y decrece en (-,0)U(0,). Mínimo relativo en P (, ). f) f() crece en todo su dominio. No tiene etremos. g) f() decrece en todo su dominio.no tiene etremos h) f() crece en todo su dominio. No tiene etremos i) f() crece en (, ). y decrece en (-, ) (,+ ).Mínimo relativo P (,- 5 ) Máimo relativo P (, ). j) g() crece en todo su dominio. No tiene etremos. 4) En = - máimo relativo, pues en su entorno la función pasa de ser creciente a decreciente. En = - no hay etremo, en su entorno no hay cambio de gno de la derivada primera. Página 8

9 En = 0 mínimo relativo, pues en su entorno la función pasa de ser decreciente a creciente. En = máimo relativo 5) k =, es máimo 4 5 6) a = ; b = ; c = ; d = En = hay máimo y en = un mínimo. 6 7) a) = e y =. b) = A e y = A.(cuadrado) c) = 5 (se corta a la mitad) b) = a e y = a. c) = 4 dm y = dm 8) ) a) Cóncava hacia arriba: (-, - ) (, + ). Cóncava hacia abajo: (-, ). Puntos de infleión: P (-, ) y P (, ).. b) Cóncava hacia arriba: (-, - ) (, + ). Cóncava hacia abajo: (-, ). No tiene puntos de infleión. c) Cóncava abajo. (-,) Cóncava arriba.. (, ) P(,-0) pto. de infleión d) No tiene puntos de infleión. Cóncava arriba en (,). e) Cóncava abajo (, ) Cóncava arriba. (-,) P(,0) pto. de infleión 0) a = 6, b = -6, c = 54 y d = ) a) Dom f() = R-{0}, Im f() = R-(-,) Intersecciones : no tiene Discontinua no evitable en =0 X =0 Asíntota vertical ; y= Asíntota oblicua Etremos: (,) Mínimo, (-,-) Máimo Página 9

10 Crece en : (-,-)U(, ). Decrece en: (, 0) ( 0, ) No tiene puntos de infleión. (-,0) Cóncava abajo. (0, ) Cóncava arriba b) Dom f() = R-{-,} ; Im f() = R Intersecciones: = 0; y = 0 Discontinua no evitable en =- y = = - y = asíntotas verticales ; y = asíntota oblicua Etremos: (, 6 ) mínimo y (, 6 ) máimo (, ) U(-,)U(, ) decrece ; (, ) U(, ) crece Pto. de infleión: (0,0) (-,-)U (0,) Cóncava abajo. (-,0)U(, ) Cóncava arriba c) Dom f() = R - {0} ; Im f() = (, 0) ( e, ) Intersecciones: no tiene Discontinua no evitable en =0 AV: =0 ; AH: y= 0 ( a izquierda) Etremos: (,e) mínimo (-,0) y (0,) decrece, (, ) crece Ptos de infleión: no tiene (-,0) C. abajo y (0. ) Cóncava arriba d) Dom(f) = R ; Im (f) = (0, ] Asíntotas: y = 0 horizontal Máimo en (0,) Crece en (-,0). Decrece en (0,+ ) Puntos de infleión:, y, e e Cóncava hacia arriba: (-,-)U(,+ ) Cóncava hacia abajo: (-,) e) π Dom f() =,, Im f() = [ -, ] Intersecciones: y = ; =π/ y =π/ Página 0

11 Continua en todo su dominio y = 0 Asíntota horizontal (a izquierda) Etremos: (π, - ) Mínimo, ( 0, ) Máimo (-,0)U(π,π/) crece ; (0,π) decrece ( π/, 0 ) punto de infleión. (0,π/) cónc. abajo, (-,0)U( π/, π/ ) cónc. arriba f) Dom f() = R { 0}, Im f() = Dom f() = R Intersecciones: = y = - Discontinua inevitable en =0 = 0 Asíntota vartical Crece en (0,+ ). Decrece en (-,0). No tiene etremos. Cóncava hacia abajo en (-,0) U (0,+ ).No tiene puntos de infleión ) f() crece en (-,0) U (0,) y decrece en (,+ ). Puntos críticos: = 0 y =. En = 0 no hay etremo En = hay máimo relativo. f() es cóncava hacia arriba en (-,0) U (,+ ) y hacia abajo (0,) En = 0 hay punto de infleión. ) No es aplicable el Teorema de Lagrange, no es derivable en = 4) b =, c = 5) K = 6) L = f (sena) cos a. 7) g () = -5/ 8) -/6 9) Crece en (0, 8 ) Decrece en (-,0) ( 8,+ ) Mínimo en = 0. Máimo en = 8. 0) a) k= -6 y k = 6 b) Crece en (-,-) (,+ ) Decrece en (-,0) (0,) Máimo en = -. Mínimo en =. Página

12 ) Decrece en todo su dominio. No tiene etremos. ) Cóncava hacia arriba en (-,-) (,+ ) Cóncava hacia abajo en (-, ) Punto de infleión en = / ) = y = / Página