y = en el punto x = 2. x 5x

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1 PROBLEMAS DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE MURCIA CÁLCULO DIFERENCIAL. (Junio 94) Represente gráficamente la función: 5 6. (Junio 94) Dibuje una función definida en el intervalo [-, 5] {} que verifique las siguientes condiciones: a) Es continua en todos sus puntos ecepto en el origen, donde tiene una discontinuidad de salto. b) Es derivable en todos sus puntos ecepto en =. c) En = vale 5 y es creciente en [, 0] y decreciente en (0, ). d) En = tiene una asíntota vertical. e) Es decreciente en (, 5] y alcanza un mínimo de valor 0 ii) Asíntotas iii) Regiones en = (Sept. 95) Se considera la curva de ecuación:. (Junio 94) Enuncia y demuestra la regla de Barrow. 4. (Junio 94) Se considera el sistema: λ a λy bz = 0 donde a = lím y y λz = 7 b = f (0) con f()=²4e. Discute el sistema según los valores del parámetro λ. 5. (Junio 94) i) Definición de derivada de una función en un ii) Interpretación geométrica de la derivada. iii) Calcule, utilizando la definición de derivada, f (0) en los dos casos siguientes: * f() = ² - * f() = 6. (Junio 94) Calcule el valor de a que hace continua la función: si 0 f ( ) = a si > 0 7. (Sept. 94) Represente gráficamente la función 8. (Sept. 94) Diga si tiene derivada en =0 la función f ( ) = sen Y en =π/? tg 9. (Sept. 94) Encuentre la ecuación de la tangente a la curva y = ³ ² en =. 0. (Sept. 94) Demuestre que si > 0, entonces e >. Qué sucede si < 0?. (Sept. 94) Calcule el valor de a dado por: 6 a = lím 5 6. (Sept. 94) En una esfera de radio R se inscribe un cilindro de volumen máimo. Encuentre las dimensiones (altura y radio de la base) de dicho cilindro.. (Sept. 94) i) Interpretación física de la derivada. ii) En qué punto de la parábola y² = 0 la ordenada crece a velocidad doble que la abscisa? 4. (Junio 95) Definición de derivada de una función f:(a, b) R en el punto 0 (a, b). 5. (Junio 95) Una varilla de 5 metros de longitud se apoya en una pared y en el suelo, la varilla comienza a deslizarse y cuando el etremo inferior se encuentra a metros de la pared dicho etremo se mueve con una velocidad de 0,5 m/s. A qué velocidad se mueve el etremo superior en ese momento? 6. (Junio 95) Se considera la curva de ecuación: ( ) Halle: i) Dominio de definición y cortes con los ejes. Representar la gráfica de la curva. Tiene algún máimo o mínimo la función? (No se pide encontrarlos eplícitamente) 7. (Junio 95) El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Un joyero encarga a su ayudante que corte un diamante y cuando el joyero ve las piezas observa que la pérdida de valor del diamante ha sido máima. Cómo cortó el ayudante el diamante? 8. (Sept. 95) Encuentre, utilizando la definición de derivada, la derivada de la función f:[0, ) R dada por f() = 4 en el punto 0 = 5. (Indicación: La relación a 4 b 4 = (a - b)(a b)(a² b²) puede ser útil). ( ) Halle: i) Dominio de definición y cortes con los ejes. ii) Asíntotas y regiones. Represente gráficamente la función. 0. (Sept. 95) El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/s. A qué velocidad crecerá el volumen de la misma cuando el radio sea de 0 cm?. (Junio 96) a) Definición de derivada de una función f:(a, b) R en el punto 0 (a, b). b) Interprete geométricamente el significado de la derivada de una función. Encuentre la ecuación de la tangente a la curva en el punto =.. (Junio 96) Represente gráficamente la curva 4 4² 9. (Junio 96) Halle las dimensiones (radio de la base, r, y altura, h) de un cilindro recto cuyo volumen es π m³ y que tiene superficie total mínima. (El volumen V viene dado por V = πr²h y la superficie total S por S = πr² πrh). 4. (Sept. 96) a) Encuentre una función polinómica de tercer grado (es decir, f() = a³ b² c d) tal que f(0) = 0 y f() f( ) = ². b) Deduzca una fórmula que permita calcular la suma ² 4² 6²... (n)² (Indicación: Dos funciones polinómicas son iguales si los coeficientes de las potencias del mismo grado son iguales. Utilice en este apartado el anterior). 5. (Sept. 96) a) Definición de derivada de una función f:(a, b) R en el punto 0 (a, b). b) Encuentre, utilizando la definición de derivada, la de la función f() = 4 en el punto 0 =. 6 (Sept. 96) Represente gráficamente la curva, 4 calculando dominio de definición, cortes con los ejes, simetrías, asíntotas y regiones. 7. (Sept. 96) Descomponga un número N en dos sumandos tales que su producto sea máimo. 8. (Junio 97) Conteste a las siguientes cuestiones: i) Definición de derivada de una función f:(a, b) R en el punto 0 (a, b). ii) Encuentre la tangente a la curva e en el punto de abscisa =. iii) La altura de un triángulo equilátero crece a una velocidad de cm/s. Halle la velocidad de crecimiento del área y del lado cuando la altura vale cm. 9. (Junio 97) Represente gráficamente las funciones: i) e ii) Ln

2 0. (Junio 97) Se quieren construir botes de enlatar cilíndricos con 0 litros de capacidad. Calcule sus dimensiones si se desea que el gasto de material sea mínimo.. (Sept. 97) i) La derivada de una función f() tiene una gráfica de la forma que se indica en la figura adjunta. Dibuje aproimadamente una posible función f(). Razone la respuesta: ii) La gráfica de una función f() es de la forma: Dibuje aproimadamente la gráfica de su derivada. Razone la respuesta.. (Sept. 97) Encuentre los puntos de la hipérbola ² - y² =, más próimos al punto (0, ).. (Sept. 97) Represente gráficamente la curva: haciendo un estudio básico de la misma. 4. (Junio 98) Si r,..., r t son números reales fijados, hallar un t número real tal que ( r i ) sea mínima. i= 5. (Junio 98) Representar gráficamente la curva: 4 6. (Junio 98) i) Definición de derivada de una función f:(a, b) R en el punto 0 (a, b). Encontrar, utilizando la definición, la de la función f() = ³ - en 0 =. ii) Demostrar que dada la función f() = a² b c con a 0, la cuerda que une los puntos (r, f(r)) y (s, f(s)) de su gráfica, donde r < s son arbitrarios, es paralela a la tangente a la curva en el punto de abscisa r s 0 =. Sabrías deducir un método para trazar la tangente a la parábola a² b c en uno de sus puntos utilizando los instrumentos de dibujo usuales? 7. (Sept. 98) Dada la función f() = ³a²bc. Encontrar a, b y c sabiendo que la gráfica de f tiene las siguientes propiedades: i) Pasa por el punto (0, 4) ii) Tiene un etremo en = iii) Tiene una infleión en = Encontrar los máimos y mínimos de f y representarla gráficamente. 8. (Sept. 98) Encontrar el ángulo que deben forman los lados iguales, de longitud dada l, de un triángulo isósceles para que el área de dicho triángulo sea máima. 9. (Sept. 98) Representar gráficamente la curva encontrando: ( )( ) i) Dominio de definición y cortes con los ejes. ii) Asíntotas y cortes con las asíntotas. iii) Regiones. Cuántos etremos y de qué tipo tiene, al menos, la curva? Compruébalo y represéntala entonces. ( )( 5) 40. (Junio 99) Se considera la curva 4 a) Se pide:i) Dominio de definición y cortes con los ejes ii) Regiones de eistencia, asíntotas y cortes con las asíntotas iii) Una representación aproimada de la curva, usando los apartados anteriores b) Determine cuántas soluciones tiene la ecuación ( )( 5) = e indique cuántas son positivas y cuántas negativas. (Nota: No se pide cuáles son las soluciones sino cuántas son) 4. (Junio 99) Un sólido formado por un cilindro en cuyas bases se han pegado dos conos iguales, está inscrito en una esfera de 0 cm de radio. Determine la altura del cilindro si se pretende que el volumen del sólido sea lo máimo posible. INDICACIÓN: La sección del sólido por un plano que pase por el centro de la esfera y sea perpendicular a la base del cilindro se da en la figura adjunta. Volumen del cilindro = πr²h; Volumen del cono = πr²h e 4. (Sept. 99) Se considera la curva ( ) a) Halle el dominio de definición y los cortes con los ejes. b) Halle las asíntotas y regiones de eistencia de la curva. c) Determine sus máimos y mínimos relativos. d) Haga una representación gráfica aproimada de ella. 4. (Sept. 99) Encuentre qué puntos de la hipérbola de ecuación y² - ² = están más próimos al punto (6, 0). Si se obtiene más de una solución, justifique geométricamente este hecho. ( )( ) 44. (Junio 00) Se considera la curva. Se pide: a) Dominio de definición y cortes con los ejes. b) Asíntotas, cortes con las asíntotas y regiones. c) Valores de en los que la curva puede presentar máimos o mínimos relativos. d) Representación aproimada. e) Determinar, si eisten, los valores de en los que la función dada alcanza el máimo y el mínimo absolutos, justificando la respuesta. 45. (Junio 00) Determine las dimensiones de los lados y el área del rectángulo de área máima que, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro, se puede inscribir en un semicírculo de m de radio. 46. (Sept. 00) Las curvas e se cortan en los puntos P y Q. Encuentre el punto A que está situado sobre la curva, entre P y Q, y que determine con P y Q un triángulo PAQ de área máima. 47. (Sept. 00) Considere la curva ³ - ² - 6. Se pide: a) Estudiar sus simetrías, cortes con los ejes y regiones. b) hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Determinar los valores de para los que pueden eistir máimos y mínimos. d) Hacer su representación gráfica aproimada. 48. (Junio 0) Responda a las siguientes cuestiones referidas a la curva:. 4 a) Dominio de definición. b) Simetrías.

3 c) Cortes con los ejes. d) Asíntotas. e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Máimos y mínimos. g) Representación aproimada. 49. (Junio 0) Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea el triple del perímetro de otro, se necesiten eactamente.48 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. 50. (Sept. 0) a) Definición de derivada de una función en un b) Utilizando la definición de derivada, encuentre la derivada de la función f ( ) = en el punto 0 =. c) Encuentre la ecuación de la tangente a la curva en el punto de abscisa 0 =. 5. (Sept. 0) a) Determine el punto de la curva ² cuya distancia al punto P(6, ) es mínima. b) Cuál es esta distancia mínima? 5. (Junio 0) Dada la curva se pide: a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes. b) Asíntotas y puntos de corte con las mismas, si los hay. c) Simetrías. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Máimos y mínimos. f) Una representación aproimada de la misma. 5. (Junio 0) a) Estudie los etremos de la función: f() = e () 54. (Sept. 0) a) Defina a qué se llama derivada de una función en un b) Utilizando la definición de derivada, calcule la derivada de f() = ³ en 0 =. c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ³ en el punto de abscisa 0 =. 55. (Sept. 0) a) Enuncie una condición necesaria para que un punto 0 sea un punto de máimo o de mínimo relativo de una función f que sea derivable en dicho b) Encuentre dos números positivos cuya suma sea 0 y tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. 56. (Junio 0) Para la fabricación de determinado producto se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra máquinas y contrata y empleados, el número de unidades de producto que podría fabricar vendría dado por la función: f(,y)= 90y. Cada máquina le supone una inversión de 500 euros y cada contrato de un nuevo empleado otra de 500 euros. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 500 euros para este fin, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maimizar la producción. 57. (Junio 0) Dada la función: f ( ) = Se pide: 4 (a) Dominio de definición y cortes con los ejes. (b) Simetrías. (c) Asíntotas (d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (e) Etremos de la función (f) Hacer una representación aproimada de la curva. 58. (Sept. 0) (a) Si f es una función derivable en = a y f (a) = 0, es seguro que f presenta en a un etremo relativo? Justifique la respuesta. (b) Determine dos números no negativos cuya suma sea 00 y tales que la suma de sus cuadrados sea: (i) Mínima. (ii) Máima. 59. (Sept. 0) (a) Definición de derivada de una función en un (b) Interpretación geométrica de la derivada. (c) Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva que son paralelas a la recta (Junio 04) Dada la curva de ecuación se pide: a) Dominio de definición y cortes a los ejes. b) Simetrías c) Asíntotas d) Posibles etremos de la función que define a la curva e) Con los anteriores datos, obtener una representación gráfica aproimada de la curva. 6. (Junio 04) Se dispone de un hilo metálico de longitud 40 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo. 6. (Sept. 04) a) Definicion de derivada de una funcion en un b) Hallar, usando la definicion, la derivada de f() = /( ) en el o = c) Halla la tangente a la curva f() = /( ) en el punto (, /5) 6. (Sept. 04) De entre todos los rectángulos cuya diagonal mide 0 m, encontrar las dimensiones del de área máima. 64. (Junio 05) Se considera la curva definida por la función. Se pide: a) Dominio de definición, cortes con los ejes y simetrías. b) Asíntotas. c) Intervalos de crecimiento de la función. Tiene etremos la función? d) Representación aproimada de la curva. Cuál será la gráfica de la curva? 65. (Junio 05) De entre todos los números reales positivos, y tale que 0, encontrar aquellos para los que el producto p = y es máimo. 66. (Sept. 05) La curva de ecuación a b c pasa por los puntos (, 0) y (0, ) y tiene un mínimo para =. Se pide: a) Encontrar a, b y c. b) Representar de forma aproimada dicha curva. 67. (Sept. 05) De todos los rectángulos de diagonal 6, encontrar las dimensiones del de perímetro máimo. 68. (Junio 06) Dada la función f ( ) i) Dominio de definición y cortes con los ejes. ii) Intervalos en los que es positiva y en los que es negativa. iii) Asíntotas. iv) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. v) Representación aproimada. 69. (Junio 06) Construir un triángulo rectángulo de perímetro con área máima. 70. (Sept. 06) i) Definición de función continua en un punto ii) Estudiar la continuidad de la función f() = y clasificar según los diferentes tipos de discontinuidad. iii) Estudie si tiene asíntotas horizontales o verticales. 7. (Sept. 06) i) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un ii) Calcule la recta tangente a la curva f()=ln( ) en el punto =. iii) Calcule el punto de corte de dicha recta con el eje y.

4 ( ) 7. (Junio 07) Dada la función f ( ) i) Dominio y cortes con el eje. ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales). iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores. 7. (Junio 07) De todos los cilindros de volumen / calcular las dimensiones del que tiene menor superficie. (Indicación: la superficie está formada por dos círculos de radio r y un rectángulo de altura h y el volumen del cilindro es V = π r h). 74. (Sept. 07) Dada la función f ( ) i) Dominio y cortes con el eje. ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales). iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores. 75. (Sept. 07) Una cartulina tiene forma rectangular con 0 cm de base y 0 cm de altura. Se quiere construir un cajón (sin tapadera) con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado en cada esquina de la cartulina. Calcule para que el volumen del cajón resultante sea máimo. Calcule dicho volumen. 76. (Junio 08) Dada la función f ( ) = se pide: 4 i) Dominio y cortes con el eje. ii) Asíntotas verticales (calculando los límites laterales). iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 77. (Junio 08) En un triángulo isósceles de base cm (correspondiente al lado desigual) y altura 0 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados está sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales del triángulo. Calcula las dimensiones (base y altura) del rectángulo para que su área sea máima. 78. (Sept. 08) Dada la función f ( ) = se pide: 4 i) Dominio y cortes con el eje. ii) Asíntotas verticales (calculando los límites laterales). iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 79. (Sept. 08) Se quiere construir una caja (sin tapadera) de base cuadrada y con un volumen de 50 cm. Calcule las dimensiones de la base y la altura de la caja para que su superficie sea mínima. 80. (Junio 09) Dada la función f() = ³4²4, se pide: i) Dominio y cortes con el eje. ii) Estudio de regiones para el signo de f(). iii) Límites en y y estudiar si eisten asíntotas horizontales y oblicuas. iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 8. (Junio 09) La longitud de la barra de un bar de forma rectangular y apoyada en una pared vale L=y. Calcular las dimensiones de e y para que la longitud de la barra sea mínima sabiendo que el área encerrada por la barra debe ser de 8 metros cuadrados (Sept. 09) Dada la función f ( ) i) Dominio y cortes con el eje. ii) Asíntotas verticales (calculando los límites laterales). iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 8. (Sept. 09) Calcule las dimensiones de un vaso de cristal de forma cilíndrica con volumen igual a 50 centímetros cúbicos para que la superficie de cristal sea mínima. (Indicación: Vol = πr²h). f ( ) 4 =, se pide: 84. (Junio 0) Dada la función i) Dominio y cortes con los ejes. ii) Estudio de simetrías y de regiones para el signo de f(). iii) Estudiar si eisten asíntotas horizontales u oblicuas. iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 85. (Junio 0) La vela mayor de un barco tiene forma de triángulo rectángulo. Sabiendo que la hipotenusa debe medir 6 metros, calcular sus dimensiones para que la superficie de la vela sea máima. f ( ) (Sept. 0) Dada la función i) Dominio y cortes con los ejes. ii) Estudiar si eisten asíntotas verticales y calcular los límites laterales. iii) Estudiar si eisten asíntotas horizontales u oblicuas y calcularlas. iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. v) Representación gráfica aproimada. 87. (Sept. 0) Definición de derivada de una función en un Demostrar que la derivada de la función f() = ² es f () =. e 88. (Junio ) Dada la función f ( ) e a) Estudiar si eisten asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya. b) Estudiar si eisten asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya. 89. (Junio ) Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm; uniendo sus etremos se forma un triángulo. a) Demuestre que el área de dicho triángulo viene dada por la función A() = sen(), donde denota el ángulo formado por las manecillas del reloj. b) Determine el ángulo que deben formar las manecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máima. Cuál es el valor de dicha área máima? Se puede utilizar el apartado a) aunque no se haya demostrado. 90. (Sept. ) Dada la función f() = 6 8, se pide: a) Determinar los puntos de la gráfica de f para los cuales la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. b) Determine si, para alguno de dichos puntos, la recta tangente a la gráfica coincide con la bisectriz del segundo cuadrante. 9. (Sept. ) Dada la función f() =, se pide: a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (, 0). b) Calcule los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f.

5 .- SOLUCIONES: π cm³/s. 4.. Es evidente que la función en =0 no puede ser derivable porque no es continua. 4. a=; b=. Si λ = 0, -, s. incomp. Si λ 0, -,, s comp. deter. 5. iii) f (0) =. La segunda función no es derivable en =0. 6. a= 7.. r= m, h= m. 4. a) f() = ³/6 ²/ /. 4n 6n n b) En dos partes iguales. 8. ii) e e. iii) v área = 6 cm²/s, v lado = 9. i) cm/s. 8. En =0, sí. En =π/, no. 9. y= 0. Se cumple la desigualdad para cualquier valor de 0.. a=5. r = R, h = R.. 5 = 5. m / s 6. ii) 7. En dos partes iguales r = dm, h = dm. π π

6 .i) Para < 0 la derivada vale, la función debe ser una recta de pendiente. Para > 0 la derivada es la recta, la función debe ser una función cuadrática. Una posible solución es: ii) ±. Cortes (0, -5/4); (, 0); (5, 0) ii) Asíntotas: =, =,. Corta a en = 9/8. iii) Gráfica. 5 5, ;,. b) Cuatro soluciones, dos positivas y dos negativas. 0( ) 4. h = 4. a) 0; (-,0) b) y=0; = = ri t 4. (, 0) ; (, 0) 44. a) Dom f() = R. Cortes: (,0); (,0); (0,) b) Asíntota. Corte con la ± 0 asíntota (/,) c) En = d) 6. i). 7. a =, b = 9, c = 4. Mínimo (, ); Máimo (, ). Gráfica: 8. 90º. 9. i) Dominio y. Puntos de corte (0, 0) ii) Asíntotas: ; =, =. Corta a y= en =. Tiene un máimo en (0, 0) y un mínimo en (4, 8/9). Gráfica: e) El má. relativo y el mín. relativo lo son también absolutos. 45. = 8 m, m, Área = 8 m². 46. (/4, /) 47. a) No tiene simetrías. Corta a los ejes en (-,0); (0,0) y (,0) b) Creciente en 9 9, U, y decreciente en d) 9 9, c) = ± a) i) 48. a) Dom f()=r-{-, }. b) Simétrica respecto de OY. c) Corta a OY en (0, -/4). d) As. horiz. y=; verticales =- ;

7 oblicuas no tiene. e) Creciente en (-, 0), decreciente en (0, ). f) Máimo relativo en (0, -/4). g) e) Será la misma desplazada una unidad hacia arriba =, 66. a) a = 4, b = 4, c =. b) m, 0 m y 44 m. 50. b) f () = 5. c) y 6 = 5 ( ). 5. a) (, 4). b) 7 5. a) Domf() = R, cortes con OX (, 0), (-, 0), corte con OY (0, -). b) As. Horiz.:. c) Simétrica respecto de OY. d) Decreciente (-, 0); creciente (0, ). e) Mínimo relativo (0, - ). f) 67. = 6, i) Dom. ± ; Corte (0, 0). ii) Positiva en (, 0) y (, ); Negativa en (, ) y ((0, ). iii) As. Hor. 0. As. Ver. = y =. iv) Decrece siempre. v) Repres. 5. a) Mín. relativo en (0, 0). b) Como es creciente >0 f()>0 luego e >. 54. b) f () = 0. c) y empleados y máquinas 57. a) Dom f()= {, }; cortes (0, 0). b) Simétrica respecto a OY. c) As. Horiz.. As. Vert. = y = ; d) Creciente en (-, 0), decreciente en (0, ); e) Má relativo en (0, 0); f? 69. Ambos catetos miden (6 )/. 70. ii) Discontinuidad evitable en = y disc. de ª especie con salto infinito en = iii) As. Hor. y As. Ver. = 7. ii) y ln4 =. ( ) iii) (0, ln4) 7. i) ±; Discontinuidad evitable en = y disc. de ª especie con salto infinito en = ; asíntota vertical = con lim f ( ) = y lim f ( ) = iii) Asíntota horizontal no tiene. As. vertical ; iv) Decreciente en (, ) (0, ) ; creciente en (, 0); Mínimo local en (, 4) y máimo local en (0, 0) ; v) representación: 58. a) No.; b) i)50 y 50; ii) 0 y c) 9 4; a) R; Cortes: (, 0), (, 0) y (0, /) b) Sim. respecto a OY. c) As. Hor.. d) Mín (0, /) e) 6. 0m, 50m y 60m. 6. b) f ()= /5 c) 5y6=0 6. Es un cuadrado de lado a) Dom = ; cortes ejes (0, 0); Simetría respecto de O. b) Asíntota oblicua y=. c) Siempre creciente. No tiene etremos. d) 7.- r 6π 6π = ; h = 6π π 74.-i) Dom.: ±; corte (0, 0). ii) discont. en = ±. En ambos casos es una discontinuidad no evitable de salto infinito. Asíntotas verticales: = y =, siendo lim f ( ) =, lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) =. iii) No tiene asíntotas horizontales; asíntota oblícua: iv) creciente en el intervalo (, ) ; decreciente en el resto. Mínimo en el punto, ; Máimo en el punto,. v)

8 iv) Siempre decreciente. No hay etremos. v) 75.- =,9cm.; V = 056, cm i) Dom.: ±; corte (0, ), (, 0) y (4, 0). ii) Asíntotas verticales = y = con límites laterales: lim f ( ) =, lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) =. iii) Asíntota horizontal ; no tiene oblícuas al tener horizontal. iv) Creciente en todo su dominio; sin etremos v) Representación r = 5 ; h = π 4 π π 84.- i) Dom = ; corte con eje OY: 5. ii) Simétrica respecto de OY. iii) Oblicua. iv) Mínimo en (0, ). 77) Base 6 cm. y altura 5 cm i) Dom.: 4; corte (0, 0) ii) Asíntota vertical = 4 con límites laterales: lim f ( ) = lim f ( ) =. 4 4 iii) Asíntota horizontal no tiene: oblícua 4 iv) Crece en el intervalo (0, 8) y decrece en el resto; Mínimo en el punto (0, 0); Máimo en el punto (8, 6) v) representación: 85.- = 86.- i) Dom = {, }; corte con eje OY: /4; corte con el eje OX =. ii) Asíntotas verticales = y =. lim f ( ) = ; lim f ( ) = ; lim f ( ) = ; lim f ( ) = iii) Horizontal 0. iv) Siempre creciente Lado de la base: 5 4 ; altura: i) Dom = ; cortes con eje : =0, = (doble). iii) lim f ( ) = ; lim f ( ) =. No hay asíntotas. iv) Crece en (, /) (, ). Decrece en (/, ). v) 87.- Teórico. 88. a) = 0. lim f ( ) =, lim f ( ) =. b) 0 0 cuando tiende a, cuando tiende a 89. b) = π/, A(π/) = u. 90. a) (, ) y (, ). b) En (, ). 9. a). b) (, 0) y ( 8.- = m, 6 m. 8.- i) Dom = {}; corte con eje OX: =5. ii) As.v. =. lim f ( ) = ; lim f ( ) =. iii) As.h.. Oblicuas no hay.