APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Apuntes de A. Cabañó. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [-,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0,] para las funciones: a) - + b) c) + d) ++ e) /(-) Sol: a) ; b) ; c) ; d) ; e). Calcula aplicando la definición, la derivada de las funciones siguientes en el punto de abscisa. a) f() - b) f() ++ c) f() - +- d) f() - Sol: a) ; b) ; c) -; d) 4. Calcula, aplicando la definición de derivada, la derivada de las siguientes funciones en el punto de abscisa : a) f() + b) f() - c) f() -4+ d) f() Sol: a) 6; b) ; c) 0; d) 5 5. Encuentra la función derivada de las siguientes funciones polinómicas: a) b) 0, +0,5-0,6 c) 4 -+ d) Sol: a) -6 +-; b) 0,4+0,5; c) 8-; d) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) 4 b) (-) 4 c) d) (-) Sol: a) 4 ; b) 4(-) ; c) ; d) (-) 7. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) b) - c) (/) - +/ d) (5/) +- _, e) (+) f) (+)(+) Sol: Sol: a) ; b) ; c) -/( )-/ ; d) 5+-/( ); e) (+); f) + 8 Calcula la derivada de las siguientes funciones: 4 a) ln ( - ) b) cos ( - ) c) + d) + + e) ( + ). ( - ) f) + g) h) sen( ln ( +) ) i) 4 + +

2 - 9 Sol: a) ; b) - sen ( - ). ; c) 4 ; - + ( +) - ( +) d) ; e) (6 ( - ) + ( + ). (6 - ) ; +6). ( + ) f) ; g) - + ; h) ( ) 6 cos ln ( +) ; +.( + ) - (4 + ).(+) i) ( + ) 9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) sen b) cos ( ) c) ln + - d) sen - e) +5 - f) g) Sol: a) sen. cos ; b) - sen ( ). ; c) ; + + d) g) sen - ( - ) cos ; e) sen ( - ) - ( - ) ( - ) (+ 5) - ( - ) (+5 ). ; f) ; 5 0. Halla la función derivada de estas funciones calcula su valor en los puntos que se indican: a) + -en b) en 0 + c) ( - ) en π d) - cos en e) - - en f) cos( -π ) en π g) en - h) ln (+) + ( - ) sen en 0 i) en + Sol: a) 8; b) -; c) 7/6; d) π+; e) 5/6; f) 0; g) /; h) ; i) /6. Calcula la derivada de las siguientes funciones en :

3 a) f () + b) Sol: a) /4; b) - f () - Apuntes de A. Cabañó. Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguientes funciones es la que se indica en cada caso: a) f() 5 f ()0 b) f() f () c) f() f () d) f() 5 f () 0 e) f() + f ) +. Halla la función derivada de las siguientes funciones: - a) e b) sen () c) cos d) sen e ln ( sen () ) e) ( -) f) log g) - h) sen cos - Sol: a) e. ; b). cos (). sen () ; c). cos + sen. cos ; d) sen( e ) cos( e ) ; e) ; f) - sen (). cos (). ln 0 ; ( - ) - g). ( - ) - cos + ; h) cos. cos cos sen 4. Encuentra la ecuación de la recta tangente a f() en a, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas que f'(a). Sol: 5. Dada la función definida mediante Halla la ecuación de las rectas tangentes en: a) 0, b) c) -. Sol: a) -; b) 7-4; c) 6. Un móvil lleva un movimiento rectilíneo cua relación entre la distancia recorrida (en metros) el tiempo empleado t (en segundos) es t +. a) Calcula su velocidad media entre t t 4 seg. b) Calcula la velocidad instantánea para t5 seg. Sol: a) 8 m/s; b) 0 m/s 7. La recta tangente a una cierta función f() en es +. )Cuánto vale f'()?. Si en la recta tangente es -+5, )Cuánto vale f'()?.

4 Sol: f'(); f'()- Apuntes de A. Cabañó 8. Encuentra la ecuación de la recta tangente a en el punto (0,0) dibuja su gráfica. Sol: 0 9. El espacio (en metros) recorrido por un coche en un tiempo t (en segundos) viene dado por t +t a) Calcula lo que indica el velocímetro cuando t segundos. c) Calcula la velocidad cuando ha recorrido 0 metros. Sol: a) 9m/s; b) 7m/s 0. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a / en los puntos de abscisas 0,. Sol: 0, / - /, 4/ - 4/. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a en los puntos de abscisa 0 9. Sol: 0, -/6-9/6. a) Calcula el ángulo que forma la tangente a -+ en el punto de abscisa con el semieje positivo de abscisas. b) En ese punto, )la función crecerá o decrecerá?. Sol: a) 45; b) Crece. Halla un punto de la función + + en el que la tangente sea paralela a la recta +5. Sol: -; / 4. )Para qué valores de la tangente a las de las siguientes funciones, formará un ángulo de 45 con la horizontal?: a) f() +; b) f() -5; c) f() +7- Sol: a) 0; b) /; c) - 5. )Para que valores de la tangente a las curvas de las siguientes funciones, será paralela al eje OX?: a) f() -8 b) f() - c) f() + Sol: a) 4; b) 0; c) ninguno 6. Por el punto de abscisa 0 se traza la tangente a cada curva de las funciones siguientes. )Qué ángulo forma cada una con el eje X?. a) f() +; b) f() -5; c) f() - Sol: a) 45; b) 0; c) arctg(-) 7. Calcula el valor de a para que la derivada de la función f() sea cuando, siendo +a f (). Sol: a-4 8. Determina los puntos de la curva en los que la tangente tiene una inclinación de Sol: 0; - 9. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función ln en el punto de abscisa. Sol: 4

5 0. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función (sen ) cos() en el punto de abscisa π. Sol:. En qué punto de la gráfica de la función f() -4+ la tangente es paralela al eje de abscisas. Sol:. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f() + en el punto P(,0). Sol: 4-4. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f() -+ en el punto. Escribe la ecuación de la recta tangente. Sol: m; + 4. Escribe las ecuaciones de las tangentes a -4+ en los puntos en que esta parábola corta al eje de abscisas. Sol: -+; Calcula la pendiente de la tangente a la curva -+ en el punto de abscisa. Sol: m 6. Calcula la ecuación de la tangente a la curva 5-8+ en el punto de abscisas. Sol: Halla la tangente a la curva / en el punto de abscisas. Sol: -/4+ 8. Halla la ecuación de la tangente a la curva - ++ en el punto de abscisa -. Sol: Halla las ecuaciones de las tangentes a la curva +- en los puntos donde su ordenada es igual a su abscisa. Sol: 4-; Halla la tangente a la curva /(+) en el origen de coordenadas con el eje OX?. Sol: 4. Halla los puntos de la gráfica de la función en los cuales la tangente es paralela al eje OX. Sol: -, 4. Calcular los puntos en que las tangentes a la curva +7+7 son paralelas a la recta. Sol: - 4. Determina a para que valga la pendiente de la tangente a la curva abscisa 0. Sol: a - a +a en el punto de 44. Dada la curva de ecuación f() +, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45. Sol: (-,-) 45. Halla la ecuación de la tangente de la normal a la curva: +- en el punto de abscisa. Sol: a) 5-; /5 + 9/5 5

6 46. Halla k para que la tangente a la curva la recta k. Sol: k/ + Apuntes de A. Cabañó en el punto de abscisa sea perpendicular a 47. Determina las ecuaciones de la tangente de la normal en su punto de infleión de las curvas de ecuaciones: a) + -+; b) Sol: a) -5/+/4; /5+/5; b) -, Averigua si las siguientes funciones tienen tangente en el punto indicado, en caso afirmativo escribir la ecuación de dichas tangentes: a) en ; b) en 0; c) Sol: a) Sí, -; b) Sí 0; c) No 49. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: ln(+) en 0. Sol: 50. Halla la ecuación de la tangente a la función artg en. Sol: -π/4/(-) 5. Halla la tangente a la gráfica de la función: sen en π/4. Sol: 5. Dada la función (-)/(+), hallar la ecuación de la tangente que es paralela a la recta Sol: --0, Halla la ecuación de la tangente a la curva de ecuación: e paralela a +. Sol: Halla las ecuaciones de las rectas que forman un ángulo de 45 con la horizontal son tangentes a la curva:. Sol: ; Halla los puntos de la curva: ln donde la tangente es paralela a la recta Sol: / 56. Las curvas de ecuaciones - e -4 se cortan en dos puntos P P'. Halla sus coordenadas la pendiente de las tangentes en P P'. Sol: P(,-) m, m ; P'(,), m /, m 57. Calcula la tasa de variación media de la función - en los intervalos: a) [-,0] b) [0,] c) [,4] Sol: a) ; b) ; c) Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [,4] e indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f()(-) b) f()e c) f() -+ d) f()/ Sol: a) 4, crece; b) (e 4 -e )/, crece; c) 5, crece; d) -/8, decrece 6

7 59. Dada la función f() -, halla la tasa de variación media en el intervalo [,] Sol: Compara la tasa de variación media de las funciones f() + g() en los intervalos a) [0,] b) [,] di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Sol: a), ; b) 5, 7 6. Aplicando la definición de derivada, calcula f'(0), f'() f'(-), siendo Sol: f'(0)5/4; f'()5/9; f'(-)5 f () Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la definición de derivada: a) f() + b) f()(-) c) f()/ d) f()/(+) Sol: a) ; b) 6; c) -; d) -/4 6. Halla el valor del crecimiento de f() - en los puntos 0. Sol: -, 64. Halla la pendiente de la tangente a la curva +- en el punto de abscisa -. Sol: 65. Halla la pendiente de la tangente a la curva -+ en el punto de abscisa.sol: 66. Comprueba que la función -+ tiene un punto de tangente horizontal en /. 67. La derivada de la función f() + +5 es f'() +4. Utilizando la derivada, responde: a) )Cuál es la ecuación de la tangente a f en el punto de abscisa? b) )En qué puntos tiene f tangente horizontal? c) )Es creciente o decreciente en -? Sol: a) 7+; b) 0; -4/; c) Creciente 68. Sabiendo que la derivada de la función f() / es f'()-/ halla el punto de f en el que su derivada vale -/4. )Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto? Sol: ; -/4 -, -/ Halla los puntos singulares de la función - +. Sol: 0; 70. Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) ++ b) - Sol: a) -/; b) 0, 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva -+4 en el punto de abscisa Sol: -6(-) 7. Escribe la ecuación de la tangente a la curva - ++ en el punto de abscisa 0. Sol: + 7

8 7. Escribe la ecuación de la tangente a la curva -+, cua pendiente sea igual a. Sol: Halla la ecuación de la tangente a la curva ln(+) en 0 Sol: 75. Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva - que sean paralelas a la recta Sol: 9; Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función +- en los puntos de corte con el eje de abscisas. Sol: -; Halla los puntos de tangente horizontal de la función Sol:, )En qué puntos de ln la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? )Eiste algún punto de tangente horizontal en esa función? Sol: ; No 79. a) )Cuál es la derivada de + en cualquier punto? b) )Cuánto ha de valer para que la derivada de -+ sea igual a? c) )En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función -+ es paralela a la recta +? Sol: a) ; b) ; c) 80. )En qué puntos la recta tangente a 4 - tiene la pendiente igual a? Sol: -; 8. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 4-. Sol: 4+; que son paralelas a la recta a) Indica, en la gráfica de la función, los puntos en los que la derivada es cero. b) En, )la derivada es positiva o negativa?. c) )Y en 0? Sol: a) -, ; b) +; c) - 8. )Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Sol: No 8

9 84. La ecuación de la recta tangente a una función f() en el punto de abscisa es -+0. )Cuál es el valor de f'()? )Y el de f()? Sol: f'()/; f()5/ 86. Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (,-) que la pendiente de la recta tangente en el punto (0,-) vale 0. Sol: Halla el vértice de la parábola +4+ teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es horizontal. Sol: Determina la parábola: a +b+c que es tangente a la recta 4+ en el punto A(,) que pasa por el punto B(0,). Sol: Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas -+ e - son paralelas escribe las ecuaciones de esas tangentes. Sol: ; +, ; /, -/+6/9, -/+/7 90. Halla a, b c en f() +a +b+c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en - en que pase por (0,). Sol: Dada la función f() -6 +9, obtén su función derivada estudia su signo. )Cuáles son los intervalos de crecimiento decrecimiento de f? )Tiene f máimo o mínimo? Sol: ' -6+9; Crece (-,)U(,+ ), decrece (,); máimo (,4), mínimo (,0) 9. Estudia el crecimiento decrecimiento de la función f() (+). Sol: Crece en R 9. Estudia el crecimiento decrecimiento de la función f() -. Sol: Crece (-,0)U(,+ ), decrece (0,) 94. Estudia el crecimiento el decrecimiento de estas funciones analizando el signo de su derivada: a) (-)/ b) - c) +5- d) - + e) f) (-) Sol: a) Crece en R; b) Decrece (-,0), crece (0,+ ); c) Decrece (-,-5/6), crece (-5/6,+ ); d) Crece (-,0)U(,+ ), decrece (0,); e) Crece en R; f) Decrece (-,), crece (,+ ) 95. Calcula la tasa de variación media de f() - en los intervalos a) [0,], b) [,] c) [-,4]. Sol: a) 6; b) ; c) Dibuja una función que tenga derivada nula en 0 en, derivada positiva en el intervalo [0,] negativa para cualquier otro valor de. 9

10 97. Pon ejemplos de funciones f cua derivada sea f(). Cuántas eisten?. Sol: f() +k; Infinitas 98. )Qué relación eiste entre f g? )Y entre f g?. Sol: f g son paralelas, f' g' son iguales. 99. )Eiste algún punto de la función - en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0,0) (,)? En caso afirmativo, hállalo. Sol:, -/ 00. Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola a +b+c es -b/a. 0. Si f(0)0, )cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en 0 b) La tangente en 0 es horizontal c) La función pasa por el punto (0,0) Sol: b) 0. Esta es la gráfica de la función derivada de f(). a) )Tiene f algún punto de tangente horizontal? b) )Es creciente o decreciente? Justifica tus respuestas. Sol: a) sí en -, ; b) crece (-,) U (,+ ), decrece (0,) U (-,-) - 0. Halla los puntos singulares de las siguientes funciones estudia el crecimiento decrecimiento para decidir si son máimos o mínimos. a).e b).e c) /e Sol: a) Mínimo -; b) Mínimo 0, máimo -; c) Mínimo 0, máimo 04. Halla la ecuación de la tangente a la curva ln que es paralela a la recta -. Sol: --ln 05. Averigua qué función f() cumple las siguientes condiciones: a) Su derivada es f() -+ b) Pasa por el punto (-,0) Sol: Una función f() tiene un máimo en -, un punto de infleión en 0 un máimo en. Representa aproimadamente f'(). 0

11 Solución: Si la siguiente gráfica representa a f'(). Dibuja la gráfica de f() aproimadamente, sabiendo que pasa por el origen. Solución: - 4