APLICACIÓN DERIVADAS

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1 APLICACIÓN DERIVADAS 1 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA Si f ( 0 ) > 0 f es creciente en 0. Si f ( 0 ) < 0 f es decreciente en 0. EJERCICIOS: 1º.- Dada la función y = , averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. Selectividad nº 16, 40 a) 2 RELACIÓN ENTRE CURVATURA Y SEGUNDA DERIVADA Si f ( 0 ) > 0 f es cóncava en 0 (la curva queda por arriba de la tangente) Si f ( 0 ) < 0 f es cónvea en EJERCICIO: Dada la función y = , averigua: a) Dónde es cóncava. b) Dónde es convea. 3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Una función f presenta un máimo absoluto (mínimo absoluto) en 0 A si f( 0 )f() A [f( 0 )f() A] Una función f presenta un máimo relativo (mínimo relativo) en 0 A cuando E( 0 ) tal que f( 0 )f() E( 0 ) ( f( 0 )f() E( 0 ) ) (AD) (AD) 4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar etremos en: Derivables Los Puntos Interiores No Derivables (absolutos o relativos) Los Etremos del Intervalo (Absolutos) pág. 95

2 a o b 4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ()=0. En ellos la recta tangente es horizontal Si una función alcanza un Máimo en un punto c(a,b) en el que es derivable: f '( c) 0 Condición Necesaria f ''( c) 0, C. S. La condición suficiente puede sustituirse por el estudio de la monotonía a izq y dcha de los valores que anulan la primera derivada Si una función alcanza un mínimo en un punto c(a,b) en el que es derivable: f '( c) 0 Condición Necesaria f ''( c) 0, C. S. La condición suficiente puede sustituirse por el estudio de la monotonía a izq y dcha de los valores que anulan la primera derivada EJERCICIO: Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = Averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y = y = EXTREMOS ABSOLUTOS Para calcular los etremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]: 1º.- Se hallan los etremos relativos en (a,b), según se eplica en la pregunta anterior 2º.- se calcula f(a) y f(b) 3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máimos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máimo absoluto y el menor el mínimo absoluto. EJERCICIOS: pág. 96

3 1.- Determinar el valor máimo y mínimo absoluto de la función f()= en el intervalo [0,3]. Selectividad nº 31 a, b, nº 33, nº 34 a), 48, 50a 5 ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN UNA FUNCIÓN Son aquellos que separan arcos de curva cóncavos y conveos, es decir, en ellos cambia la curvatura de la función. En ellos la tangente atraviesa la curva. Si una función presenta un punto de infleión en 0, en el que es dos veces derivable: 0 Condición Necesaria : f (c) 0 Condición Suficiente : Se estudia la curvaturaa ambos lados del punto;sicambia en chay infleión EJERCICIOS: 1.- Determinar los puntos de infleión de la función: y = Sea f () = a 3 + b 2 + c + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ' (0) = 2 y tiene dos etremos relativos para = 1 y = 2. a) Halla a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? 3.- La función f () = 3 + a 2 + b + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene etremo relativo en = 1. Calcula a, b y c. 4.- Halla los coeficientes a, b, c, d de la función f() = a 3 +b 2 +c+d. sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de infleión (1,0) es y= - 3+3, y que la función tiene un etremo relativo en = 0 Selectividad nº: 22, 26 a), 36, 41 a) b), 43a) b) 6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En estos problemas se trata de conseguir un volumen, unos beneficios, una población máimos; o unos costes, un área mínimos. En ellos nos interesan los etremos absolutos, por lo que siempre habrá que calcular el valor de la función en los etremos del intervalo. EJERCICIO: 1º.- De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. pág. 97

4 2º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, cuál es el que tiene la diagonal menor? 3º.- Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. 4º.- Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, cuál es el de área máima? 5º.- Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? 6º.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie eterior sea mínima. 7º.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales: a) Epresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base,, y di cuál es el dominio de la función. b) Halla el valor máimo de esa función. 8º.- Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máimo. 9º.- Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. 10º.- Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. Si la altura de la caja no puede pasar de 2 dm, cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? 11º.- El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene dado por f (t) = 9 - (t - 2) 2, 0 t 4,5. Deduce en que valor de t alcanzo su máimo valor y en que valor de t alcanzo su valor mínimo. 12º.- Dos postes de 12 y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. pág. 98

5 Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? Selectividad Todos ecepto los 4 primeros. Empezar por el final (no olvidar 43c) 7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES A pesar de que, para representar una función, siempre haremos el mínimo número de cálculos, suele ser imprescindible: 1. Dominio y continuidad 2. Asíntotas y Ramas Infinitas 3. Monotonía y Etremos 4. Curvatura y puntos de infleión En el supuesto de que estos cálculos no aporten los datos suficientes para la representación, se podrá completar con: puntos de corte con los ejes, simetrías, tabla de valores REPASO DE ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Asíntota horizontal: Si lim f ( ) l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la derecha es la recta de ecuación: y= l Si lim f ( ) l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la izquierda es la recta de ecuación: y= l Asíntota Vertical: Si lim f ( ), a, hay asíntota vertical; es la recta de ecuación = a. a Para saber la posición de la curva respecto a la asíntota es preciso calcular los límites laterales. Asíntota Oblicua: Si: f ( ) lim f ( ), lim m 0 y lim Entonces la recta y= m+n es una asíntota oblicua por la derecha. Para calcularla por la izquierda, se efectúan los mismos cálculos con. P( ) En el caso de funciones racionales y la localización de la asíntota Q( ) oblicua es mucho más sencilla: Si grado de P() grado de Q() = 1 hay asíntota oblicua. Su ecuación es y= m+n, siendo m+n el cociente de dividir P() entre Q() Ramas Parabólicas f ( ) m n siendo m, n pág. 99

6 lim f ( ) Si y no hay asíntota oblicua, entonces puede haber rama parabólica. Análogamente se procede para P( ) En el caso de funciones racionales y si grado de P() grado de Q( ) Q() > 1 hay rama parabólica EJERCICIOS: Selectividad: 35 a), 37 a) 43 a), 49 Representa las funciones 1 : 1.- y = y ln y 5.- y y e 1 Recuerda las funciones elementales ln, e, sen, cos y sus transformadas obtenidas sumando o restando k, a la función y a la pág. 100

7 EJERCICIOS SELECTIVIDAD TEMA 7 Aplicación de derivadas 1.-Un hilo de alambre de longitud dada se corta en dos trozos, formando con uno de ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Demuestra que la suma de las áreas es mínimo cuando el lado del cuadrado es doble que el radio del círculo. (1994) 2.- Un camión está a 975 Km al este de un automóvil y está viajando hacia el oeste a una velocidad constante de 60 Km/h. Mientras tanto, el automóvil está yendo al norte a una velocidad constante de 90 Km/h. En qué momento estarán el camión y el automóvil más próimos el uno del otro? (1994) 3.- En un instante t = 0 el móvil A está situado en (100,0) y el móvil B se halla en el punto (0,5). Ambos comienzan un movimiento uniforme con velocidades v A = - 3i y v B = 2i-j. Determinar el instante y las posiciones para las que la distancia entre ambos móviles sea mínima. (1995) 4.- Una partícula recorre la curva y = de manera que en el tiempo t segundos ocupa la posición = t e y = - t 2 +10t 25. Al llegar al instante t = 5 segundos se escapa por la tangente a la curva recorriendo diez unidades de longitud en cada segundo en la dirección positiva del eje OX, es decir hacia la derecha. Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos. (1995) 5.- Se divide un alambre de longitud 100m en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determina las longitudes de esos trozos para que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea máima. (1995) 6.- Representar la función f() tal que: f() = +6 si [ - 6,- 3] f() = 3 si ( - 3, 3) f() = 6 - si [ 3,6] Halla el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representa la función f (). ( A Junio 1996) 7.- Halla la base y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical genere un cilindro de volumen máimo. (B Junio 1996) 8.- Un punto material recorre la parábola y 2 = 8 9. Determinar razonadamente en que posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (A Septiembre1996) 9.- Un hilo elástico tiene un etremo fijo en el punto O = (0,0) y el otro etremo P recorre la curva ( 3) 2 + (y 4) 2 = 4 Determinar las coordenadas de P cuando sea máima la longitud OP, interpretando geométricamente el resultado obtenido. (B Junio 1997) pág. 101

8 10.- Descomponer un segmento del longitud 20 metros en cuatro partes para obtener el paralelogramo de la mayor área posible. (A Septiembre1997) 11.- Un punto material recorre la parábola y = 2 7. Determinar razonadamente la posición o posiciones en que la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (B Junio.1998) 12.- Un hilo de 100 metros se divide en dos trozos de longitudes e y; con el primero se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente: a) Halla e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea máima. b) Halla e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima. (B Septiembre.1998) 13.- Con un hilo de 60 cm formamos un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus lados engendra un cilindro de área total (área lateral + área de las bases) máima. (B Junio 1999) 14.- El punto P(,y) recorre la elipse de ecuación 2 y 2 1. Deduce las posiciones 25 9 del punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máima, y también las posiciones de P para las que su distancia es mínima. (A Septiembre.1999) 15.- El punto P(,y) recorre la curva y = 2. Utilizando razonadamente el cálculo de derivadas, calcula la posición del punto P para la cual su distancia al punto (0, -4) es mínima. (A Junio.2000) 16.- A través de la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su crecimiento o decrecimiento, obtén en que puntos del intervalo [ - 2,2] son crecientes o decrecientes las funciones: a) f()= 2 b) g()= 3 7 (2000) 17.- Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes e y. Con el trozo de longitud se forma un cuadrado y con el de longitud y se forma un rectángulo, el lado mayor del cual mide el doble que el lado menor. Encuentra e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máima. Idem para que sea mínima. (A.Septiembre.2000) 18.- Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes y 100. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a) Determina el dominio de la función f; es decir, los valores que puede tomar b) Con el estudio de la derivada de f obtén cuando f es creciente y cuando es decreciente. c) Indica razonadamente para que valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima. (A Junio.2001) pág. 102

9 4 si Sea la función definida por f () Justifica si f es 7 si 3 7 derivable o no en = 3. Que significado geométrico tiene el resultado obtenido? (B Junio.2001) 20.- Descomponer un segmento de longitud 200 m en cuatro partes, de manea que esas partes sean los lados de un rectángulo cuya área sea máima dentro de la familia de rectángulos de perímetro 200 m. (B Septiembre.2001) 21.- Considerad las funciones definidas para 0, f () arcsen y g() arccos. Calculad f () y g () epresadlas del modo más 2 1 simplificado posible. Comparad los resultados y deducid justificadamente la diferencia entre f() y g() (B Junio 2002) 22.-Sea f()= 3 + a 2 + b + c. Hallad a, b, c sabiendo que f alcanza un máimo en = - 4 y un mínimo en = 0 y que f(1) =1 (A Septiembre. 2002) Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A y f tales que: A() = Área del triángulo. f() = {A()} 2 Indicar además entre qué valores puede variar. c) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f() alcanza el valor máimo. ( B Junio.2003) 24.- En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m 2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 euros. Si es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función de f tal que f() sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar. b) Deducir razonadamente el valor de para el que la función f() alcanza el valor mínimo. (A Septiembre 2003) Encontrar razonadamente el punto de la curva y= en que la recta tangente a 2 1 la curva tiene pendiente máima y calcular el valor de esa pendiente. (Junio ,3 puntos) 26.- Sea f()= 2 +m (donde m es un parámetro real) y f () la función derivada de f(). Se pide: a) Hallar el valor del parámetro m para que f() tenga un mínimo relativo en =-3/4 1,5 puntos 2 b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y=f() y la recta de ecuación y = f () 1,8 puntos ( septiembre 2004.) 2 Este apartado se hará en el tema de Áreas pág. 103

10 ln a 27.- Hallar las constantes reales a y b para que f()= b sen función continua para todo valor de. (3,3 puntos. Junio 2005) si si si sea una 28.- En el plano se tiene la curva y = Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, 3) y son tangentes a dicha curva. (Septiembre ,3 puntos) a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. Cuántos radianes α debe medir su ángulo central para que su área sea máima? (1,8 puntos). (Nota: Perímetro = 2R +R α ; Área = ½ α R 2 ) b) El, área de otro sector circular es de 1m 2. Para qué radio es mínimo su perímetro? (1,5 puntos. Septiembre 2005) Dada la función y= Ln en el intervalo [1,e], siendo e= 2, : a) Razonar que eiste un punto P de la gráfica y= Ln en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(1,0) y B(e,1) (1 p) b) Obtener el punto P considerado en a) (1,8 p) c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y= Ln en P (0,5 p) Junio a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función g()= 2 4, cuando 1 4 (1,1 p) b) Obtener razonadamente los valores máimo y mínimo absolutos de la función f ( ) 2 4 en el intervalo [-1,4] (1,1 p) c) 3 Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y= f() y las rectas = -1 e y= 0 (1,1 p) Junio El coste de un marco de una ventana rectangular es de 12,5 por metro lineal de los lados verticales y 8 por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m 2 de superficie para que resulte lo más económico posible (2,3 p) b) Calcular, además el coste de ese marco más económico posible considerado en a) (1 p) Junio a) Obtener la derivada de la función f() a b sen (0,5 puntos). Calcular a y b si O (0, 0) es un punto de la curva y a b sen, cuya recta tangente en O(0, 0) es el eje OX (1,8 puntos). 3 Este apartado se hará en el tema de Áreas pág. 104

11 2 b) Justificar que la función g() sen se anula en dos puntos del intervalo 0, (0,5 puntos). c) Calcular esos dos puntos (0,5 puntos). Septiembre Dadas las funciones f () y g() 3, se pide: a) Calcular el máimo absoluto de la función f () en el intervalo 3, 0(1 p). b) Calcular el punto de corte de la curva y f () y la recta y g() (1 punto). c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y f () y las rectas y g(), 3 y 0 (1,3 puntos). Septiembre Se consideran las funciones reales f() = y g() = Se pide: f () a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 g() puntos). f () b) Calcular la función H() = d que cumple H(1)=1. (1,7 puntos) g() Junio Se considera la función real f () 3 a 2 b c, donde a, b y c son parámetros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f() en los puntos de abscisas = 2 y = 4 son paralelas al eje OX. (2 puntos). b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de infleión de la gráfica de f() está en el eje OX. (1,3 puntos). Junio Dadas las funciones reales f ()= y g() = Se pide: f() a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 P. g() f() b) Calcular la función H() d que cumple H(0) = 0. (1,7 puntos). Sept 07 g() Sea la función con dominio los números reales no nulos f() a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f() en el punto de abscisa = 2. (1.8 puntos). b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f() para los que las rectas tangentes a la gráfica en M y N se cortan en el punto (4, - 8 ). (1.5 puntos). Sept Se considera la función real f() = 2 4. Obtener, eplicando el proceso de cálculo: a) La gráfica de la curva y = f(). (0,7 puntos). b) Los valores de para los que está definida la función real g() = Ln f(). (1,3 p) pág. 105

12 c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(), razonando si tiene, o no, máimo absoluto. (1,3 Puntos) Junio Junio 2009 a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y 1 decrecimiento de la función f() =. (1 punto) b) Obtener razonadamente los valores de A y B tales que = 3 3 A B (1 punto) 3 3 c) Calcular razonadamente el área de la superficie S limitada por la curva 1 y =, el eje OX y las rectas de ecuaciones = - 2 y = (1,3 puntos) 41.- Dada la función f() = e e, se pide calcular razonadamente: a) La función f()+f( - ). (1,1 puntos) a b) La integral f ()d, donde a es un número real positivo. (1,1 puntos) a c) El punto de infleión de f(). (1,1 puntos) Junio Se consideran las funciones reales f() = y g() = ( 2)( 2 +9). Se pide obtener razonadamente: a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 puntos) b) La función que cumple. (1,7 puntos) Sep Dada la función real, se pide calcular razonadamente: a) Las derivadas primera y segunda de la función f(). (0,8 puntos) b) Los puntos de infleión de la curva y = f(). (1 punto) c) La pendiente máima de las rectas tangentes a la curva y = f(). (1,5 p) Sep Se quiere construir un estadio cerrado de m 2 de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base y dos semicírculos eteriores de diámetro, de manera, que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de 1 m 2 de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 y el precio de 1 m 2 de valla para las semicircunferencias es de 2. Se pide obtener razonadamente: a) La longitud del perímetro del campo en función de. (3 puntos) b) El coste f() de la valla en función de. (3 puntos) c) El valor de para que el coste de la valla sea mínimo. (4 puntos) Junio 2010 pág. 106

13 45.- Dada la función polinómica f()= 4 2, se pide obtener razonadamente: a) La gráfica de la curva y = 4 2. (2 puntos) b) El punto P de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación +y=0. (3 puntos) c) Las rectas que pasan por el punto (- 2, 1) y son tangentes a la curva y = 4 2, obteniendo los puntos de tangencia. (5 puntos) Junio Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro en (0,0) y radio 5. Uno de los vértices del triángulo es el punto A=(-5,0). Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B=(, y) y C=(, - y). Se pide obtener razonadamente: a) El área del triángulo en función de. (3 puntos) b) Los vértices B y C para los que es máima el área del triángulo. (5 puntos) c) El valor máimo del área del triángulo. (2 puntos) Septiembre Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que: Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4-2, - 2 2, y el segmento A y B es horizontal. Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = 2-16, - 4 4, y el segmento C y D es también horizontal. Los puntos A y C tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo. Los puntos B y D tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo -. Se pide obtener razonadamente: a) La epresión S() del área del campo rectangular en función del número real positivo..(4 puntos) b) El número real positivo para el que el área S() es máima..(4 puntos) c) El valor del área máima. (2 puntos) Junio Un coche recorre un arco de parábola Γ de ecuación 2y=36 2, variando la de -6 a 6. Se representa por f() a la distancia del punto (0,9) al punto (,y) del arco Γ donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente: a) La epresión de f(). (2 puntos) b) Los puntos del arco Γ donde la distancia f() tiene mínimos relativos. (2 p) c) Los valores máimo y mínimo de la distancia f(). (2 puntos) d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ y el segmento rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0). (4 puntos) Sep Dada la función f definida por: Obtener razonadamente: a) El dominio y recorrido de la función f. (2 puntos) b) Los valores de donde la función f alcanza el máimo y el mínimo relativo. (2 puntos) pág. 107

14 c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función f. (2 puntos) d) Los valores de donde la función tiene puntos de infleión. (2 puntos) e) La gráfica de la curva, eplicando con detalle la obtención de la asíntota horizontal. (2 puntos). Sep Con el símbolo ln se representa el logaritmo de un número positivo cuando la base del logaritmo es el número e. Sea la función f, que para un número positivo está definida por la igualdad 4 Obtener razonadamente: a) El valor de donde la función f alcanza el mínimo relativo. (4puntos). b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4ln en el punto (1, 0). (3 puntos) c) El área limitada entre las rectas y= 0, =e y =e2 y la curva y = 4ln (3 puntos) Junio Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0, 12), B=(-, 2 ) y C=(, 2 ), siendo 2 <12. Obtener razonadamente: a) El área del triángulo T en función de la abscisa del vértice C. (2 puntos) b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máima. (3 puntos) Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola y = 2, cuando Obtener razonadamente: c) El área de la superficie S. (3 puntos). d) El área total del escudo (2 puntos). Junio 2012 pág. 108