f : IR IR 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real

Transcripción

1 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real,, un único número real y = f (). A la variable se le denomina variable independiente, y a la variable y, variable dependiente. Una función se puede epresar de esta forma: f : IR IR y = f () Una función puede cortar varias veces al eje X, pero sólo puede cortar una vez como máimo al eje Y. A cada valor de para el que eiste la gráfica, le corresponde un único valor de y. Esta gráfica corresponde a una función. En estas gráficas de la derecha, eisten valores de la variable a los cuales les corresponden más de un valor de y. Estas gráficas no corresponden a funciones.. FUNCIONES ELEMENTALES Funciones polinómicas: rectas Funciones polinómicas: parábolas Funciones racionales: hipérbolas

2 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones irracionales: ramas de parábolas Funciones eponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas

3 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones valor absoluto. LÍMITES. El ite de una función puede ser un número,, o no eistir Un ite determinado es un número real, o bien, o. En otro caso es indeterminado (no se puede saber a priori su resultado): ; ; ; ;. ; ; Las indeterminaciones aparecen generalmente en el cálculo de ites en un punto que no sea del dominio, en los etremos finitos del dominio o en los ites infinitos... Límite de una función en un punto. Al aproimarnos a un punto podemos hacerlo por la izquierda (con valores menores que él) o por la derecha (con valores mayores). Límite de f () cuando tiende hacia a por la izquierda El ite lateral de la función f () en = a por f () la izquierda es el valor al que se aproima la función f () cuando la variable independiente se aproima al valor a por la izquierda, es decir, por valores menores que a. Límite de f () cuando tiende hacia a por la derecha El ite lateral de la función f () en = a por f () la derecha es el valor al que se aproima la función f () cuando la variable independiente se aproima al valor a por la derecha, es decir, por valores mayores que a. Para que eista el ite de una función en = a, tienen que eistir los ites laterales y deben ser iguales. = L = = L = L No eiste f ()

4 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejemplos: Sea la función = ; calculemos tiende a por la izquierda tiende a por la derecha f () f () tiende a f () tiende a Luego = = = En las funciones definidas por una sola fórmula se tiene que: = f ( a) siempre que a Dom( f ) Utiliza las gráficas para calcular los ites laterales de las funciones: a) En = b) En = Para calcular el ite lateral de una función en un punto sustituimos en la función la variable por el punto; si no obtenemos indeterminación, ése es el ite. Por la izquierda: ( ) = = = Por la derecha: ( ) = = = Cuando toma valores muy próimos a y menores que, los valores de f () tienden a : = Cuando toma valores muy próimos a y mayores que, los valores de f () tienden a : = Ejercicio : Calcula los siguientes ites: a) ( ) b) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. [ k] = k. [ ± g( )] = ± g( ). [ g( )] = g( ) 4. = ; g( ) g( ) g( ) 5. g[ ] = g( ), si eiste g( ) 6. [ ] [ ] g ( ) g ( ) g ( ) = [ ], si es determinado 4

5 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Indeterminación de tipo Suele aparecer al calcular ites del cociente, en un punto a en el que f ( a) = y g ( a) =. g( ) Para resolver estas indeterminaciones transformamos el numerador y el denominador para simplificar la fracción. 4 Ejercicio : Calcula los siguientes ites: a) b) c) d).. Límite de una función en el infinito. = L = L f () = f () = f () = f () = Si para valores muy grandes de, los valores de la función se aproiman al número L. Si para valores muy pequeños de, los valores de la función se aproiman al número L. Si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f () son mayores que cualquier número prefijado. Si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f () son menores que cualquier número prefijado. Si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f () son mayores que cualquier número prefijado. Si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f () son menores que cualquier número prefijado. Ejemplo: Sea la función =, calculemos f () y f () tiende a menos infinito tiende a más infinito f () f () tiende a f () tiende a Luego = Luego =. Propiedades de los ites. Son las mismas que las de ites de funciones en un punto teniendo en cuenta que, será necesario operar con epresiones donde aparece infinito. A veces los resultados determinan directamente la eistencia del ite y su valor y, en otros casos, no es posible (indeterminaciones que tendremos que salvar). 5

6 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Suma y resta Producto Cociente Potencia = ( ) = k k < = = ; k ( ) = ( ) = k k > k indeterminado indeterminado ( ) = = ± ; k k < ( ) = k = k > ± k < indeterminado indeterminados k = k > k = ± indeterminados A veces resulta fácil calcular el ite mentalmente simplemente por comparación de infinitos; n sen para ello basta recordar que: a >> >> log a >> [ a > ] cos Ejercicio : Calcula los siguientes ites: a) log log b) c) log log d) e) f) g) e Indeterminación tipo Ejercicio 4: Calcula los ites: d) i) e) j) a) de Suelen aparecer al calcular ites de cocientes de polinomios o cocientes donde pueden aparecer radicales. Se resuelven dividiendo entre la mayor potencia de. f) k) b) 4 g) 6 ( ) ( )( ) 7 l) 4 c) 6 4 h) m) 6 Indeterminación de tipo Suelen aparecer al calcular ites de funciones con diferencia de radicales (se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado) o diferencia de cocientes de polinomios (se resuelve realizando la diferencia de los cocientes). Ejercicio 5: Resuelve: a) 5 4 b) ( ) c) ( 4 ) d) e) ( ) 6

7 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra =? 4. ASÍNTOTAS. Las asíntotas son rectas a las que se aproiman algunas ramas de una función. En el cálculo de las asíntotas es tan importante hallar su ecuación como estudiar la posición de la gráfica respecto de la asíntota. Posición de la gráfica respecto de la Asíntota Definición asíntota Se estudia: f () y f () Vertical Recta = a tal que f () = ± Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo: (La gráfica de una función no puede cruzar la asíntota vertical, ya que si discontinua en este valor) Horizontal Recta y = k tal que lim = k ± Una recta puede ser asíntota horizontal cuando Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales, una cuando Oblicua En la práctica, para determinar el signo de los ites laterales podemos dar valores muy muy próimos al punto. = tg = a es una A. V., la función es En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, damos valores muy muy grandes y muy muy pequeños a., o viceversa. y otra cuando y, sin embargo, no serlo cuando (La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal) Ejemplo: = Recta y = m n tal que m y En la práctica para determinar la situación de las ramas asíntóticas, m = ; n = [ m] damos valores muy muy grandes y muy ± ± muy pequeños a. y, sin embargo, no serlo cuando, o viceversa. y otra cuando Una recta puede ser asíntota oblicua cuando Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas, una cuando (La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua) Ejemplo : Estudia si la función = tiene asíntotas. Resolvemos la ecuación = = ; =. (Las asíntotas verticales pueden ser: = y = ) = ( ) = = es Si = f ( ) < = A.V. Si = 99 f ( 99) > = =? f = Si = 99 f ( 99) < = ) = = es A.V. Si = f ( ) > = ( Ahora estudiamos si tiene asíntotas horizontales. = y = es A.H. Si = f () > = y = es A.H. Si = f ( ) < 7

8 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejemplo : Estudia si la función ( ) = ( ) = m = eiste A.O. y = [ ] = Si es A.O. f tiene asíntotas oblicuas. = f ( ) < = m = eiste A.O. y = [ ] = Si = f ( ) < es A.O. Ejercicio 6: Halla las asíntotas verticales de las funciones: a) = log( 6) b) g ( ) = Ejercicio 7: Estudia si la función = tiene asíntotas horizontales. Ejercicio 8: Calcula las asíntotas oblicuas de la función = Ejercicio 9: Calcula las asíntotas de la función = 4 5. CONTINUIDAD. 5. Continuidad de una función en un punto. Una función f () es continua en un punto = a si se cumple que: º. Eiste f (a) º. Eiste f () º. f ( a) = Si una función no es continua en un punto, decimos que la función presenta una discontinuidad en ese punto. 5 Ejercicio : Comprueba si la función = es continua en = y =. 5..-Tipos de discontinuidad. Se produce cuando eiste f (), Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto finito pero ocurre una de estas condiciones: No coincide con f (a) La función no está definida en el punto. Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua asignando al valor de la función el valor del ite: f ( a) = Se produce cuando no eiste f (), porque los ites laterales no coinciden. La discontinuidad de salto finito es frecuente en las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que la función cambia su epresión algebraica. 8

9 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Discontinuidad de salto infinito Uno o los dos ites laterales son infinito. f () = o f () = 5.. Propiedades de la continuidad. Si las funciones f () y g () son continuas en = a, entonces las siguientes funciones son continuas en = a : a) ± g( ) b) k f () siendo k IR c) g( ) d) g( ) siempre que g ( a) Además, siempre que g () sea continua en f (a) : e) ( g o f )( ) = g( ) es continua en = a. Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definición:. Las funciones polinómicas son continuas en todo IR.. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador.. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no eisten en los valores que hacen el radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo IR. 4. Las funciones eponenciales son continuas en todo IR. 5. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la epresión de la que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. 6. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es = tg, que π no eiste en = kπ. Ejercicio : Estudia la continuidad de a) = 5 > < b) = c) = = d) 4 5 > = Ejercicio : Justifica si las siguientes funciones son continuas: a) = cos b) = e c) = 4ln Ejercicio : Estudia la continuidad de f ) = ( > 5.4. Continuidad en un intervalo. Continuidad en un intervalo abierto. Una función () los puntos del intervalo. f es continua en el intervalo abierto (, b) a si la función es continua en todos 9

10 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Continuidad lateral. Una función f () es continua por la izquierda en = a si el ite lateral por la izquierda y el valor de la función en a son iguales. Es decir, = f ( a) Una función f () es continua por la derecha en = a si el ite lateral por la derecha y el valor de la función en a son iguales. Es decir, = f ( a) Continuidad en un intervalo cerrado. Una función f () es continua en el intervalo cerrado [ a, b] si la función es continua en el a, b y es continua en b por la izquierda y en a por la derecha. intervalo abierto ( ) Ejercicio 4: Estudia la continuidad de = 6 Ejercicio 5: Dada la función Ejercicio 6: Dada la función a si = Para que valores de a es continua? si > a si =, estudia la continuidad. si = Ejercicio 7: Determina los puntos de intersección de la curva = con las asíntotas. Ejercicio 8: Halla las asíntotas de ellas. = y sitúa la gráfica de la función respecto a Ejercicio 9: Determina el valor del parámetro a para que se verifique ( a ) = Ejercicio : Determina los valores de a y b para que la función siguiente resulte continua en todos los puntos: a b si < = a si < a b si a b Ejercicio : De la función = con a, b IR, sabemos que pasa por el punto a (, ) y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6. a) Determina los valores a y b de la función. b) Determina, si eisten, las asíntotas verticales de dicha función.

11 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra 6. LA DERIVADA 6.. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f () en un f ( b) f ( a) intervalo [ a, b] es el cociente: T. V. M. ([ a, b] ) = b a La T.V.M. de la función f () en el intervalo [ a, b] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos ( a, f ( a) ) y ( b, f ( b) ). Con frecuencia, en la T.V.M. se considera el intervalo f ( a h) f ( a) Variación de f ( = a, a h, donde h indica su longitud. h Variación de [ ] 6.. Derivada de una función en un punto. La derivada de la función f () en un punto de abscisa a es el valor del ite, si eiste y es finito: f ( a) f ( a) = a Si en esta definición hacemos = a h, la fórmula es equivalente a f ( a h) f ( a) f ( a) = h h Ejercicio : Calcula la derivada de la función = 4 5 en =. Comprueba que las dos fórmulas anteriores son equivalentes. Geométricamente, la derivada f (a) de una función en = a coincide con la pendiente de la P a, f ( a) recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( ) ([ a, a h] ) T. V. M. = Pendiente de la recta que pasa por P ( a, f ( a) ) y Q a h, f ( a h) ( ) ) 6. Recta tangente y normal f (a) h Q se acerca a P Pendiente de la recta tangente a f () en el punto P a, f ( a) ( ) Recta tangente a la gráfica de la función P a, f ( a) : en el punto ( ) y f Recta normal a la gráfica de la función en el punto P ( a, f ( a) ) : y f ( a) = a f ( a) ( a) = f ( a) ( a) ( )

12 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejemplo: Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función = en el punto =.. Calculamos (, f ()) f P (, ) P : Si = () = f ( h) f () h. f ()? = = h = f ( ) = h h h h h Ecuación de la recta tangente : y = ( ) y = Ecuación de la recta normal : Como f () = no podemos aplicar la fórmula para hallar la. ecuación de la recta normal.en este caso, la recta tangente es paralela al eje X, por tanto, la recta normal será paralela al ejey.su ecuación es =. 6.4 Derivadas laterales. Como la derivada de una función en un punto se define mediante un ite, para asegurar su eistencia (siempre que la función sea continua en dicho punto), deben eistir los ites laterales y han de ser finitos e iguales. Derivada por la izquierda de f () en = a Derivada por la derecha de f () en = a f ( a h) f ( a) f ( a h) f ( a) f ( a ) = f ( a ) = h h h h 6.5 Función derivable en un intervalo cerrado. Una función () a b derivada por la derecha en f es derivable en [, ] si es derivable en ( a b) Función derivada. La función derivada de una función f () es una nueva función, f (), que asocia a cada punto la derivada de f () en ese punto. = a, f ( a ), y por la izquierda en = b, f ( b ). f : IR IR, y eiste y es finita la f ( h) f ( ) = h h [No se debe confundir la derivada de una función en un punto con la función derivada: la primera es un número real, mientras que la segunda es una función. Es habitual hablar de derivada para referirnos a la función derivada.] Ejercicio : Halla, mediante la definición, la función derivada de la función Cuál es el valor de f () y f ()? ( ) 8 f =. 6.6 Derivadas sucesivas Si derivamos la función derivada f (), obtenemos otra función que llamamos derivada segunda de f () : f (). Análogamente, podemos determinar las derivadas tercera, f (), cuarta, f IV (), quinta, f V (), 7. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD f () es derivable en = a f () es continua en = a En la práctica se utiliza su contrarrecíproco: Una función que no es continua en un punto, no puede ser derivable en él. Veamos unos ejemplos.

13 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra f Función Estudio Gráfica ) = 4 ( f ) = ( si No es continua en =, por tanto, no es derivable si > en dicho punto. < No es continua en =, por tanto, no es derivable en dicho punto. Es fundamental estudiar la continuidad antes que la derivabilidad. Lo primero que tenemos que hacer para comprobar que una función es derivable en un punto es asegurarnos de que es continua en ese punto. Si la función no es continua en un punto, tampoco es derivable. f ) = ( 4 si si > Es continua en = y no es derivable en ese valor. (Observamos que para = se dibujan dos rectas tangentes distintas) Una función puede ser continua en un punto y, sin embargo, no ser derivable en él. EN GENERAL, la característica de las gráficas que son derivables son curvas continuas que no tienen picos. Esto es cierto siempre y cuando eista el ite que define la derivada y éste sea finito. Ejemplo: Estudia la derivabilidad de la función = es continua en = f ( h) f () = h h h no eiste f (). " " = h h h h = en = =. La gráfica de la función = en = no tiene un pico; sin embargo, no es derivable en =. La pendiente de la recta tangente es, es decir, la tangente es la recta vertical =. Ejercicio 4: Es derivable la función en =? f 4 ) = 4 ( si < si Ejercicio 5: Es derivable la función =? si < = = en si

14 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Las funciones algebraicas y trascendentes, definidas por una sola fórmula, son derivables en los puntos de su dominio, ecepto en aquellos valores donde la tangente es vertical. La mayoría de las funciones que no son derivables en algún valor son construidas artificialmente a trozos. Los valores conflictivos se encuentran en los puntos de empalme de los trozos que definen la función. 8. CÁLCULO DE DERIVADAS. Para hallar la derivada de funciones simples no es necesario utilizar la definición, pues eisten reglas que facilitan su cálculo. Y para hallar la derivada de funciones compuestas se utiliza la regla de la cadena [( g o f ) ( ) = g ( ) f ( ) ] REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES 4

15 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 6: Deriva las siguientes funciones: = ) = 4) = 5 = 6 6) = ) = 8 6 8) = = 7 ) = 9 ) = ln( ) ) = ln = ln( 8 4) = ln(8 sen) 5) = cos( ) 6) = 4 4 = 8) = 9) = ( ) ) = ( ) 8 = e ) = 4 ) = ( ) 5 4) = sen(5 ) ) = 7 ) 5) 8 9) ) ) 7) ) f 6) = tg(4 8) 7) = tg 8) = arcsen(5 ) sen( ) sen = arctg(ln ) = 5 ) = tg(6 8) ) = e = 4) e = sen( tg) 5 5) = cos 6) = tg ( ) 4 5) ( ) = cos ( ) 9) ) ) 7) = arcsen(5 ) 8) ln( sen) 5 = 9) ( ) = sen 4 f 4) cos = Ejemplo : Estudia si es derivable en = la función si = 4 5 si >. Continuidad de la función..derivabilidad f ( ) = f ( ) = = = = = ln ( 4 5) = si < f ( ) =. 4 si > f ( ) = ( 4) ln = ln = = f ( ) f () = f ( ) La función es continua en = No eiste f () La función no es derivable en = Ejemplo : Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función a b si = sea derivable en =. b si > f ( ) = a b. Continuidad ( = a b ) = a b a b = b de la función. a b = b = ( b ) = b = = = b a a b b ( a b) a b a b si = = <. Derivabilidad. f ( ) si = a b b > f ( ) = b = b 5

16 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra 9. REGLA DE L HÔPITAL. La regla de L Hôpital se utiliza para resolver las indeterminaciones del tipo Sean dos funciones f () y g () derivables en un entorno de a. f ( ) Si =, g( ) = y eiste, entonces eiste a g ( ) g( ) = f ( ) a g ( ) La regla de L Hôpital es válida si a es un número real, o. g( ) y su valor es Además, se puede utilizar en cualquier tipo de indeterminación,. O O haciendo transformaciones en el ite hasta obtener una indeterminación del tipo Aplicación de la regla de L Hôpital en la indeterminación La regla de L Hôpital también se puede aplicar si = a g( ) ln a) b) ln ln sen Aplicación de la regla de L Hôpital en la indeterminación Se escribe el ite de forma que aparezca una indeterminación o. Si = y g() = a) [ ( ) ln ( ) ] b) ln sen ( g( ) ) = g( ) ó g( ) ( g( ) ) = Aplicación de la regla de L Hôpital en la indeterminación g( ) Si f () = y g() =, entonces ( g( ) ) = g( ) a) sen b) ln 6

17 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 7: Calcula estos ites a) 4 b) 4 sen c). MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS.. Monotonía. Una función f es creciente en un intervalo ( a, b) si para cualquier par de números, del intervalo ( a b) <, tal que implica que f ) < f ( ) ( Una función f es decreciente en un intervalo ( a, b) si para cualquier par de números, del intervalo ( a b) <, tal que implica que f ) > f ( ) ( Ejemplo Criterio para funciones crecientes o decrecientes f ( ) > f () creciente en = f ( ) < f () decreciente en = Es creciente en (, ) y en (, 7). Es decreciente en (, ) y en (, ) 7. Recta tangente en a la gráfica tiene pendiente positiva Recta tangente en a la gráfica tiene pendiente negativa. Máimos y mínimos relativos. f presenta un máimo relativo en si, en ese punto, la función pasa de ser creciente a decreciente, y un mínimo relativo si pasa de ser decreciente a creciente. [ f presenta un máimo absoluto en si es el mayor de los máimos relativos, y un mínimo absoluto si es el menor de los mínimos relativos ] Si el punto ( f ( )), es un punto máimo o mínimo relativo de la gráfica de f (), entonces f ( ) =, o bien f () no es derivable en =. 7

18 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Procedimiento Ejemplo: = 6 D ( f ) = IR º. Hallamos discontinuidades No hay º. Hallamos f () f ( ) = º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los puntos críticos de la función (puntos donde la derivada se anula) [ f ( ) = =, = ] 4º. Escribimos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 5º. Estudiamos máimos y/o mínimos relativos. La gráfica de (). La gráfica de () Crec. a la izqda. de Criterio f ( ) = 6 = y decrec. a la f ( ) = y f ( ) < f ( ) = y f ( ) > drch. = má. Decrec. a la izqda. de f tiene un má. en = f tiene un mín en = = y crec. a la drch. = mín. f ( ) = y f ( ) < f ( ) = y f ( ) > f es creciente en (, ) y (, ) f es decreciente en (, ). 6º. Calculamos las coordenadas de los máimos y mínimos. (, 8) (, 44) f ( ) = 8 P má. de la gráfica f ( ) = 44 Q mín. de la gráfica Efectivamente. PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CURVATURA.. Curvatura. Concavidad Conveidad Punto de infleión La gráfica de f () es cóncava,, porque está por debajo de las a, b en ( a b) tangentes en ( ) f ( ) < f () cóncava en = La gráfica de f () es convea en ( a b),, porque está por encima de las a, b tangentes en ( ) f ( ) > f () convea en = La gráfica de f () pasa en = de convea a cóncava y la tangente atraviesa la gráfica.. Puntos de infleión. Una función f presenta un punto de infleión en si, en ese punto, dicha función pasa de ser convea a cóncava, o viceversa. 8

19 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Si el punto ( f ( )), es un punto de infleión de la gráfica de f (),entonces f ( ) =, o bien f () no es derivable en =. Procedimiento Ejemplo: = 6 D ( f ) = IR º. Hallamos discontinuidades. No hay º. Hallamos f (). f ( ) = f ( ) = 6 º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los ceros de su segunda derivada. [ f ( ) = = ] 4º. Escribimos los La gráfica de f () es cóncava ( ) en,. intervalos de concavidad y conveidad. La gráfica de f () es convea ( ) en,. Criterio f ( ) = f () cóncava a la izqda. de f ( ) = y f ( ) 5º. Estudiamos puntos y convea a la drch. f () tiene un punto de infleión de infleión. en = = punto de infleión. f ( ) = y f ( ) 6º. Calculamos las 7 coordenadas de los puntos f ( ) = 7 A, de infleión. es un punto de infleión.. PUNTO DE INFLEXIÓN, MÁXIMO O MÍNIMO? Cuando se anulan las dos primeras derivadas en un punto, para decidir si en hay un punto de infleión, un máimo o un mínimo tenemos que analizar la primera derivada NO NULA en dicho punto. Si esta derivada es de orden par: ) f n ( ) < en se alcanza un máimo. ) f n ( ) > en se alcanza un mínimo. ) Si es de orden impar: f n ( ) en hay un punto de infleión. Ejercicio 8: Calcula los máimos, mínimos y puntos de infleión de f ( ) = 9

20 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejemplos: = 4 f ( ) = 4 f ( ) = f ( ) = 4 f IV ( ) = 4 f ( ) = = Posible máimo o mínimo. f ( ) = = Posible punto de infleión. f ( ) = IV f ( ) > en = se alcanza un mínimo. = 5 f ( ) = 5 4 f ( ) = f ( ) = 6 f IV ( ) = f V ( ) = f ( ) = = Posible máimo o mínimo. f ( ) = = Posible punto de infleión. f ( ) = IV f ( ) = V f ( ) en = hay un punto de infleión.. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. Optimizar un proceso es conseguir que una magnitud sea lo mayor o lo menor posible sujeta a unas condiciones. Para ello, es preciso encontrar el máimo o mínimo de una función. Hay muchos ejemplos de estos tipos de problemas en la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, la población y la medicina: encontrar el máimo beneficio, minimizar el coste, hallar la máima distancia, determinar el máimo voltaje, hallar la máima resistencia, Procedimiento: a) Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible. b) Se escribe la función que se desea maimizar o minimizar y las condiciones del problema, que serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos. c) Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas. d) Se calculan los máimos y los mínimos de esta función. e) Se interpretan los resultados y se rechazan aquellos que no sean posibles por las condiciones o la naturaleza del problema. Ejercicio 9: El consumo de un barco que navega a una velocidad de nudos viene dado por 45 C( ) =. Calcula la velocidad que es más económica y su consumo. 6 Ejercicio : De todos los triángulos rectángulos de 5 m de hipotenusa, halla el que tiene área máima. 4.-ANÁLISIS DE FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS. Finalidades: Dada la fórmula de una función, analizarla estudiando todas sus características. Dada la fórmula de una función, saber representarla gráficamente. [ No hace falta decir que para representar una función no es necesario analizarla totalmente estudiando todas sus características; a veces, con hallar las asíntotas, la posición de la gráfica respecto de ellas y los máimos y mínimos relativos se puede hacer un esbozo bastante completo de la misma ]

21 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Propiedades de f obtenidas directamente Dominio de la función. Recorrido o imagen de la función. Puntos de discontinuidad f ( a) Simetrías. a) Función par. b) Función impar. Caracterización Valores que puede tomar Valores que puede tomar y o Función par: Simétrica respecto del eje Y Función impar: Simétrica respecto del origen de coordenadas Periodicidad. f ( T ) = T período mínimo Puntos de corte con los ejes: a) Corte con el eje X Ninguno, uno o más puntos b) Corte con el eje Y Ninguno o un punto Regiones de eistencia de la función: a) Intervalos de positividad. b) Intervalos de negatividad. Asíntotas: a) Asíntotas verticales: c = b) Asíntotas horizontales: y = k c) Asíntotas oblicuas: y = m n Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas Monotonía: a) Intervalos de crecimiento b) Intervalos de decrecimiento c) Mínimos y/o Máimos Curvatura: a) Intervalos de concavidad ( ). b) Intervalos de conveidad ( ). c) Puntos de infleión. Son los puntos de la forma (, ) Es el punto de la forma (, ()) > Gráfica por encima del eje X. < Gráfica por debajo del eje X. f () = ± c = k ± [hay que resolver la ecuación = ] f [si f () está definida en = ] [ c = a, a, a ] m= ; n= [ m] ± ± f > f < Caracterización [Las regiones están separadas por las abscisas de los puntos de corte del eje X y por las discontinuidades] f ( ) = y f ( ) > En = se alcanza un mínimo f ( ) = y f ( ) < En = se alcanza un máimo f < f > f ( ) = y f ( ) En = hay un punto de infleión

22 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones polinómicas Modelo: ( f ) = = 4 4 Dom IR Es continua en IR Es una función par simétrica respecto del eje Y No es periódica Corte con los ejes: No tiene asíntotas Monotonía: Curvatura: Eje X : (, ) Eje Y : O (, ) El dominio es IR. Son continuas y derivables en todo IR. Son simétricas respecto del eje Y, si sólo tienen términos de grado par, y simétricas respecto del origen, si sólo tienen términos de grado impar. No son periódicas. No tienen asíntotas de ningún tipo. O ; A (, ) ; B (, ) Creciente: (, ) U (, ) Decreciente: (, ) I (, ) Mínimo relativo: O (, ) ; C (, 4) y D (, 4) Cóncava ( ): Convea ( ):, U, Puntos de infleión: F, 9 Máimos relativos:, E, ; 9 Im ( f ) = (, 4]

23 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones racionales No están definidas en los puntos que anulan el denominador. En estos puntos eisten asíntotas verticales. Modelo: = Dom ( f ) = (, ) U (,) U (, ) Es continua en IR { ±} (discontinuidades de salto infinito) Es una función impar simétrica respecto del origen O (, ) No es periódica Corte con los ejes: Asíntotas: Monotonía: Curvatura: Eje X : O (, ) Eje Y : O (, ) Verticales: =, = Horizontales: no tiene Oblicuas: y = Creciente: (, ) U (, ) Decreciente: (, ) I (,) U (, ) Mínimo relativos: A relativo: B, Cóncava ( ): (, ) U (,) Convea ( ): (, ) U (, ) Puntos de infleión: O (, ), ;Máimos Im ( f ) = IR Funciones irracionales Las funciones con radicales cuyo índice es par sólo están definidas para números reales mayores o iguales que. Modelo: = 4 Dom ( f ) = (, ] U [, ) Es una función par simétrica respecto del eje Y. No es periódica Corte con los Eje X : A (, ) ; B (, ) ejes: Eje Y : no lo corta Verticales: no tiene Asíntotas: Horizontales: no tiene Oblicuas: y = ; y = Monotonía: Curvatura: Creciente: (, ) Decreciente: (, ) Mínimo relativo: no tiene; Máimos relativos: no tiene Cóncava ( ): (, ) U (, ) Convea ( ): φ Puntos de infleión: no tiene Im ( f ) = [, )

24 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones eponenciales El dominio de las funciones eponenciales coincide con el dominio del eponente de la función. = e Modelo: ( ) Dom ( f ) = IR Es continua IR No es simétrica No es periódica Corte con los ejes: Asíntotas: Monotonía: Curvatura: Eje X : A (, ) Eje Y : B (, ) Verticales: no tiene Horizontales: y =, pero sólo por la izquierda Oblicuas: no tiene Creciente: (,) Decreciente: (, ) Mínimo relativo: no tiene; Máimos relativos: C, e ( ) Cóncava ( ): (, ) Convea ( ): (, ) Puntos de infleión: B (, ) Im ( f ) = (, e] Funciones logarítmicas Al calcular el dominio de las funciones logarítmicas hay que tener en cuenta que los logaritmos sólo están definidos para números positivos. Modelo: = ln ( ) Dom ( f ) = (, ) U (, ) Es una función par simétrica respecto al eje Y. No es periódica Corte con los Eje X : A (, ) ; B (, ) ejes: Eje Y : no lo corta Verticales: =, = Asíntotas: Horizontales: no tiene Oblicuas: no tiene Creciente: (, ) Monotonía: Decreciente: (, ) Mínimo relativo: no tiene; Máimos relativos: no tiene Cóncava ( ): (, ) U (, ) Curvatura: Convea ( ): φ Puntos de infleión: no tiene Im ( f ) = IR 4

25 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Funciones trigonométricas Modelo: = sen Dom ( f ) = IR Es continua IR Es una función impar simétrica respecto del origen O (, ) Es periódica de período π Corte con los ejes: Eje X : (, ) O ; Eje Y : O (, ) π A, No tiene asíntotas π π Creciente:, U, π 4 4 π π Decreciente:, 4 4 Monotonía: π Mínimo relativo: C, ; Máimos 4 π relativos: D, 4 Curvatura: Cóncava ( ): Convea ( ):, π π, π Puntos de infleión: (, ) O ; π A, Im ( f ) = [, ] 5. EJEMPLOS DE ANÁLISIS GRÁFICOS DE FUNCIONES. Considera una función cuya representación gráfica en el intervalo (, ) es la siguiente: Haz un esbozo de la gráfica de la derivada de esta función. 5

26 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Epresión de los resultados en Características gráficas términos de la derivada f () es creciente en (, ) y en (, ) f ( ) > en (, ) y en (, ) f () es decreciente en (, ) y en (, ) f ( ) < en (, ) y en (, ) f () alcanza los máimos en los puntos de abscisa f () tiene puntos de corte con los = y = ejes en los puntos de abscisa = ; f () alcanza un mínimo en = = y = f () es cóncava en (, ) y en (, ) f () es convea en (, ) f () tiene un mínimo en = f () tiene dos puntos de infleión en los puntos de f () tiene un máimo en = abscisa = y = CONCLUSIÓN: Dada la gráfica de h (), deduce la monotonía y etremos relativos de h (), así como la curvatura y sus puntos de infleión, eplicando cómo los haces. Características gráficas Puntos donde h () cambia su monotonía. h ( ) > h ( ) < h ( ) > h ( ) < Puntos donde h () cambia su curvatura. Epresión de los resultados en términos de la función h () es creciente en (, ) U ( 6, 7) U ( 7, ) h () es decreciente en (, ) U (, 6) h () alcanza un máimo en = h () alcanza dos mínimos, en = y = 6 h () es cóncava ( ) en (, 4) U ( 7, ) h () es convea ( ) en, U 4, 7 ( ) ( ) h () tiene dos puntos de infleión, en = y = 4 [Como h (7) no eiste, h () no tiene un punto de infleión en = 7, aunque cambia su curvatura] 6

27 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra SELECTIVIDAD 6 Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 7

28 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio Ejercicio Ejercicio SELECTIVIDAD 5 Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 8

29 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 SELECTIVIDAD 4 Ejercicio 5 9

30 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio

31 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 SELECTIVIDAD Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 4 Ejercicio 4 Ejercicio 4

32 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 4 Ejercicio 44 Ejercicio 45 Ejercicio 46 Ejercicio 47 Ejercicio 48 SELECTIVIDAD Ejercicio 49

33 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 5 Ejercicio 5 Ejercicio 5 Ejercicio 5 Ejercicio 54 Ejercicio 55 Ejercicio 56

34 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 57 Ejercicio 58 Ejercicio 59 Ejercicio 6 SELECTIVIDAD Ejercicio 6 Ejercicio 6 Ejercicio 6 4

35 Apuntes de Análisis Curso 7/8 Esther Madera Lastra Ejercicio 64 Ejercicio 65 Ejercicio 66 Ejercicio 67 Ejercicio 68 Ejercicio 69 Ejercicio 7 Ejercicio 7 Ejercicio 7 5