Funciones, límites y continuidad

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1 8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido. Pág. 194 ) Puntos de corte con los ejes. Pág. 64 (tema 10) 3) Simetría. Pág. 65 (tema 10) 4) Tipos de funciones. Pág. 196 y tema 10 5) Operaciones de funciones. Pág ) Límites de una función en un punto. Pág 00 7) Límites en el infinito. Pág 0 8) Cálculo de límites. Tabla de Indeterminación. Pág. 04 9) Técnicas del cálculo de indeterminaciones ( - ; 0/0;1 e ) 10) Continuidad/discontinuidad Pág 06 11) Asíntotas. Pág. 08 1) Estudio completo de gráficas 1

2 8/0/016 1) Concepto de función. Dominio y recorrido. Pág. 194 En matemática, una función f() es una relación entre dos magnitudes e y, de forma que a cada elemento le corresponde un único elemento y=f(). La 1º magnitud:. Se llama variable independiente La º magnitud: y=f(). Se llama variable dependiente o imagen de Se llama dominio de la función y lo representamos por D(f()) o dom(f()), al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente Se llama imagen o recorrido de la función y lo representamos Img(f()) o R(f()), al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y Gráfica de una función : es el conjunto formado por todos los puntos (, f()) de la función f() f ( ) f (0 ) 0 f (1) 1 f ( f ( ) f ( 1) ) C(0,0 ) B(1,1) A( 1,1) D(,4 ) E(.4 )

3 8/0/016 Calculo de dominio de tipos de funciones 1) Funciones polinómicas: Su dominio son todos los números reales P( ) ) Funciones racionales f ( ) Q( ) Su dominio son todos los números reales, ecepto los valores de que anulan el denominador. Dom f ( ) R { que cumplen queq() 0} NOTA: los valores de, que anulan el denominador son las asíntotas verticales de la función Dom f ( ) R 3) Funciones radicales f ( ) n P( ) con n nº par Su dominio son todos los valores de que hacen que P() sea mayor o igual a 0. Dom f ( ) { que cumplen que P() 0} 4) Funciones logarítmicas; f ( ) log( P( )) Su dominio son todos los valores de que hacen que P() sea mayor que 0. Dom f ( ) { que cumplen que P() 0} Obtener el domino de las siguientes funciones racionales 3

4 8/0/016 Obtener el domino de las siguientes funciones logarítmicas o radicales 4

5 8/0/016 D = 0, + el denominador no puede anularse. tiene que eliminar el valor o valores que anulen el denomidamos. Ese valor es = 0 D 1 = 1, 1 D f = 0, + 0 = = 0, + D 1 =, 1 1, + D f = 1, 1 5

6 8/0/016 f ( ) P( ) 9 (3 )(3 ) D( 9 ) 3,3 D( f ) 3,3 0 f ( ) 1 g( ) 4 f ( ) g( ) 1 4 D( 4 ),4 D( 1) 1, 1,,4 1,4 D[ f ( ) g( )] 6

7 8/0/016 1) Puntos de corte con los ejes. Pág. 64 (tema 10) Con el eje X( eje de abscisas) 1º paso: sustituir y=f()=0 º paso: despejar Los puntos (si eisten) son de la forma ( a, 0) tq ar Con el eje Y( eje de ordenadas) 1º paso: sustituir =0 º paso: despejar y El punto (si eiste) es de la forma (0, a) tq ar Puntos de corte de las siguientes funciones 7

8 8/0/016 3) Simetría. Pág. 65 (tema 10) Si f(- )=f() la función tiene simetría par o simetría respecto del eje Y Si f(- )= - f() la función tiene simetría impar o simetría respecto del punto (0,0) Indica si eiste algún tipo de simetría en las siguientes funciones 8

9 8/0/016 Funciones polinómicas 1 º grado( Función lineal) La función polinómica de primer grado o función lineal tiene esta forma f()= y = m + n Su gráfica es una recta de pendiente m y que pasa por el punto (0,n). La n se llama ordenada en el origen. 9

10 8/0/016 10

11 8/0/016 Funciones trasladadas 11

12 8/0/016 Funciones lineales conocida su gráfica Funciones polinómicas º grado( Función cuadráticas) Las funciones cuadráticas son de la forma Sus gráficas son parábolas. Si El vértice ser calcula : ( La parábola se abre hacia arriba Su vértice (mínimo absoluto) La parábola se abre hacia abajo Su vértice (máimo absoluto ) Las parábolas son funciones simétricas respecto a la recta vertical Punto de corte con el eje Y (0, c) Punto o puntos de corte con el eje X (, 0) donde es la solución de la ecuación a +b+c=0 1

13 8/0/016 Funciones cuadrática conocida su gráfica 13

14 8/0/016 Funciones polinómicas grado mayor que Esboza la grafica de la siguiente función polinómica f ( ) 3 3 1) Dominio ) Puntos de corte con los ejes de coordenadas 3) Signo de la función Construir un cuadro con los factores de la función 4) Simetría 14

15 8/0/016 Funciones eponenciales Las funciones eponenciales sirven para describir fenómenos como: El crecimiento de la población humana o variación de un capital a un interés compuesto, etc. 15

16 8/0/016 16

17 8/0/016 Funciones trigonométricas f ()= sen 17

18 8/0/016 f ()= cos f ()= tg 18

19 8/0/016 Límites Se quiere estudiar el comportamiento de una función cuando la variable toma valores aproimados a un número real dada Ejemplo ( como se comporta la función cuando tiende a ) f = 1,9 1,99 1,999 X por la izq. f() lim -,1,01,001 X por la derech. f() lim Límites de una función en un punto 19

20 8/0/016 Ejemplo ( como se comporta la función cuando tiende a 0) f = 1-0,1-0,01-0,001 X 0 por la izq. f() lim ,1 0,01 0,001 X 0 por la derech. f() lim 1 0 0

21 8/0/016 Se quiere estudiar el comportamiento de una función cuando la variable toma valores cada vez mayores o valores cada vez menores Ejemplo ( como se comporta la función cuando tiende a números muy grandes o muy pequeños ) f = X por la izq. f() lim X - por la derech. f() lim - Límites de una función en el infinito 1

22 8/0/016 Cálculo de límites En el anterior apartado, se ha calculado el valor de distintos límites de funciones utilizando una tabla de valores 1. En un punto dando a la variable independiente valores próimos a ese punto (por la derecha o por la izquierda). En el infinito dando a la variable independiente valores cada vez más grandes o más pequeños. En muchos casos no es necesario utilizar este proceso, no siempre proporciona el valor del límite de forma rápida y segura.

23 8/0/016 Eiste una manera más fácil para calcular límites. Se sustituye en cada caso la variable por el valor hacia el que tiende lim lim 3 3 Límites determinados lim Límite indeterminado Este método nos puede llevar a límites indeterminados (estos límites necesitan más cálculo para determinarlos) Propiedades de limites 3

24 8/0/016 Indeterminaciones 4

25 8/0/016 Cálculo de indeterminaciones Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (numerador y denominador polinomios) 1) Descomponer el numerador y el denominador ) Simplificar Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (numerador y/0 denominador tienen raíces ) 1) conjugado ) Simplificar 0 0 lim lim 0 ( 0 lim ) 1 0 lim Cálculo de indeterminaciones Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos; 1) Dividir numerador y denominador por la potencia de base de mayor eponente ) Simplificar lim 1 1 lim 0 lim lim

26 8/0/016 Cálculo de indeterminaciones siendo número Se elimina esta indeterminación realizando un paso; 1) Cálculo de la tabla de valores por la izquierda y la derecha lim 0 a 0 a un 4 - lim 4 lim - Se elimina esta indeterminación realizando estos pasos (tienen raíces ) 1) conjugado ) Simplificar 6

27 8/0/016 Funciones valor absoluto f ( ) 1 1 si 1 1 si 1 7

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