Tema 5: Funciones. Límites de funciones

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1 Tema 5: Funciones. Límites de funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación o relación entre dos magnitudes (por ejemplo, el espacio que recorre un móvil depende de su velocidad). 1. Funciones reales de variable real 1.1 Definición: una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. Una función real de variable real f es una aplicación entre un subconjunto D R, no vacío, llamado dominio, y el conjunto de los números reales R. La escribiremos así: f: D R y = f() Se trata de una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente del dominio le corresponde un único valor y R, que es la variable dependiente, a la que llamaremos imagen de, y = f(). También diremos que es la antiimagen o imagen inversa de y. A continuación, definimos dominio, imagen y gráfica de una función: El dominio D está formada por el conjunto de los números reales que tienen imagen. Más adelante, aprenderemos a calcular el dominio de cada tipo de función. D = Dom(f) = { R/ y = f()} La imagen o recorrido de una función es el conjunto de todas las imágenes. Im(f) = {y R/ D, y = f()} La gráfica/ grafo de una función f es el conjunto de pares ordenados (, y) tales que y = f() con D. y lo escribiremos G(f). La representación en el plano es la gráfica de la función. También es conocido que una función puede epresarse de varias maneras, mediante su epresión algebraica, mediante la gráfica o a través de una tabla de valores. Ejemplo 1 Un móvil que se desplaza a velocidad constante de 9 Km/h recorre un espacio que depende del tiempo que está circulando. Podemos epresar una relación entre las variables tiempo (: horas) y espacio (y: kilómetros) mediante la función lineal afín: y = f() = 9 (Espacio igual a velocidad por tiempo). La fórmula y = 9 es la epresión algebraica de la función. Mediante ella es posible conocer para cada valor del tiempo, el espacio recorrido y al revés. Es claro que los valores que puede tomar el tiempo deben ser no negativos; por eso el dominio de esta función será el intervalo D = Dom(f) = [, +). Una tabla para la función estará formada por ciertos valores y sus imágenes y respectivas: variable independiente tiempo (abscisa) 1 1,5 3 y = f() variable dependiente espacio (ordenada)

2 La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Un punto pertenece a la gráfica de f si y solo si su ordenada es la imagen de su abscisa. La función recorre el conjunto de reales positivos con lo que Im(f) = [, +) Si queremos saber al cabo de cuánto tiempo llevará recorridos 198 Km bastará sustituir y = 198 en la epresión de la función: 198 = 9 =, horas = h 1 min. Principales funciones elementales A continuación, vamos a recordar algunas de las funciones elementales estudiadas en cursos anteriores: Función constante: Función constante y = k Funciones afines: Son las funciones polinómicas de primer grado y su epresión es del tipo f() = m + n. En el caso de que n =, entonces la epresión es f() = m y se llama función lineal afín. El valor m se denomina pendiente y el valor n se conoce como ordenada en el origen. La gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (, n) Características: 1. Dom(f) = R. Si n =, la función f() = m pasa por el origen de coordenadas (, ). 3. El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta (indica lo que aumenta el valor de la variable y cuando la variable aumenta una unidad) o m > f() es una función creciente. o m < f() es una función decreciente.

3 Funciones cuadráticas o parábolas: son las funciones polinómicas de segundo grado y su epresión es del tipo f() = a + b + c, a. Función cuadrática y = a + b + c Características: 1. Dom(f) = R. La gráfica es una parábola de vértice V = ( b, f ( b )) a a 3. El valor del coeficiente a determina la forma de la parábola: o a > f() es cóncava ( ). El vértice es un mínimo de la función. o a < f() es convea ( ). El vértice es un máimo de la función. o En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerradas serán las ramas de la parábola. 4. La parábola corta al eje Y en el punto (, c) y al eje X en los puntos A = ( 1, ), B = (, ) siendo 1, las soluciones de la ecuación a + b + c =. Las funciones anteriores son polinómicas, tienen por epresión algebraica un polinomio de grado n: y = f() = a n n + a n 1 n a 1 + a con a n. El dominio de este tipo de funciones es D = R porque siempre podemos calcular el valor de la función en cualquier valor real. Funciones racionales: las funciones racionales son aquellas que se epresan algebraicamente como cociente de dos polinomios f() = P() donde grado(q()) Q() El dominio de una función polinómica es R, eceptuando aquellos valores que anulan el denominador. Dom(f) = R { i R / Q( i ) = } [4] Función racional f() = 3 4 3

4 Ejemplo Calcular el dominio de la función f() = Calculamos los valores que anulan el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado + 3 = ; obtenemos 1 = 3 y 1 = 1. Por tanto Dom(f) = R { 3, 1}. Función de proporcionalidad inversa o hipérbola: es un tipo de función racional, con una epresión del tipo f() = k con k R {} Función de proporcionalidad inversa y = k (Hipérbola) Características: 1. Dom(f) = R {}. Im(f) = R {}. La función es impar. 3. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Diremos que en = hay una asíntota vertical y que en y= hay una asíntota horizontal. 5. El valor del coeficiente k determina la forma de la hipérbola: o k > f() es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. o k < f() es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. Funciones con radicales: son funciones en las que la aparece bajo un signo radical n f() = g() La función más conocida es la función raíz cuadrada [6] Función raíz cuadrada f() = Características: 1. si n es par entonces Dom(f) = { R/ g() > }. si n es impar entonces Dom(f) = R 4

5 Ejemplo 3 Calcular el dominio de la función f() = Como el índice es par: Dom(f) Debemos buscar los valores reales que hacen positiva o cero la epresión anterior. Para resolver este tipo de inecuaciones (cociente de polinomios) procedemos de la siguiente forma: (i) Buscamos los valores que anulan numerador y denominador: 3 1 = = 1 3 ; = = { = 1 Estos tres valores dividen la recta real en cuatro intervalos. (ii) Consideramos los intervalos teniendo en cuenta que si los valores anteriores anulan el numerador, cerramos el intervalo en ellos; y si anulan el denominador, abrimos el intervalo en ellos) y determinamos el signo de nuestra epresión en cada uno de ellos: El signo lo determinamos a partir del signo del resultado que se obtiene al sustituir en la epresión un valor cualquiera en cada intervalo (no etremos). Por tanto, el dominio de la función f viene dado por la unión de los intervalos con el signo positivo. Dom(f) = ( 3, 1/3] [1, +) Funciones eponenciales: las más sencillas son funciones del tipo f() = a donde R, a > y a 1 [7] Función eponencial y = a Características: 1. Dom(f) = R.. La función eponencial siempre es positiva. Im(f) = (, +) 3. Pasa siempre por los puntos (, 1) y (1, a) pues a = 1 y a 1 = a 4. El valor de a determina la forma de la función: o a > 1 f() es creciente. o < a < 1 f() es decreciente. La función más conocida es la función f() = e 5

6 Funciones logarítmicas: las más sencillas son funciones del tipo f() = log a donde >, a > y a 1 [8] Función logarítmica y = log a Características: 1. Dom(f) = (, +) pues solo eisten logaritmos de números positivos.. Im(f) = R 3. Pasa siempre por los puntos (1, ) y (a, 1) pues log a 1 = y log a a = 1 4. El valor de a determina la forma de la función: o a > 1 f() es creciente. o < a < 1 f() es decreciente. 5. Si la base es 1, se epresa f() = log. Si la base es el número e, se epresa f() = L La función logaritmo f() = log a se define como la inversa de la eponencial f() = a. Funciones definidas a trozos: es una función formada por distintas epresiones algebraicas dependiendo del intervalo al que pertenezca la variable independiente. Para estudiar la función hay que estudiar cada epresión algebraica de forma independiente. Ejemplo 4 Estudiar el dominio de la siguiente función. 1 si < 1 f() = { + si si > 3 Estudiamos el dominio de la función según los distintos intervalos: 1. < 1 entonces f() = 1. Como bien sabemos, el dominio de la función de proporcionalidad inversa es Dom(f) = R {}. Pero en este caso, = no pertenece al intervalo en el que estamos trabajando, por tanto, f() = 1 está definida para todo < entonces f() = + función lineal, cuyo dominio es R. 3. > 3 entonces f() = función cuadrática, cuyo dominio es R. Unificando toda la información anterior, podemos concluir que el dominio de la función es R. 6

7 3. Límite de una función. Introducción El concepto de límite tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproima la función f() cuando la variable independiente se aproima a valores determinados. 3.1 Límite de una función en el infinito Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función f(). Observamos que a medida que el valor de la variable se va haciendo más grande ( +) las imágenes y = f() también se hacen, cada vez, más grandes (f() +). Este hecho lo escribiremos de la siguiente forma: f() = + y diremos que el límite de la función f() cuando tiende a + es +. Formalmente se epresa como sigue: f() = + M R, R > f() > M De forma análoga se definirían f() = ; f() = + ; f() = que se corresponderían con situaciones gráficas como las siguientes: f() = 7

8 f() = + f() = Aunque los resultados de los límites anteriores, en los cuatro casos, son ± hay que decir que la función no tiene límite o que el límite es infinito. Sólo diremos que una función f() tiene límite en el infinito cuando éste sea un número real b (límite finito) y lo escribiremos de una de las dos formas siguientes: Formalmente: f() = L o bien f() = L f() = L ε > k R > k f() L < ε En cualquiera de estos dos casos, diremos que y = L es una asíntota horizontal de la función. Ejemplo 5: la siguiente gráfica muestra una situación en la que f() = A medida que los valores de la variable se hacen más grandes, sus imágenes f() se aproiman a cada vez más. Ejemplo 6: la siguiente gráfica muestra una situación en la que f() = A medida que los valores de la variable se hacen más negativos, sus imágenes f() se aproiman a cada vez más. 8

9 4. Operaciones con límites de funciones Consideremos dos funciones f() y g() y a partir de los posibles de sus correspondientes límites, calculamos: 4.1 Límite de la suma/diferencia de funciones El límite de la suma/diferencia de dos funciones se define como la suma/diferencia de los límites de dichas funciones, es decir: (f() ± g()) = f() ± g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de sean finitos o infinitos. a R f() = { + f() y b R ; g() = { + g() según que estos Entonces, la siguiente tabla con los valores de (f() ± g()) se completa como sigue: [f() ± g()] b + a a ± b +/ / / IND IND */ + IND */ / IND (*) IND hace referencia a una indeterminación: Por ejemplo: es una indeterminación, pues el resultado puede ser cualquier valor; en efecto, si sumamos cantidades de distinto signo todo lo grandes que podamos imaginar, el resultado es imprevisible (las estudiaremos más adelante) 4. Límite del producto de funciones El límite del producto de dos funciones se define como el producto de los límites de cada una de ellas, es decir: [f() g()] = f() g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() según que estos sean finitos (nulos o no) o infinitos. f() = { a R a + b R b ; g() = { + Entonces, la siguiente tabla con los valores de [f() g()] se completa como sigue: b + a a b + si a > si a > si a < + si a < IND* IND* + + si b > si b < IND* + si b > + si b < IND* + (*) El tipo de indeterminación que aparece es porque al multiplicar cantidades que se aproiman a tanto como queramos por cantidades (positivas o negativas) todo lo grandes que queramos, el resultado puede ser cualquier valor. Se necesitan técnicas de resolución. 9

10 4.3 Límite del cociente de funciones El límite del cociente de dos funciones se define como el cociente de los límites de cada una de ellas, siempre y cuando el límite del denominador sea no nulo: f() [f() g() ] = g() donde g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() según que estos sean finitos (nulos o no) o infinitos. a R a f() = { + Entonces, la siguiente tabla con los valores de [f() g() f() g() b + a a b ± IND* + + si b > si b < ± IND* IND* si b > + si b < ± IND* IND* b R b ; g() = { + ] se completa como sigue: (*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, y, que resolveremos con las técnicas adecuadas. a Los límites k = se llaman infinitésimos y aparecerán muy frecuentemente. 4.4 Límite de una potencia (una función elevada a otra función) El límite de una función elevada a otra función, se define como el límite de la base (siempre que sea positivo o nulo), elevado al límite del eponente, es decir: f()g() = [ f()] g() donde f() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() a R a > f() = { + ; g() = { b R b + Entonces, la siguiente tabla con los valores de f()g() se completa como sigue: f()g() b + a > a b 1 + si a > 1 si < a < 1 IND si a = 1 si a > 1 + si < a < 1 IND si a = 1 IND* si b > si b < IND* + (*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, (+) y 1. Sólo estudiaremos esta última. 1

11 4.5 Límite de funciones con radicales n El límite de función con radicales se define: f() n A la hora de calcularlo, debemos tener en cuenta que: + n = f() + ; n impar 4.6 Límite de la función logarítmica El límite de función logarítmica se define como el logaritmo del límite de la función, siempre y cuando este límite sea positivo: [ log a f() ] = log a [ f() ] donde >, a >, a 1 5. Cálculo de límites sencillos. Indeterminaciones Para calcular límites de funciones tenemos que tener en cuenta todo lo que hemos estudiado en los puntos anteriores y lo que vemos a continuación: 1. A la hora de calcular un límite aparecen epresiones como las siguientes, que conviene recordar: k = con k R ± ± = ± con k R {} k = con k R {} k k + + si k > 1 = { si < k < 1. Límite de un polinomio: El límite de un polinomio cuando ± es siempre + o. El signo lo determina el signo del coeficiente del término de mayor grado, los demás términos no influyen, son insignificantes. a n (a n n + a n 1 n a 1 + a ) = { + si a n > si a n < Ejemplo 7: ( ) = porque < 3. A veces, podemos obtener determinados resultados que, a priori, no tienen sentido. Se llaman indeterminaciones y estudiamos las siguientes:,,,, 1 (la indeterminación la veremos más adelante) o Indeterminación Aparece al calcular límites de cocientes de polinomios. Sean P() y Q() dos polinomios de grados n y m respectivamente. Al calcular el límite P() Q() se produce la indeterminación. Se puede resolver de tres formas distintas, lo mostramos para Forma 1. Como los términos distintos del monomio de mayor grado son insignificantes, en cuanto al límite en el infinito, podemos suprimirlos tanto en el numerador como en el denominador: = 3 3 = 11

12 Forma. Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de la variable y se aplican las propiedades vistas en el punto = = = = 3 Forma 3. Se aplica la llamada regla de los grados P() Q() = = 1 si n = m a n n + a n 1 n a 1 + a b m b m m + b m 1 m 1 = si n < m + + b 1 + b ± si n > m y a n { > { b m < = porque son del mismo grado. Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites de cocientes con radicales. Se resuelve dividiendo, numerador y denominador, por la mayor potencia de la variable, compensada por el radical, como vemos en el ejemplo siguiente = = 4+3 = = a n = = o Indeterminación Se resuelve transformándola en una indeterminación del tipo (, ) Ejemplo 8: = = = = 1 o Indeterminación Aparece al calcular el límite de una suma/diferencia de funciones racionales: [P() Q() R() S() ] Se resuelven efectuando la operación, como mostramos en el siguiente ejemplo: Ejemplo 9: 1 (3 ) = +4 ( 3 1) ( ) ( +4) ( +4) = = + Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites en los que intervienen epresiones con radicales. En estos casos, se resuelve multiplicando y dividiendo numerador y denominador por la epresión conjugada. Ejemplo 1: ( ) = ( ) ( ) = 1

13 5 5 1 = = = 5 4 o Indeterminación 1 Las resolvemos aplicando la siguiente igualdad: 1 [f()]g() = e A donde A = g() [f() 1] 3 1 Ejemplo 11: ( 3 1+ ) = e A A = [( 3) ( 3 1)] = 1 + [( 3) ( )] = = Por tanto: ( 3 1+ ) 3 = e = Es importante conocer que (1 + 1 ) = e 6. Cálculo de límites en - Hasta ahora, hemos calculado límites en los que +, en los casos en los que utilizaremos la siguiente propiedad: f() = f( ) Ejemplo 1: 1 ( 3 + ) = 1 +4 (3 ) = ( 3 1) ( ) ( +4) =+ +4 ( +4) 7. Límite de una función en un punto 7.1 Definición. Idea intuitiva La siguiente gráfica muestra parte de la representación de la función f() = + Qué ocurre si damos valores a la función en un entorno cercano al? Construimos la siguiente tabla de valores: 13

14 Podemos observar que si nos acercamos al valor =, las imágenes de la función se aproiman a 1 que es el valor de la función en dicha abscisa; f() = 1. Se formaliza escribiendo f() = 1 y diremos que el límite de f() cuando tiende a es 1. En las funciones que vamos a utilizar (salvo las funciones definidas a trozos), cuando queramos calcular el límite en un determinado punto, lo que haremos, será sustituir dicho valor en la epresión de la función; y si el resultado es un número real, ese será su límite. Así, en el ejemplo anterior, para calcular sustituimos = en la epresión : + + f() = + = 1 + = 1 En general: Diremos que a f() = L cuando para valores de muy próimos a a, los valores de la función, en ellos, se aproiman a L. En la definición, obviamos el punto = a, siempre nos acercamos a él, pero no lo alcanzamos. Es por ello que se definen los límites laterales que vemos a continuación. 7. Límites laterales En ciertas ocasiones, dependiendo de la función, es necesario distinguir entre acercarse al punto por su izquierda o acercarse por su derecha; pues puede ocurrir que el valor del límite varíe. Lo mostramos con los siguientes ejemplos de funciones definidas a trozos: si 1 Ejemplo 13: Consideremos la función f() = { si 1 < < 1 cuya gráfica es: L si 1 Antes de calcular f(), debemos observar que en = 1 hay un cambio en la definición de la 1 función. La epresión cambia dependiendo de si nos acercamos a = 1 por su izquierda o por su derecha, por tanto, necesitamos introducir la noción de límites laterales (por la izquierda y por la derecha) de una función en un punto. En nuestro caso sería: 1 f() = 1 ( ) = 1 +f() = 1 +( 3 + 3) = Como los límites laterales no coinciden, concluimos que la función no tiene límite en = 1 14

15 Ejemplo 14: Calcular f() para f() = { si < 1 1 L si > 1 En este caso: 1 f() = 1 ( 3 + 3) = 1 +f() = 1 +(L) = Como los límites laterales eisten y coinciden, podemos concluir que eiste f() y f() = 1 1 Importante: 1. El límite de una función en un punto, si eiste, es único.. Diremos que una función tiene límite en un punto si eisten los límites laterales y coinciden Eiste f() Eisten a a f() y a +f() y a f() = a +f() 3. Para hallar los límites laterales de una función en un punto, no es necesario que la función esté definida en dicho punto. 7.3 Límites infinitos Puede ocurrir que, en ocasiones, al acercarnos a un determinado valor de, la función tome valores cada vez más grandes o cada vez más pequeños. Entonces diremos que el límite de la función en dicho punto es + ó. Lo mostramos en el siguiente ejemplo: Ejemplo 15: Calcular 1 ( 1) En primer lugar, representamos la función y observamos que, efectivamente, al acercarnos a la abscisa = 1, los valores de la función se hacen cada vez más grandes. Esto quiere decir que = + 1 ( 1) En efecto, si calculamos el valor del límite: 1 + ( 1) = + Dependiendo de la definición de la función, puede que sea necesario calcular los límites laterales. Ejemplo 16: Calcular 1 1 Si representamos la función, observamos que el comportamiento de la misma es diferente según que nos acerquemos a 1 por la derecha o por la izquierda, por tanto, calculamos los límites laterales. 1 1 = 1 1 = { 1 =

16 En cualquiera de estos dos casos, diremos que = 1 es una asíntota vertical de la función. Son rectas paralelas al eje Y, hacia las cuales se dirige la función, aproimándose cada vez más, pero sin llegar a cortarlas. o Indeterminación Tipo 1 Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de cociente de funciones polinómicas P() a Q() denominador. Ejemplo 17: dónde a es raíz de P y Q. En este caso, se resuelve factorizando numerador y = ( 1) (+3) = ( + 3) = Observamos que f(1) no está definida, pero en cambio, sí eiste 1 f() = 4. Tipo Esta indeterminación también aparece en el cálculo de límites con radicales. En este caso, se resuelve multiplicado numerador y denominador por la epresión conjugada que tiene raíz. Ejemplo 18: = (1 ) (1+ ) = 1 ( 1) (1+ ) ++3 = (+1) ( 3) = 1 ( 1) (1+ ) 1 (+1) ( 1)(1+ ) 1 ( 3) ( 1)(1+ ) = 1 8. Asíntotas de una función Una asíntota es una recta hacia la que se dirige la gráfica de una función, aproimándose todo lo que queramos, sin llegar a cortarla. Eisten tres tipos de asíntotas: Asíntota horizontal (visto en pág 8) Son rectas paralelas al eje X. Diremos que y = L es una asíntota horizontal (A.H) de f() si: f() = L o bien f() = L Ejemplo 19: Determina las asíntotas horizontales de la función f() = +1 Observamos que f() = + 1 = 1 ; f() = + 1 = 1 Por tanto, la función tiene dos asíntotas horizontales: y = 1, y = 1 16

17 Asíntota vertical Son rectas paralelas al eje Y. Diremos que = L es una asíntota vertical (A.V) de f() si: f() = ± o bien L + f() = ± L Las asíntotas verticales se localizan entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función, es decir, los valores para los cuales la función no está definida. Ejemplo : Determina las asíntotas verticales de la función f() = 6 En primer lugar, determinamos el dominio Dom(f) = R {, 3} f() = = + = + { f() = = es una A. V 6 = + = f() = 3 + { f() = 3 6 = 3+ + = + 6 = 3 = = 3 es una A. V Asíntota oblicua Es una recta de la forma y = m + n donde: f() m = ± n = [f() m] ± Ejemplo 1: Determina las asíntotas oblicuas de la función f() = m = n = 3 f() ( 1) = m = ± ± = ± [f() m] = n = [ 3 ± ± ( 1) ] = y = + es una asíntota oblicua (A. O) 3 3 ( 1) 3 ( 1) = ± 3 + = 1 ± ( 1) = 17