m = 0 constante m > 0 creciente m < 0 decreciente n es la ordenada en el origen (donde la función corta al eje Y, imagen de x=0)

Transcripción

1 1. FUNCIONES POLINÓMICAS. D(f) = R A. FUNCIONES LINEALES: n = 1 Su gráfica es una recta. D (f) = R. Im (f) = R m = 0 constante m es la pendiente (inclinación) m > 0 creciente y = mx + n m < 0 decreciente n es la ordenada en el origen (donde la función corta al eje Y, imagen de x=0) Para calcular la pendiente (m): 1. Observamos la gráfica, y contamos cuantas unidades avanza y cada vez que x avanza 1 unidad. 2. Cogemos dos puntos de la recta, y calculamos la variación de las coordenadas y, y la dividimos entre la variación de las coordenadas x. Teniendo en cuenta la gráfica anterior, cogemos los puntos A(0, -3) y B(2, 1): m = = ( ) = (()) = () = ( ) () () 2 Posición relativa de dos rectas: 1. Si dos rectas tienen la misma pendiente son paralelas, y no se van a cortar nunca. 2. Si dos rectas tienen pendientes distintas son secantes, y se cortan en un punto.

2 B. FUNCIONES CUADRÁTICAS: n = 2 Su gráfica es una parábola. D(f) = R. a > 0 abierta hacia arriba Im(f) = [ + ) y = ax 2 + bx + c a < 0 abierta hacia abajo Im(f) = (-, ] eje de simetría en x = simetría par, respecto del eje y Puntos de corte con los ejes: coordenada x del vértice Vx = coordenada y del vértice Vy = f(vx), la imagen de x = Para que la función cuadrática corte al eje Y, sustituimos x=0: f(0) = a *0 2 + b*0 + c = c; por tanto la parábola siempre corta al eje Y en el punto (0, c) Para que la función corte al eje X, sustituimos y = 0: f(x) = 0; calculamos los posibles valores de x. Si la función está completa utilizamos la fórmula x= ±, y si la función está incompleta despejamos la x como corresponda. Según el número de soluciones que encontremos, la función cortará al eje de las x, 2, 1 o 0 veces.

3 C. FUNCIONES DE GRADO MAYOR A DOS FUNCIONES CÚBICAS: n = 3 Su gráfica es un punto de inflexión. D(f) = R. Im(f) = R. Simetría par, respecto del eje y.

4 2. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = k > 0 decreciente k < 0 creciente Su gráfica es una hipérbola. D(f) = R {0}. Im(f) = R {0} Simetría impar, respecto del origen de coordenadas. Las funciones de la forma y = a + y horizontalmente en b unidades. son traslaciones de la anterior, verticalmente en a unidades

5 3. FUNCIONES IRRACIONALES O CON RADICALES: y = D(f) = intervalo en el que el radicando es positivo o cero. Im (f) = [0, + ), si tomo los valores positivos de la raíz. Im (f) = (-, 0], si tomo los valores negativos de la raíz, es decir, f(x) = -

6 4. FUNCIONES RACIONALES: Cociente de dos funciones polinómicas. f(x) = (), con q(x) 0. () D(f) = R { excepto los valores que anulan el denominador} Simetría impar, respecto del origen de coordenadas. Los valores que anulan el denominador serán discontinuidades de la función, y se representan mediante asíntotas verticales. Una asíntota de una función es una recta hacia la que se aproxima una parte de longitud ilimitada de la función cuando el valor de la variable x o el de la función y tienen a - o a +. Asíntotas horizontales: y = h, si el límite cuando x tiende a - o a +, tiende a un número real. Asíntotas verticales: x = k, si el límite cuando la x tiende a un número por la derecha o por la izquierda, tiende a - o a +. Asíntotas oblicuas: y = mx + n, si el límite cuando x tiende a - o a +, tiende a una recta, mx + n. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas oblicuas

7 5. FUNCONES EXPONENCIALES: y = # $ Donde a es un número real positivo distinto de 1. Características a > 1 a < 1 Dominio D (f) = R D (f) = R Recorrido Im (f) = (0, + ) Im (f) = (0, + ) Continuidad Continua en todo R Continua en todo R Monotonía Creciente en todo R Decreciente en todo R Puntos (0, 1) y (1, a) (0, 1) y (1, a) característicos Tendencia Para x cada vez más negativos, la función se aproxima a 0 Para x muy grandes, la función toma valores cada vez mayores Para x cada vez más negativos, la función toma valores cada vez mayores Para x muy grandes, la función se aproxima a 0

8 6. FUNCIONES LOGARÍTMICAS: f(x) = log Asocia a cada número real positivo x el valor de su logaritmo en base a. Cuando a=10, el logaritmo se llama decimal y se omite el subíndice. Propiedades de las funciones logarítmicas: D(f) = (0, + ) Im(f) = R Continuas en todo su dominio. Siempre pasan por los puntos (1, 0) y (a, 1). Si a > 1, la función es creciente. Si a < 1, la función es decreciente. Tiene como asíntota vertical la recta x = 0. Relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas: En general, la función exponencial y = + es recíproca de la función logarítmica de la misma base, y = ()* +, por lo que sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.