1. Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas y los límites e imágenes que se indican para cada gráfica. y asíntota vertical de:

Transcripción

1 Identificación gráfica de funciones, límites asíntotas Al observar la gráfica de una función es posible determinar gran cantidad de parámetros características de dicha función aunque no conozcamos su epresión, como su dominio (región del eje X en la que está definida la función), el recorrido (región del eje Y en la que encontramos valores de la función), asíntotas (rectas a las que se aproima la función), además de los valores que toma la función en cada punto Por ejemplo, observando la siguiente gráfica podemos determinar: Dominio: D( f ), Recorrido: R( f ) (, ) f( ) f( ) f( ) f() f() f( 3) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblícua: La asíntota oblicua pasa por los puntos (, ) (, ) Sustituendo en la ecuación de la recta oblicua m n : n n m m Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas los límites e imágenes que se indican para cada gráfica a) Dominio, recorrido, f( ), f( ) asíntota vertical de: 3 3 b) f(), f(), f ( ) asíntota horizontal de: c) Dominio, f( ), f( ), f( ) asíntota oblicua de: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I ºBachillerato

2 Cálculo de límites de la forma e Al calcular el límite de una función cuando tiende a un valor podemos encontrar siete tipos de indeterminaciones Veamos cómo resolver algunas de ellas según cómo sea la epresión de la que tomamos límite: ) Cociente de polinomios: : Dividimos cada término por la potencia de maor grado, en este caso, También podemos llegar a este resultado comparando los grados del polinomio del numerador del denominador Si el grado del polinomio del numerador es igual que el del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de maor grado Si el grado del polinomio del numerador es maor que el del denominador, el límite es, o Si el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, el límitees cero : El valor al que tiende la es raíz de ambos polinomios, por eso ambos se anulan al sustituir la Descomponemos ambos polinomios simplificamos ( )( ) 3( ) ( )( ) ( ) 5 5 : Se efectúa la operación se calcula el nuevo límite que aparece ( )( ) 3 3 Finalmente ( ) ( ) ) Cuando aparecen radicales: : Se observa el grado de los polinomios que están en el radicando se aplica la misma regla que hemos utilizado en el cociente de polinomios El polinomio del numerador tiene grado, pero como está afectado por la raíz 3 cuadrada equivale a un polinomio de grado El grado del polinomio del denominador es también, así que el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de maor grado de ambos polinomios de la cantidad e indeterminación : Se multiplica el numerador el denominador por el conjugado ( 3 )( 3 ) Calcula el valor de los siguientes límites a) c) 5 e) g) i) 3 b) d) 3 f) h) j) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I º Bachillerato

3 Cálculo de límites e indeterminaciones Al calcular el límite de una función en un punto sustituir la variable por el valor al que tiende, se puede llegar a una epresión que no es real en la que no resulta inmediato saber si tiende a, a otro número o a infinito, es decir, se tiene una indeterminación Las indeterminaciones se resuelven según su tipo, aplicando una de las estrategias de la siguiente tabla: Se resuelve: Dividiendo el numerador el denominador por la de maor grado Multiplicando por el conjugado, si aparece como diferencia de radicales Efectuando la diferencia de cocientes, si aparece como diferencia de cociente de polinomios Factorizando numerador, denominador simplificando, si aparece como cociente de polinomios Multiplicando numerador denominador por el conjugado, si aparece como cociente de funciones radicales Transformándola en indeterminación del tipo o Calcula los siguientes límites indicando el tipo de indeterminación a que dan lugar resolviéndola a) b) c) d) e) n) f) 4 g) h) i) j) 4 k) 57 l) 5 m) o) p) q) 3 r) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I ºBachillerato

4 Discontinuidades evitables Recuerda que para que una función f sea continua en = a se deben verificar dos condiciones: ª Que eista el límite finito de la función en dicho punto Para ello es necesario que los dos límites laterales coincidan: f( ) f( ) f ( ) a a a ª Que eista la imagen de la función en ese punto que dicha imagen coincida con el límite: f ( ) f ( a ) a Si falla alguna de las dos condiciones anteriores, se dice que la función es discontinua en = a Si los límites laterales no son iguales, por tanto falla la primera condición, se dice que la función presenta una discontinuidad no evitable Si solo falla la segunda condición; es decir, si el límite eiste pero la imagen f(a) o no eiste o no coincide con él, se dice que la función presenta una discontinuidad evitable Se consideran las funciones f( ) g a) Comprueba que si simplificas la fracción algebraica funciones f( ) g en cuántos puntos se diferencian? b) Representa, en gráficos separados, las dos funciones c) Estudia la continuidad de las dos funciones obtienes Esto quiere decir que las son iguales?, cuál es el dominio de cada una de ellas?, son parecidas?, Se considera la función: 3 4 f( ) 4 a) Su ecuación es una fracción algebraica irreducible? b) Indica a qué otra función se parece mucho eplica sus diferencias c) Dibuja la función estudia su continuidad 3 Se consideran las funciones: f( ) g( ) a) Calcula el dominio de cada una de ellas b) Indica en qué se parecen en qué se diferencian dichas funciones c) Dibuja, en gráficos diferentes, las dos funciones Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I º Bachillerato

5 Asíntotas horizontales oblicuas en funciones no racionales Recuerda que en ciertas ocasiones, para calcular f( ) conviene aplicar la igualdad: f ( ) f ( ) Asíntotas horizontales asíntotas oblicuas de una función a) Las funciones racionales verifican que si tienen una asíntota horizontal u oblicua en + tienen la misma asíntota en b) Una función que tenga asíntota horizontal en + no puede tener asíntota oblicua en + Sin embargo, una función que no sea racional puede: a) Tener asíntotas diferentes en + en b) Tener una asíntota horizontal en + una asíntota oblicua en a) Calcula los límites: b) Estudia las posibles asíntotas horizontales oblicuas de la función: f( ) c) Elabora un gráfico que muestre el comportamiento de f() en en a) Calcula los límites: b) Estudia las posibles asíntotas horizontales oblicuas de la función: f( ) c) Elabora un gráfico que muestre el comportamiento de f() en en 3 a) Calcula los límites: b) Estudia las posibles asíntotas horizontales oblicuas de la función: f( ) c) Elabora un gráfico que muestre el comportamiento de f() en en Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I ºBachillerato