APUNTES. Obtención del dominio de las funciones:

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Sebastián Herrera Mendoza
hace 7 años
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1 Materia: Tema: Curso: APUNTES Obtención del dominio de las funciones: - Si f(x) es una constante, la función no presentará problema alguno, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales. - Si f(x) es un polinomio, la función no presentará problema alguno, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales. - Si f(x) es una fracción algebraica, la función presentará problemas en los puntos (valores de x x 1,x 2 ) que anulan el denominador, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales menos dichos puntos problemáticos. - Si f(x) es un radical algebraico: si es de índice impar no presentará problemas, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales. Si es de índice par presentará problemas en aquellos puntos de x que hacen el radicando negativo, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales menos dichos puntos problemáticos, luego el dominio serán los valores de x tal que hacen el radicando positivo o cero. - Si f(x) es un logaritmo presentará problemas en aquellos puntos de x que hacen el argumento negativo o cero, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales menos dichos puntos problemáticos, luego el dominio serán los valores de x tal que hacen el argumento positivo. - Si f(x) es una exponencial [, la función no presentará problema alguno, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de los números reales.. Si el exponente es una función, los problemas estarán en los puntos problemáticos de dicha función. Límite de una función en un punto: Los límites de una función en un punto consistirán en el estudio del comportamiento de dicha función en las proximidades de dicho punto, por lo que debemos realizar la aproximación por la derecha de ese punto (valores muy próximos a él pero más grandes) y por la izquierda de dicho punto (valores muy próximos a él pero más pequeños) Rambla de Santa Cruz, Santa Cruz de Tenerife buzon@colegio-hispano-ingles.es

La expresión: Significará que cuando nos acercamos en x al número a, la función f(x) se acercará al valor L y será cierta si ambos límites laterales dan como resultado el mismo = L Límite de una

2 La expresión: Significará que cuando nos acercamos en x al número a, la función f(x) se acercará al valor L y será cierta si ambos límites laterales dan como resultado el mismo = L Límite de una función en el infinito: Los límites de una función en el infinito consistirán en el estudio del comportamiento de dicha función cuando la x crece indefinidamente tendiendo al infinito o decrece indefinidamente tendiendo al menos infinito. Indeterminaciones más comunes: 1) Indeterminación k/0 Si un límite nos lleva a un resultado de número dividido entre cero, tenemos una indeterminación. La causa de ello es que el límite se sitúa en un punto que no existe en el dominio de la función. Por lo tanto, no existe límite en ese punto porque no existe ese punto. Lo único que podemos (y debemos) hacer en estos casos es mirar a que tiende la función cuando se acerca (aunque nunca llegue) al punto por la izquierda y por la derecha. Es lo que se llaman límites laterales. Un ejemplo sería algo como esto: - 2 / 6 -

3 f(0 - )=+ f(0 + ) 2) Indeterminación 0/0 Si dividir un número entre cero es una operación "prohibida", dividir cero entre cero lo será con más motivo. Si nuestro límite nos lleva a esto, hay una forma para solucionar la situación. Miremos el límite que nos sirve de ejemplo: Pues bien, el modo de resolver estos límites es factorizar los polinomios de numerador y del denominador (repasa cómo se factorizan polinomios si no te acuerdas Ruffini, por ejemplo). Encontrarás siempre que hay un factor que se repite tanto arriba como abajo, y que es además el factor (x - k) donde k es el punto de nuestro límite. Si simplificamos, desaparecerá la indeterminación. Puede ocurrir que, después de quitar la indeterminación, nos quede un límite tipo k/0, que es el primer tipo de indeterminación y ya hemos visto cómo resolver. 3) Indeterminación / Este tipo de indeterminación es uno de los más comunes. / es una expresión que no se puede operar ( no es igual a uno!), pero mediante un paso intermedio podemos hacer que esta indeterminación desaparezca. Vamos a ver no uno, sino tres ejemplos. En cada uno de ellos, para resolver la indeterminación, vamos a dividir todos los términos del numerador y todos los términos del denominador - 3 / 6 -

4 por la equis con mayor grado que haya en el denominador (recuerda que dividir un número entre es igual a cero): O simplemente comparamos el grado del numerador y el denominador: - Si grado del numerador > grado del denominador limite = infinito - Si grado del numerador < grado del denominador limite = cero - Si grado del numerador = grado del denominador limite = cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado. 4) Indeterminación - Infinito menos infinito no se puede operar. NO ES IGUAL A CERO, que quede claro. Es una indeterminación como Dios manda. Una vez remarcado esto, cómo se resuelve? En estos casos, el método es multiplicar por una fracción cuyo numerador y denominador sean iguales (y por lo tanto es como si multiplicáramos por uno) y a su vez iguales al conjugado de la función. Recuerda que el conjugado es la misma expresión pero cambiando el signo central: si teníamos (A - B), multiplicaremos por (A+B)/(A+B). Así conseguimos que en el numerador tengamos una diferencia de cuadrados. Que conseguimos con esto? Fíjate en el desarrollo del límite: El límite del numerador es -2, y el del denominador es, así que nuestro límite total es igual a cero. También puede ocurrir que después de multiplicar arriba y abajo por el conjugado, transformemos todo en una indeterminación de /, que ya sabemos cómo se resuelven (y que además son bastante fáciles). - 4 / 6 -

5 Continuidad de una función. Si una función es continua en un punto a debe cumplir: a) b) c) Tipos de discontinuidades: - Discontinuidad evitable: Si pero coinciden los límites laterales en x=a, en ese caso podemos decir que la función se aproxima al límite en x=a. - Discontinuidad inevitable: o De salto finito: Si los límites laterales son distintos pero finitos. En este caso el valor del salto será igual a la diferencia (resta) existente entre ambos límites. o De salto infinito: Si los límites laterales son distintos pero infinitos. En este caso el valor del salto será igual a infinito. Asíntotas: Una asíntota es cuando una función se aproxima a una recta en las proximidades de un punto o en el infinito; por lo tanto podrán existir verticales, horizontales y oblicuas. - Horizontal: Si habrá una asíntota horizontal en y = a. - Vertical: Si puntos críticos del dominio). habrá una asíntota vertical en x = a (para buscar estos puntos x = a miraremos los - 5 / 6 -

6 - Oblicuas: La función se acercará en el infinito a la recta donde y y = mx + n Es importante tener en cuenta que si existe asíntota horizontal no existirá asíntota oblicua. - 6 / 6 -

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