Límites de Funciones
|
|
- Adrián Hernández Mora
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 . Introducción y notación Límites de Funciones Hasta ahora, se han visto muchos conceptos sobre las funciones desde un enfoque muy intuitivo. Cosas como la continuidad, el crecimiento o los máximos y los mínimos se han estudiado basándose casi siempre en observar la gráfica y sacar conclusiones. No obstante, podemos conseguir nosotros hacer un dibujo aproximado de la gráfica sabiendo únicamente la expresión de la función? Para todo esto se usa el concepto de límite, que es una de las herramientas básicas en matemáticas para el estudio de las funciones. En el presente curso se ha visto ya el concepto de límite de sucesiones, aunque también desde un punto de vista intuitivo. Sin entrar en conceptos rigurosos, vamos a establecer notaciones. Notación: denotaremos como (a n ) a la sucesión de término general a n. Es decir, por ejemplo la sucesión, 2, 3, 4, 5 = ( n ) También, denotaremos que la sucesión (a n ) tiene límite a como n (a n ) = a En el caso de la sucesión que hemos puesto antes de ejemplo, n ( n ) = 0 Ahora bien, qué significan los límites de funciones? Cómo se calculan? 2. Límite de una función en un punto 2. Límites y sucesiones Los límites de sucesiones se calculan siempre en el infinito (esto es, cuando la n se hace más grande). Esto básicamente consiste en saber cómo se comporta la sucesión cuando aumenta la n.
2 Primeros 9 términos de la sucesión n Sin embargo, los límites en funciones responden a qué es lo que le ocurre a las imágenes de la función cuando nos aproximamos a un punto concreto del eje de las x tanto como queramos. Se acerca a algún punto? Aumenta mucho? Disminuye? Podemos acercarnos a todos los puntos? El concepto tanto como queramos es delicado, pero podemos usar las sucesiones para construir algo parecido. Supongamos que tenemos la función f(x) = x + 3, y queremos saber qué ocurre cuando la función se aproxima al. f(x) = x + 3 Podemos coger, ahora, una sucesión de números que tienda a. Por simplicidad, vamos a coger la sucesión
3 (a n ) = ( 0 ) n Esta sucesión converge claramente a. Para convencernos, veamos algunos valores de la sucesión n a n Ahora, qué pasaría si aplicamos f(x) a los elementos de la sucesión? Es decir, si sustituyéramos x por a n en la f. Veámoslo f(a n ) = ( 0 ) n + 3 = 4 ( 0 ) n Pero esta (f(a n )) no deja de ser otra sucesión de números. A qué tenderá esta nueva sucesión? No es difícil de ver que esta nueva sucesión tiende a 4 cuando n tiende a infinito. Este límite de la sucesión es a lo que vamos a llamar límite de la función y lo expresaremos de la siguiente manera f(x) = 4 x Aquí es importante distinguir entre lo que vale la función en un punto, es decir f(), y a lo que tiende la función en ese punto. También hay que notar que esta definición es provisional y la mejoraremos en seguida. Ejercicio : Se os ocurre alguna función que conozcáis cuyo límite no concuerde con su valor? Una cosa importante a tener en cuenta es por dónde nos acercamos al punto. Así pues, supongamos ahora la siguiente función x + 3 x < f(x) = { x 8 x } La sucesión que hemos considerado antes, toma valores siempre menores que (comprueba la tabla de valores vista anteriormente). Así pues, parece claro que f(x) = 4 x Pero, qué pasa si ahora consideramos la sucesión (b n )?, donde b n = + ( 0 ) n
4 Esta sucesión es claramente mayor que, de manera que la imagen de esta sucesión por la función será f(b n ) = + ( 0 ) n 8 = 7 + ( 0 ) n Esta sucesión tiene un límite distinto del anterior ( cuál es?). Así pues, parece que vamos a tener que cambiar lo que habíamos dicho, pues parece que el concepto de límite está ligado a la manera que tenemos de acercarnos al punto. Definición: ) Diremos que el límite de una función por la derecha cuando x tiende a x 0 es l, y lo denotaremos f(x) = l x x 0 + Cuando la sucesión elegida se aproxime a x 0 por la derecha (como hemos hecho en nuestro segundo caso), y la sucesión de imágenes tienda a l. 2) La definición para el límite por la izquierda es análoga, tomando sucesiones por la izquierda y siendo la notación f(x) = l x x 0 3) Así pues, diremos que el límite de una función cuando x tiende a x 0 es l, y lo denotaremos Cuando f(x) = l x x 0 f(x) = f(x) = l x x 0 + x x 0 Es decir, cuando tenga los dos límites laterales y ambos coincidan. Hay que tener en cuenta que este límite no tiene porqué ser un número, si no que puede ser + o, como pasaba con las sucesiones. Ejercicio 2: Calcular, si se puede, los siguientes límites: a) x 2 x 3 b) x 0 x c) x 0 x d) x 5 x 3 + x 2 e) x 3 f(x), con f(x) = { x2 + 3x 6 si x 3 x + 9 si x > 3 f) x 3 f(x), con f(x) = { x2 + 3x 6 si x 3 x 9 si x > 3
5 2.2 Cálculo del límite en un punto A pesar de que hablar de sucesiones nos permite tratar los límites con más rigor, lo cierto es que en la práctica la mayor parte de los límites de las funciones que manejáis están previamente calculados. Así pues, para calcular el límite de las funciones exponenciales, polinómicas, logarítmicas o racionales en un punto del dominio, basta con sustituir en la función el punto que quieres conocer el límite. x 3 x3 2x 2 5x + 7 = = x 5 2x = 2 5 = 32 x x 2 x + 3 = 2 5 Gráfica de la función x 3 2x 2 5x + 7. Resaltado el valor en x = 3 Ejercicio 3: Dibuja con GeoGebra las gráficas de las otras funciones de ejemplo. Cuánto valen en los puntos a los que se aproxima?
6 Ejercicio 4: Vuelve a hacer los límites a, c y d del Ejercicio 2. Ejercicio 5: Calcula los siguientes límites a) x2 +3x 6 x 2 x+7 b) 9 x c) e x + x 2 6 x x 0 2 Otra pregunta a hacerse es qué es lo que ocurre en las funciones definidas a trozos. En cada trozo, el límite se calculará como se ha visto previamente. Solamente tienes que tener cuidado en los puntos de unión de los trozos. En ese caso, tendrás que calcular los límites laterales de cada trozo. Si coinciden, hay límite. Veamos un ejemplo con la siguiente función x < f(x) = { x 2 x < 2 x Como hemos dicho antes, nos interesa saber qué es lo que pasa en x = y en x =. x=- f(x) = = x x f(x) = x + x x2 = ( ) 2 = Como ambos límites coinciden, la función tiene límite en x =, y es x f(x) = x= f(x) = x x x2 = 2 = f(x) = 2 = 2 x + x Como ambos límites no coinciden, la función no tiene límite en x =. Veamos una imagen de esta función, para observar qué ha ocurrido en los puntos de corte.
7 A la izquierda de x =, la función vale de manera constante (función naranja). A la derecha de x =, la función es x 2 (función verde), que tiende a cuando la x tiende a. Por eso la función se pega bien en x =. Por el contrario, en x =, por la izquierda la función tiende a y por la derecha vale constantemente 2 (la función azul). Ese es el motivo por el que hay un salto en x =. Ejercicio 6: Calcula los límites de las siguientes funciones a trozos en los puntos de unión de los trozos e x + 2 x < 0 a) f(x) = { 5 x = 0 x + 3 x > 0 x x < 3 b) f(x) = x x < 2 { log(x ) x > 2 x < 2 c) f(x) = { x 2 e x 3 x Continuidad Hasta ahora se ha visto la continuidad de funciones de manera intuitiva. Probablemente se haya definido como una función que se puede dibujar sin separar el boli del papel. Esto tiene varios problemas. El primero, y más importante, es que necesitas ver la función dibujada para saber si es continua o no. El segundo es que el concepto de continuidad realmente se asocia a puntos del dominio y no a la función. El concepto de límite nos permite hacer una definición en referencia a un punto.
8 Definición: una función f(x) es continua en x 0, punto del dominio de f(x), si se cumple simultáneamente i) Que exista f(x 0 ) ii) Que exista f(x) = f(x) = l x x 0 x x+ 0 iii) Que f(x 0 ) = l Así pues, con lo visto anteriormente, sabemos que las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y racionales son continuas en su dominio de definición. En las funciones a trozos, hay que tener mucho cuidado en los puntos de unión de los trozos. Ejercicio 7: A la vista de lo visto en este apartado, dónde serán y no serán continuas las funciones del Ejercicio 5? Asociado al concepto de continuidad, está el de discontinuidad y los diferentes tipos de la misma. - Si existe el x x0 f(x). En este caso hay una discontinuidad evitable. En este caso pueden ocurrir dos cosas.. Que no exista la función en ese punto. 2. Que la función en ese punto valga distinto que el valor del límite Discontinuidad evitable tipo 2 Discontinuidad evitable tipo - Si no existe x x0 f(x) o no es un número (± ), es una discontinuidad inevitable. Puede ser de dos tipos. Si f(x) = a y f(x) = b no existe el límite, y nos encontramos con una x x 0 x x+ 0 discontinuidad de salto finito. 2. Si f(x) = ± o f(x) = ±, hay una discontinuidad de salto infinito. x x 0 x x+ 0
9 Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito 2.4 Operaciones con límites Hay ciertas operaciones que podemos hacer con los límites, que simplifican los cálculos de los límites. Veamos cuáles son: Suma: [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) x x 0 x x0 x x0 Producto: Cociente: f(x) g(x) = f(x) g(x) x x 0 x x0 x x0 f(x) f(x) x x 0 g(x) = x x0 g(x) x x 0 si x x0 g(x) 0 Potencia: f(x) g(x) = f(x) g(x) x x0 x x 0 x x0 Composición: g(f(x)) = g ( f(x)) x x 0 x x0
10 2.5 Operaciones con infinitos En las operaciones vistas anteriormente, puede ocurrir que algunos de los límites sean ±. Veamos qué ocurriría en esos casos ± k = + = = Indeterminación (±k) = ± si k 0 + si k es par y k > 0 (± ) k = { ± si k es impar y k > 0 0 si k < 0 = ± ± = Indeterminación k ± = 0 k = 0 = Indeterminación k + si k > = { 0 si 0 < k < k 0 si k > = { si k < = Indeterminación Como veis, hay cuatro operaciones que generan una indeterminación. De momento no os preocupéis por qué es eso. Se verá con más profundidad más adelante. 3. Límite de una función en el infinito Hasta ahora hemos visto qué les pasa a los funciones cuando nos aproximamos a un punto. Ahora nos preguntamos, qué les pasa a las funciones cuando aumenta mucho la x? Y cuando disminuye? Eso es lo que se conoce como el comportamiento de la función en el infinito. Es similar a la idea del límite de sucesiones. Para calcular estos límites, basta con sustituir en la función x por (o, dependiendo del caso). Una vez hecha la sustitución, basta observar en la tabla del apartado 2.4 y ver qué resultado tiene.
11 Veamos algunos ejemplos x + x2 + 6 = (+ ) = = + x x2 + 6 = ( ) = = + Viendo la gráfica, cómo interpretas estos límites? Veamos otros ejemplos: x + x 2 = = 0 x x3 6 = ( ) 3 6 = 6 = Gráfica de x Para ver un poco mejor cómo funciona, es recomendable usar el Geogebra para dibujar las gráficas y observar qué va ocurriendo conforme aumenta la x. Ejercicio 8: Calcula los siguientes límites a) x + x b) x ex c) x + x d) x x5 e) x x5 4. Indeterminaciones Cuando hemos visto el comportamiento de las funciones en el infinito, hemos observado que había varias indeterminaciones. Ahora bien, qué es esto? Una indeterminación es, básicamente, una operación matemática cuya realización no tiene sentido o puede dar lugar a problemas. Pero, si bien la realización de esa operación no se puede llevar a cabo, sí que cabe preguntarse qué ocurrirá cuando la función tienda a ese punto que genera la indeterminación. A continuación veremos los casos de indeterminaciones que se verán en este curso. 0 0 Esta indeterminación, normalmente, suele ser causada por un cociente de polinomios o un cociente de raíces, en el límite donde se anulan el numerador y el denominador. Por ejemplo x 2 4 x 2 x 2 x x x 2 + x 2
12 x 2 + x 3 3 x 3 x + 2 El primer caso, cociente de polinomios, se resuelve tratando de sacar el factor (x x 0 ) o (x 0 x). Es decir, x 2 4 = (x + 2)(x 2), luego x 2 4 x 2 x 2 = (x + 2) (x 2) = (x + 2) = 4 x 2 (x 2) x 2 Gráfica de x2 4 x 2 En los dos últimos casos, se introduce una raíz. En caso de haber también un polinomio, con el polinomio se hace lo mismo que en el ejemplo anterior. Para las raíces, se multiplica y divide por el conjugado. Veamos, a modo de ejemplo, el segundo límite propuesto arriba x x x 2 + x 2 = ( x + 3 2)( x ) x (x ) (x + 2) ( x ) = x = x (x ) (x + 2) = (x ) x (x ) (x + 2) ( x ) = = x (x + 2) ( x ) = 2
13 La mayor parte de las situaciones que generan estas indeterminaciones son de cocientes de polinomios. El comportamiento de estas funciones en el infinito depende de lo rápido que el numerador y el denominador tiende a infinito. En el caso de los polinomios, siempre tiende más rápido el polinomio de mayor grado. Sabiendo eso, la regla para saber qué pasa con estos límites es simple. Si tenemos x ±. Si el grado de p(x) > el grado de q(x), p(x) q(x) p(x) x ± q(x) signo de los coeficientes directores de p y q. 2. Si el grado de q(x) > el grado de p(x), x ± 3. Si el grado de p(x) = el grado de q(x), p(x) x ± q(x) = ±. El signo del límite depende del q(x) = 0. p(x) = cociente de los coeficientes directores Bastará, en general, con coger el coeficiente director de cada polinomio y aplicar lo anterior. Puede ocurrir también que en lugar de un polinomio, haya una raíz en el numerador o en el m denominador (o en ambos). En este caso, basta con considerar x n anterior. = x n m, y aplicar lo Estas indeterminaciones pueden venir de una diferencia de cocientes de la indeterminación anterior, o una diferencia de raíces. En el primer caso, basta con juntar los cocientes en un único cociente. Veamos un ejemplo: x x + x 2 x2 + x x + = (x 2 + 3) (x + ) (x 2 + x) (x 2) = x + (x 2) (x + ) 2x 2 + 5x + = x + x 2 x 2 = 2x 2 x + x 2 = 2 En el segundo caso, hay que multiplicar y dividir por el conjugado. Veamos un ejemplo x + 3 x + 5 = ( x + 3 x + 5) ( x x + 5) = x + x + ( x x + 5) x + x + 3 x 5 ( x x + 5) = x + 2 ( x x + 5) = 2 + = 2 = 0
14 ± Esta indeterminación probablemente sea la más delicada de todas. Para resolverlo, usaremos la siguiente propiedad: Sabiendo esto, si queremos calcular Si x x0 f(x) = +, entonces ( + f(x) x x 0 f(x) ) = e f(x) g(x) x x 0 Y nos da una indeterminación de, tenemos que hacer lo siguiente.. Sumamos y restamos uno en la base: 2. Hacemos la inversa de f(x) ( + f(x) ) g(x) x x 0 ( + x x 0 ) f(x) 3. Elevamos al denominador y a su inverso ( + x x 0 ( ) f(x) f(x) ) = ex x0 g(x) (f(x) ) g(x) g(x) (f(x) ) x x0 Así pues, en resumen, esta indeterminación se resuelve siempre con la siguiente fórmula: = f(x) g(x) = e g(x) (f(x) ) x x0 x x 0 Veamos un ejemplo de esto. Si tenemos el límite: (2x + x x + 2 ) x =
15 Al sustituir por la x y hacer el límite. Ahora, sumamos y restamos uno dentro del paréntesis: 2x + ( + x x + 2 ) x Juntamos la fracción en una sola: x ( + x x + 2 ) x Ahora, sustituimos el x x+2 por el inverso del inverso, es decir: ( + x x + 2 x Ahora, elevamos todo al numerado y a su inversa, y usamos la propiedad de que el límite de la potencia es la potencia de los límites, y nos queda: ) x Y por lo visto anteriormente, x ( + ) x + 2 [ x x+2 x ] x x x+2 x Luego ( + x x + 2 x ) x+2 x = e (2x + x x + 2 ) x = ex x+2 = e 3 3 = e
16 Ejercicio 9: Resuelve los siguientes límites a) 4 x2 x 2 3 x 2 +5 d) ( x+2 ) x 2 x 2 2x 3x b) 2 + x + x+3 e) )x+ x + (2x+ 2x 3x c) 2 +3x x + x 2 f) +2x+ x + ( 3x2 2x+7 ) g) x + 4x2 3x + 7 2x h) x 2 x3 4x x 2 3x+2 5. Asíntotas En cursos anteriores se ha hablado algunas veces de que las funciones presentan asíntotas, pero qué es esto? Por expresarlo de una manera sencilla, una asíntota es una recta a la que la función se aproxima hasta tocarse en el infinito. Este tipo de rectas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas. 5. Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales son rectas del tipo y = k, con k un número, a las cuales la función se va aproximando indefinidamente en el infinito o en el menos infinito. Para calcular las asíntotas horizontales de una función f(x), basta con calcular los límites en el infinito y ver si da como resultado un número Por ejemplo, para la función f(x) = k x + f(x) = k x Entonces f(x) = 6x3 x 2x 3 + x 2 x + 6x 3 x 2x 3 + x 2 = 6 2 = 3
17 x 6x 3 x 2x 3 + x 2 = 6 2 = 3 Luego la función se aproxima a la recta y = 3 cuando tiende a + y a. Veamos el dibujo: Como se puede apreciar, la función verde se aproxima a la recta y = 3 cuando la x se hace muy grande o muy pequeña. 5.2 Asíntotas verticales Las asíntotas verticales son rectas del tipo x = k, con k un número. Para ver qué rectas son asíntotas horizontales, hay que mirar los puntos k tales que f(x) = ± x k Entonces, la función x = k es una asíntota vertical de f(x). Hay que destacar que aquí basta con que uno de los límites laterales se vaya a infinito, de manera que habrá una asíntota vertical aunque no exista el límite. Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos la función x2 f(x) = x 2
18 Sabemos que en un cociente de polinomios, las raíces del denominador pueden hacer que la función se vaya a ±. Así pues: Luego las raíces son ±. Así: x 2 = (x + ) (x ) x 2 x + x 2 = + x 2 x x 2 = x 2 x + x 2 = x 2 x x 2 = + Así pues, la función f(x) presenta dos asíntotas verticales, que son x =, x =. Veamos el dibujo. Como se puede ver, la función se aproxima a x = y x = tanto como se quiera. Ejercicio 0: En la función del ejercicio anterior hay una asíntota horizontal, podrías calcular cuál es?
19 5.3 Asíntotas oblicuas Las asíntotas oblicuas son rectas del estilo y = mx + n, a las que la recta se aproxima tanto como se quiera. Para calcular las asíntotas oblicuas, hay que calcular el siguiente límite: f(x) m = x x n = x (f(x) m x) De manera que para saber si la función tiene o no una asíntota oblicua, basta con calcular los límites f(x) x x Veamos un ejemplo. Sea f(x) (f(x) m x) x f(x) = x2 + 2 x 2 Entonces: f(x) m = x x = x x x 2 x = x x x 2 2x = n = ( x m x) = x x 2 x (x2 x 2 x) = = x ( 2x + 2 x 2 ) = 2
20 De manera que la recta y = mx + n = x + 2 es una asíntota oblicua. Veamos la gráfica Ejercicio : La gráfica del ejemplo anterior tiene una asíntota vertical. Podrías indicar cuál es? Por qué? Ejercicio 2: Calculas las diferentes asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = x3 b) f(x) = x4 + x2 c) f(x) = (x ) 2 2 x 2 x d) f(x) = x +x 2 e) f(x) = x2 3x+2 x 2 + f) f(x) = x2 x 2 g) f(x) = e x h) f(x) = (x ) e x i) f(x) = ln(x) x
CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,
RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan
Más detallestiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x
UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos
Más detallesTema II: Análisis Límites
Tema II: Análisis Límites En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, decimos que existe el límite
Más detallesLímite de una función
Idea intuitiva de límite Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesLímites y continuidad de funciones
Límites y continuidad de funciones 1 Definiciónde límite Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan los valores de la función cuando x se aproxima al valor de a. lím
Más detallesAPUNTES. Obtención del dominio de las funciones:
Materia: Tema: Curso: APUNTES Obtención del dominio de las funciones: - Si f(x) es una constante, la función no presentará problema alguno, el dominio será todos los puntos pertenecientes al conjunto de
Más detallesLímites y continuidad de funciones reales de variable real
Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesUNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2
UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES 1.- CONCEPTO INTUITIVO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES. Otros ejemplos:
LÍMITES DE FUNCIONES 1.- CONCEPTO INTUITIVO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES. Otros ejemplos: lim f(x) = L ε > 0 δ > 0 / x a < δ f(x) L < ε x a Nótese que la idea de
Más detallesLímites y continuidad 1º Bachillerato ELABORADO CON EDITORIAL SM
Límites y continuidad º Bachillerato ELABORADO CON EDITORIAL SM FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL: EJEMPLO I La fórmula f(x)=x 2 relaciona dos variables reales R Dominio 2 2,3 5 f(x) = x 2 f(2) = 4 f(2,3)
Más detallesLímites y continuidad
Límites y continuidad Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia. Sin límites el cálculo sencillamente
Más detallesINTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función
Más detallesel blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha)
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos.
Más detallesDenominadores: un denominador nunca se puede hacer cero. Ejemplo: 𝑓 𝑥 =
1. Continuidad de funciones. Una función es continua en 𝑥 = 𝑎, si se cumple: Existe 𝑓(𝑎). lim!! 𝑓 𝑥 = lim!!! 𝑓(𝑥) = lim!!! 𝑓 𝑥 𝒇 𝒂 = 𝐥𝐢𝐦𝒙 𝒂 𝒇 𝒙 Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático
Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de
Más detallesLímites. Continuidad.
Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Límite finito cuando x tiende a infinito (1) Límite finito cuando x tiende a infinito (2) Se dice que el límite de la función f(x) cuando
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 4 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
Límite de funciones. Cálculo Propiedades. Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces: En general calcular el límite de una función "normal", cuando
Más detallesLímite de una función
Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden
Más detallesASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN La gráfica de una función elemental puede presentar ninguna una o varias asíntotas verticales y además puede presentar a lo sumo una asíntota horizontal o una asíntota
Más detallesDEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):
1 FUNCIONES ELEMENTALES CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x): Lo denotamos por : f : Dom -----> R x
Más detallesLímite de una Función
Cálculo _Comisión Año 06 Límite de una Función I) Límite Finito Muchas veces interesa analizar el comportamiento de los valores de una función, para valores de la variable independiente cercanos a uno
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos la función: f Su gráfica: si < si > Si toma valores próimos a, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,,
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES GBG
LÍMITES DE FUNCIONES GBG - 010 1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función real de variable real y a un punto de acumulación del dominio de f. de elementos del Decimos que f = L si y sólo si
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad
accés a la universitat dels majors de anys acceso a la universidad de los mayores de años UNIDAD DIDÁCTICA 9: Límites y continuidad ÍNDICE Concepto de límite de una función en un punto. Indeterminaciones.
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
Más detallesLímites y Continuidad
Tema 2 Límites y Continuidad Introducción En este tema se trata el concepto de límite de una función real de variable real y sus propiedades, así como algunas de las técnicas fundamentales para el cálculo
Más detallesLo mismo pero más veces. Lo que estamos aplicando ahí se llama algebra de límites en particular lo que dice es: lim lim lim
Resolución de límites: Algunos de los casos más comunes que trabajaremos se muestran a continuación como una ayuda de memoria. Es cierto que existen otros casos pero no los verás en este curso. No los
Más detallesCálculo I. Índice Límites Infinitos. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Límites infinitos Límites en el infinito 9
2.3. Límites Infinitos Julio C. Carrillo E. * Índice. Introducción 2. Límites infinitos 3. Límites en el infinito 9 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS. . Introducción En esta sección se discuten dos
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad
y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales
Más detalles10. LIMITES DE FUNCIONES
10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función no está definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos Taller matemático 1/12 Definición de límite
Más detallesInfinito más un número Infinito más infinito. Infinito por infinito. OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito. Productos con infinito
OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detalles1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar
Más detallesPor lo tanto, ya vemos que lo de dentro del valor absoluto será:
Dada la función continua: f(x) = (x + 6x + 3 x (2 x) ) e a. Reescribid f(x) como a una función definida a trozos. b. Calculad su derivada, por trozos, y encontrad los extremos relativos de la función.
Más detallesContinuidad de funciones
Apuntes Tema 3 Continuidad de funciones 3.1 Continuidad de funciones Def.: Dada una función f(x), diremos que es continua en x = a, si cumple la siguiente condición: En caso de que no cumpla esta condición,
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesSe desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.
Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
Más detallesTEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD
TEMA 6 LÍMITE Y CONTINUIDAD 6.. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. Dada la función f() = 2, a qué valor se aproima f() cuando se aproima a 2? Dada la función f() =?, a qué valor se aproima f() cuando
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES Índice: 1.Funciones reales de variable real-------------------------------------------------------------- 1 2. Límites de sucesiones----------------------------------------------------------------------------
Más detalles1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:
LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función
Más detalles2º) El límite de la función f(x)=x, tanto en - como en + : Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en + :
LÍMITES LECCIÓN 6 Índice: Cálculo de ites en el infinito. Epresión indeterminada -. Epresión indeterminada /. Epresión indeterminada 0. Epresión indeterminada ±. Límites de sucesiones. Cálculo de ites
Más detalles2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)
Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes
Más detallesTema III. Funciones de varias variables
1 Tema III Funciones de varias variables 1. INTRODUCCIÓN Vamos a estudiar funciones de ciertos subconjuntos de R n en R m. En los temas anteriores nos hemos centrado en aplicaciones lineales y hemos trabajado
Más detallesLímite de una función
Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesFunciones, límites y continuidad
8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O 0 1 5-0 1 6 Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido.
Más detallesApellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.
EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula
Más detallesGráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0
Funciones continuas Funciones continuas Continuidad de una función Si x 0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función
Más detallesLímite y continuidad de una función
UNIDAD Límite y continuidad de una función E n esta Unidad, de forma descriptiva, sin usar un aparato matemático ecesivamente riguroso, aunque manejando la notación habitual, se introduce el cálculo infinitesimal:
Más detallesApuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detallesUniversidad de Sonora
Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas. Notas: Límites y Continuidad Dr. José Luis Díaz Gómez 2003 Límites y Continuidad de funciones 1. EL PROCESO DEL LÍMITE Mediante gráficos y tablas de valores
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE I
UNIDAD DE APRENDIZAJE I Saberes procedimentales 1. Define en forma correcta el concepto de desigualdad y el de valor absoluto. 2. Explica la diferencia entre constante, parámetro y variable. 3. Define
Más detallesIntegral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,
Más detalleslim lim lim LÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor de a. Lo veremos con un ejemplo: EJEMPLO 1: Sea
Más detallesUNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesLímites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.
y continuidad. Teoremas sobre continuidad. Juan Ruiz 1 Marcos Marvá 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Contenidos Introducción 1 Introducción 2 3 4 Outline Introducción
Más detallesTEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Más detallesUNIDAD I LÍMITES Y CONTINUIDAD
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD I LÍMITES Y CONTINUIDAD Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Ciudad Ojeda, Enero de 2016 UNIDAD
Más detalles4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Más detallesLímites de funciones
Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las
Más detalles= +1. A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos.
Ejemplo 1 Dibujar la función: = +1 A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos. Dominio Puntos de corte con los ejes Simetría Asíntotas Crecimiento decrecimiento/máximos
Más detallesen su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h =
RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.:
Más detallesFunciones Racionales y Asíntotas
y Asíntotas Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2 y Asíntotas Tabla de Contenido 1 Asíntotas de :Asíntotas Asíntotas Verticales y Asíntotas Horizontales y Asíntotas Asíntotas de :Asíntotas Definición:
Más detallesUna función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor
RESUMEN TEORÍA FUNCIONES: 4º ESO Op. B DEFINICIONES: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesFunciones Racionales y Asíntotas
Funciones Racionales y Carlos A. Rivera-Morales Precálculo II Funciones Racionales y Tabla de Contenido 1 2 3 Verticales y Horizontales Funciones Racionales y : Contenido Discutiremos: qué es una función
Más detallesINSTITUTO TECNICO MARIA INMACULA ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: 11 AÑO 2013
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesI. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades. lim =
Ejercicios resueltos I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades ) 3 + 2 4 3 + 2 4 = (2) 3 + 2 (2) 2 - (2) - 4 Sustituir la por el 2 = 8 + 8-2 - 4 = 0 Aplicar límite a cada término
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesEjercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016
Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 016 Ejercicio 1. Calcula los siguientes ites: x 5x 1. x + x + 1 x 1 x. x x. x + x + 1 x x 4. x 0 x cos x sen x x Solución: 1. Indeterminación del tipo. Tenemos:
Más detalles1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resolución Nº 88 de noviembre.8/ Secretaria De Educación Distrital REGISTRO DANE Nº-99 Teléfono 6 Barrio Bastidas Santa Marta DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Más detallesTitulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Año escolar: 4to. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico:
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesTEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES
TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES Contenido 1. Definición y formas de definir una función 2 1.1. Definición de función 2 1.2. Formas de definir la función: 4 1.2.1. A partir de una representación gráfica
Más detalles1º Bachillerato Capítulo 4: Límites y continuidad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I º Bachillerato Capítulo 4: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela. 55 Índice. LÍMITES.. CONCEPTO
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE El concepto de derivada. Relación entre continuidad y derivabilidad. Función derivada. Operaciones con derivadas. Derivación de las funciones
Más detallesREGLA DE L'HÔPITAL. En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e
REGLA DE L'HÔPITAL En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e y se aprenden los artificios necesarios para resolverlas. Generalmente, surgen en límites de
Más detallesEJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN
MATRICES Y DETERMINANTES 1.) Sean las matrices: EJERCICIOS REPASO 2ª EVALUACIÓN a) Encuentre el valor o valores de x de forma que b) Igualmente para que c) Determine x para que 2.) Dadas las matrices:
Más detallesT2. Teorema fundamental del cálculo Parte II. Regla de Barrow. Enunciar y demostrar.
EXAMEN TEÓRICO FINAL I T1. Dado y = f(x). Definir función continua en un punto, en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado. T2. Teorema fundamental del cálculo Parte II. Regla de Barrow. Enunciar
Más detallesProblemas Tema 2 Solución a problemas de Límite y Continuidad - Hoja 20 - Todos resueltos
página /0 Problemas Tema 2 Solución a problemas de Límite y Continuidad - Hoja 20 - Todos resueltos Hoja 20. Problema. Sabiendo que x 0 x cos(2 x)+b sen( x) 4 x 2 es finito, calcula b y el valor del límite.
Más detalles01. Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos. 02. Interpreta raíces y las relaciona con su notación exponencial.
2.6 Criterios específicos de evaluación. 01. Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos. 02. Interpreta raíces y las relaciona con su notación exponencial. 03. Conoce la definición
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesLímite de funciones. Por otra parte se dice que una función es discontínua si para algún (os) valor (es) de x no existe valor de y.
Límite de funciones El concepto de límite se explica y define desde diferentes perspectivas en los libros de cálculo. Se habla por ejemplo del límite de una sucesión (como ya se explicó), o bien del límite
Más detallesTema 3. Calculo de primitivas (2ª parte)
Tema 3. Calculo de primitivas (2ª parte) Este tema es una continuación del anterior y está dedicado al estudio de los métodos de integración adecuados a la resolución de dos tipos de integrales concretas:
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesTema 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1 Tema LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) 4 en el punto = Para ello, damos a valores
Más detallesPROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD (MÉTODOS ALGEBRAICOS) lím. lím. Las descomposiciones factoriales se hacen dividiendo sucesivamente por x + 2.
PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD MÉTODOS ALGEBRAICOS) Cálculo de ites or métodos algebraicos Resuelve los siguientes ites: a) 8 b) 8 c) a) ) ) 6) ) 8 Se reite el roceso) ) ) ) ) Las descomosiciones factoriales
Más detallesLímites y continuidad. Cálculo 1
Límites y continuidad Cálculo 1 Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Más detallesDEFINICIÓN DE LÍMITE Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a (salvo posiblemente en ) y un número real. La afirmación : ( )
DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a (salvo posiblemente en ) y un número real. La afirmación : Significa que para todo existe un tal que si Entonces. TEOREMA
Más detallesLímites y continuidad
Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces
Más detallesLímites y continuidad
9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,
Más detalles