4. Funciones racionales. e irracionales

Transcripción

1 4. Funciones racionales e irracionales

2 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I. Hipérbolas: tendencias y asíntotas. Fracciones algebraicas. Funciones definidas a trozos 4. Funciones raíz 5. Ecuaciones irracionales 60

3 Funciones racionales e irracionales. HIPÉRBOLAS: TENDENCIAS Y ASÍNTOTAS LA PALANCA La palanca es un dispositivo mecánico que consiste en una barra rígida apoyada sobre un eje, alrededor del cual puede girar. Si el brazo largo es de longitud doble que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es doble que el que levanta el brazo largo. Si el brazo largo es de longitud triple que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es triple que el que levanta el brazo largo. a) En general, si a y b son las longitudes de cada brazo de la palanca, y m y n los pesos respectivos en sus etremos, escribe la relación que hay entre a, b, m y n. b) Imagina que a= metro y m= kg. Escribe la relación entre b y n. Dibuja una gráfica que muestre la variación de n al variar b. Toca la gráfica a los ejes de coordenadas?. VELOCIDAD CONSTANTE Un vehículo debe recorrer 80 km a velocidad constante. Busca una fórmula que relacione la velocidad V con el tiempo T. Representa gráficamente esta relación dando a T los valores oportunos. ÁREA CONSTANTE Un rectángulo de base cm. tiene 5 cm de superficie. Epresa la altura Y del rectángulo en función de la base y representa gráficamente esta relación funcional. HIPÉRBOLAS a) Dibuja la gráfica de la función y para valores positivos y negativos de. Qué le ocurre a la función para valores de alejados de cero (tanto positivos como negativos)?. Y para valores de próimos a cero (por la derecha y por la izquierda)? 6

4 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I La gráfica obtenida para la función siguientes propiedades: y se llama HIPÉRBOLA EQUILÁTERA y tiene las ) Es simétrica respecto del origen de coordenadas (se trata de una función impar). ) Presenta un salto infinito en =0. No es continua en =0. Es discontinua en =0. ) Dom(f)=R{0}=(, 0) (0, +). 4) Cuando tiende a 0 por la derecha, los valores de y son cada vez más grandes y positivos; mientras que cuando tiende a 0 por la izquierda, los valores de y son cada vez más grandes y negativos. Se epresa esto de la siguiente forma: Si 0 +, entonces y + Si 0, entonces y Se escribe: lim 0 y lim 0 Se dice que la recta =0 (eje de ordenadas) es ASÍNTOTA VERTICAL de la curva. 5) Para valores de alejados de 0 y positivos, los valores de y son cada vez más pequeños y positivos, es decir tienden a 0 por la derecha; mientras que para valores de alejados de 0 y negativos, los valores de y son cada vez más pequeños y negativos, es decir tienden a 0 por la izquierda. Se epresa esto de la siguiente forma: Si +, entonces y 0 + Si, entonces y 0 Se escribe: lim 0 y lim 0 Se dice que la recta y = 0 (eje de abcisas) es ASÍNTOTA HORIZONTAL de la curva. Una ASÍNTOTA es una recta hacia la cual se acerca más y más la curva (se dice que la curva "tiende" a la asíntota). 6) Es decreciente en todo su dominio y no tiene máimos ni mínimos. 6

5 Funciones racionales e irracionales 5 b) Utilizando la gráfica de la función y, dibuja la gráfica de la función y completo de estas funciones, indicando crecimiento, decrecimiento, asíntotas,. Haz un estudio 5 La división de polinomios da de cociente y de recto. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO, tenemos que: 5 5 y Por tanto, para dibujar la gráfica hemos de seguir los siguientes pasos: ) Dibujar la gráfica de y. ) Trasladar la gráfica anterior unidades hacia la derecha, dibujando así la función y. ) Dibujar la simétrica respecto del eje OX, esto es, y. 4) Trasladar la gráfica anterior unidad hacia arriba, obteniendo así y 6

6 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I GRAFICAS a) Representa gráficamente las siguientes funciones: y = ; 6 y =. 5 b) Representa gráficamente las siguientes funciones: y = + 5 ; y =. La gráfica de la función y = a propiedades: es una curva llamada hipérbola que tiene las siguientes ) No eiste para = 0, es decir su dominio es R-{ 0 }=(, ) ) Para valores de cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha) los valores de y se hacen cada vez mayores y positivos (o negativos), lo que se epresa así: Si 0 + entonces y + (y - ) Si 0 - entonces y - (y + ) Se dice que la recta = 0 (eje de las y) es asíntota vertical de la curva. ) Para valores de alejados de 0 (por la izquierda y por la derecha), los valores de y se hacen cada vez más cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha); se epresa así: + - Si + entonces y 0 (y 0 ) - + Si - entonces y 0 (y 0 ) Se dice que la recta y = 0 (eje de las ) es una asíntota horizontal de la curva. HIPÉRBOLAS Para dibujar la gráfica de la función y = a + c empezamos dibujando la gráfica de + b y = a. A continuación trasladamos esta gráfica b unidades hacia la izquierda, obteniendo la gráfica de y = a. Por último, trasladamos esta segunda gráfica c unidades hacia arriba, + b obteniendo como resultado la gráfica buscada. El dominio de la función es R { b}=(, b)(b, ) Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = b) y =

7 Funciones racionales e irracionales FUNCIONES HOMOGRAFICAS Las funciones de la forma y = a + b se llaman funciones homográficas. Antes de c + d dibujar la gráfica, efectuamos el cociente de polinomios, obteniendo como cociente un número m y como resto un número n. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO=DIVISOR COCIENTE + RESTO, podemos escribir: + n a +b =m c+ d de donde: a + b c + d = m + n c + d n La gráfica de la función inicial coincide con la de la función y = m +. Para dibujar c + d esta, seguieremos los mismos pasos que en el problema anterior, representando inicialmente la función y = n y trasladándola d unidades hacia la izquierda y m unidades c hacia la derecha. El dominio de la función homográfica y = a + b se obtiene hallando los valores de que c + d d anulan el denominador, en este caso = -. Por lo tanto el dominio es R { d / c }. c Dibuja las gráficas de las funciones: MÁS HIPÉRBOLAS + a) y = + + b) y = Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = 4 b) y = 4 c) y = 4 - d) y = 4 + e) y = - + DOMINIO Y ASÍNTOTAS Para determinar el dominio de una función racional f () = p() hallaremos los valores q() de que anulan el denominador, resolviendo la ecuación q() = 0, es decir hallando las raices del polinomio q(). Para dichos valores de la función no está definida. Asíntotas verticales: Se determinan hallando los valores de que anulan el denominador. Por ejemplo, la función y = 4 tiene como asíntota vertical la recta de ecuación = 0 (eje de ordenadas), ya que se cumple: Si 0 +, entonces y + y si 0 -, entonces y -. Asíntotas horizontales: Se determinan estudiando el comportamiento de la función para valores de alejados de 0. La recta de ecuación y = a es una ásíntota horizontal de la función si: cuando + y cuando -, ocurre que y a + o bien y a -. Por ejemplo, la función y = tiene como asíntota horizontal la recta y =, ya que si + +, y - y si -, y +. 65

8 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Asintotas oblícuas: Se determinan también estudiando el comportamiento de la función para valores de alejados de 0. Para hallar las asíntotas oblicuas de la función y =, + empezamos efectuando la división de polinomios, obteniendo - como cociente y resto. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO, resulta = + - +, de donde obtenemos: y = = Para valores de alejados de 0, el cociente tiende a 0, de forma que la función se + comporta como la recta y = -, ya que se acerca a ella cada vez más. Decimos entonces que la recta de ecuación y = - es una asíntota oblícua de la curva. Una función racional no está definida para aquellos valores de que anulan el denominador. Por tanto, para hallar el dominio de una función racional hay que obtener las raíces del denominador. El dominio estará formado por todos los números reales que no sean raíces del denominador. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones. Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si tienen: + a) y = b) y = - 4 c) y = + 4 d) y = - e) y = - f) y = - 4 g) g() = 5-4 h) h() = i)y = - j) y = k) p() = - EQUILIBRIO Las funciones de oferta, q = S(p), y demanda, q = D(p), que determinan la cantidad q para un producto, en función del precio p, son respectivamente: S(p) = p 0 D(p) = p a) Encuentra el precio de equilibrio (cuando la oferta y la demanda se igualan) y el correspondiente número de unidades demandadas. b) Dibuja las gráficas en el mismo sistema de ejes cartesianos. POBLACION Se estima que el movimiento de la población de una comunidad urbana obedecerá a la función: P(t) = , donde t se mide en años y P(t) es el número de habitantes. t a) Cuál es el significado de P(0)?. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Es acotada?. c) Representa gráficamente la función. 66

9 Funciones racionales e irracionales DEMANDA La función de demanda de cierto producto es D(p) =00+ 50, donde D es el número de artículos p 0 demandados y p el precio unitario, que siempre es superior a 0 y alcanza, a lo sumo, 0. Dibuja la gráfica de la función y estudia sus características. COSTE DE UN ARTICULO El coste de un determinado artículo varía según el número de unidades fabricadas, de acuerdo con la siguiente tabla: n o unidades fabricadas precio por unidad Representa gráficamente la relación precio unidad / número de unidades fabricadas. La variación del precio por unidad, es directa o inversamente proporcional al número de unidades fabricadas?. CADENA DE MONTAJE Una empresa dedicada a montajes en cadena ha determinado que la media, M(t), de montajes realizados por un trabajador sin eperiencia depende de los días de entrenamiento, de acuerdo con la función: 50 t M(t) =, donde t es el tiempo en días. t + 4 a) Cuántos montajes realizará el primer día?. Y el décimo?. Y el vigésimo?. b) Traza una gráfica aproimada de M(t). c) Conforme aumenta la eperiencia del trabajador, cómo evoluciona el número medio de montajes?. MONTAJES En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador 0 t sin eperiencia depende de los días de entrenamiento según la función: M(t) (t en días). t 4 a) Cuántos montajes realiza el primer día?. Y el décimo?. b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrenamiento?. 67

10 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I MEMORIZACIÓN En una clase de psicología se realizó el siguiente eperimento de memorización. A cada estudiante se le dio una lista de 40 palabras y un día para memorizarlas. Durante 0 días seguidos cada estudiante escribía todas las palabras de la lista que era capaz de recordar. Se halló la media de aciertos y se determinó que una buena aproimación de esta media venía dada por la función 5d 0 R() (d en días). d a) Cuántos aciertos se producen el cuarto día? Y el décimo?. b) Dibuja la gráfica de esta función y estudia sus características. c) Si el número de días sigue aumentando, qué tendencia se observa en el número de aciertos?.. FRACCIONES ALGEBRAICAS SIMPLIFICA f () Una epresión del tipo, donde f() y g() son polinomios se llama fracción g() algebraica. Una fracción algebraica solamente está definida para aquellos valores de que no anulan al denominador g(). Para simplificar una epresión algebraica se deben utilizar las técnicas conocidas de polinomios: sacar factor común, suma por diferencia, etc. Además hay que asegurarse que la simplificación se puede hacer y que no estamos dividiendo entre 0. Veamos dos ejemplos: ) = = donde hemos sacado factor común en el numerador. La simplificación es válida, siempre que ) = = + donde hemos usado que suma por diferencia es diferencia - - de cuadrados. La simplificación es válida siempre que - 0, es decir. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: + a) + b) c) d) + EQUIVALENTES Dos fracciones algebraicas q p y s r son equivalentes si p r = q s. Son equivalentes las fracciones - - y ?. Sugerencia: Factoriza previamente el numerador y el denominador de la segunda fracción y trata de simplificar dicha fracción todo lo que puedas. 68

11 Funciones racionales e irracionales COMUN DENOMINADOR Reducir dos fracciones algebraicas a común denominador consiste en transformar dichas fracciones en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Reduce a común denominador las fracciones:, - + y. - Sugerencia: Por qué epresión has de multiplicar numerador y denominador de cada fracción para que todas ellas tengan el mismo denominador?. Recuerda que suma por diferencia es diferencia de cuadrados. OPERACIONES Para efectuar sumas y restas combinadas de fracciones algebraicas, es conveniente reducirlas previamente a común denominador. Después se suman y restan los numeradores de las fracciones, dejando como denominador el denominador común. Ejemplo: Reduciendo a común denominador tenemos: = Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: = = a) + + b) c) d) SIMPLIFICA OTRA VEZ Simplifica, cuando sea posible, las siguientes fracciones algebraicas: a) b) + 6 Sugerencia: Factoriza previamente numerador y denominador de cada fracción. PRODUCTOS Y COCIENTES Para multiplicar dos fracciones algebraicas, p q, r, basta multiplicar los numeradores y los s denominadores respectivos. Así: p r q s = p r. q s Para dividir dos fracciones algebraicas, p q, r, basta multiplicar el dividendo por el inverso s del divisor. Así: p q : r s = p s q r = p s. q r 69

12 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I a) Multiplica por +. b) Multiplica por. 8 - c) Divide entre -. d) Divide entre SIMPLIFICA Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) y - y y - b) - 4 c) a 5a a d) a - b b a e) f) b b a ab OPERACIONES Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: a) 4 a a - b) - - a a c) - d) y - y : DIVISIONES Efectúa las siguientes divisiones: a) : 5 b) : - c) y : y - MÁS OPERACIONES Opera y simplifica: a) y : - b) : - 5 c) y - y ay - a : y. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS A TROZOS a) Representa gráficamente las funciones comportamiento en las cercanías del punto =. f() y, g(), si si y estudia su 70

13 Funciones racionales e irracionales Se observa que la función g() presenta un salto en el punto =, a diferencia de lo que ocurre con la función f() cuya gráfica no presenta saltos. Utilizando la calculadora, completa la tabla siguiente: '9 '99 '999 '9999 '000 '00 '0 ' f() g() En la función f() cuando tiende a, bien por la izquierda o bien por la derecha, los valores de y tienden al valor que toma la función cuando =. Se dice entonces que dicha función es continua en =. En realidad es continua para todos los valores de. En cambio, en la gráfica de g(), cuando tiende a por la izquierda, los valores de y tienden a, mientras que cuando tiende a por la derecha, los valores de y tienden a 4. Por lo tanto, la función g() no es continua en =. En general, una función y=f() es CONTINUA en =a, si cuando tiende a a, bien por la izquierda o bien por la derecha, f() tiende a f(a). En caso contrario, se dice que f() es DISCONTINUA en =a. b) Representa gráficamente las siguientes funciones y estudia en qué puntos son continuas y en qué puntos son discontinuas: ) y== valor absoluto de =,si 0,si 0 ), y, si0 si ) 4, y, si si, 4) y,, si si si 7

14 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I TROZOS Dibuja la gráfica de la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento: 0, F() =, + si 0 si > 0 MÁS TROZOS Escribe la fórmula de la siguiente función, sabiendo que el lado curvo corresponde a una función polinómica de segundo grado que tiene un mínimo en el punto (0, ). Es continua?. EL TELÉFONO Para que comience a funcionar un teléfono público se necesita una moneda de 0 céntimos; al cabo de tres minutos, para continuar la comunicación, se tiene que introducir otra moneda de 0 céntimos que permite hablar durante los tres minutos siguientes, y así sucesivamente. Haz una gráfica que nos permita ver cómo varía el precio de una llamada telefónica (Y) según su duración (X). Es continua?. GASTO MENSUAL En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(), en decenas de euros, está relacionado con sus ingresos mensuales,, en decenas de euros, a través de la siguiente función: 0'0 -, si0 00 G() = 0, si00 < + 00 a) Estudia la discontinuidad del gasto. El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores a los 000 euros?. b) Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos. c) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 50 euros. 7

15 Funciones racionales e irracionales LÍMITES Dada una función y=f(), decimos que el límite de dicha función cuando tiende a a es el número L si se cumple que: Si a +, entonces yl, lo que se escribe así: Si a, entonces yl, lo que se escribe así: Se escribe: lim f() L a lim a lim a f() L f() L Para que eista el límite es necesario y suficiente que eistan los dos límites laterales y que sean iguales a L. Es decir, debe cumplirse: lim a f() L = lim a f() Si alguno de los límites laterales no eiste, o son diferentes, entonces el límite no eiste. Puede ocurrir que a sea + o y también puede ocurrir que L sea + o. ) Dada la función y=f() cuya gráfica es la de la figura adjunta, calcula los siguientes límites: a) lim f() b) lim f() c) lim f() 0 d) f() lim 7

16 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I ) Esta es la gráfica de una función y=f(). Calcula estos límites: a) lim f() b) lim f() c) lim f() 0 d) lim f() e) lim f() TIPOS DE DISCONTINUIDADES Una función y=f() es continua en =a si cuando tiende a a, la función f() tiende a f(a), es decir, si eiste lim f() y se cumple lim f() f(a) a a Si una función es discontinua, puede presentar discontinuidades de distinto tipo: a) Discontinuidad evitable: eiste lim f() a pero no coincide con f(a). b) Discontinuidad de primera especie o finita: los límites laterales eisten, son finitos, pero son distintos. La función presenta un salto finito. c) Discontinuidad de segunda especie o infinita: alguno de los límites laterales es infinito y la función presenta un salto infinito. 74

17 Funciones racionales e irracionales TRES TROZOS Observando la gráfica, justifica los siguientes apartados: a) Tipo de discontinuidad en = y en =4. b) Eiste un a tal que lim f()?. a a c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. A TROZOS Representa gráficamente la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento: +, G() = -, si 0 si < 0 ENTRE 0 Y Estudia en el intervalo (0, ) la continuidad de la siguiente función:, f()= 0, -, si0 < < si < si < PRECIOS Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: a euro el kg si 0 <5, a 0,90 euros el kg si 5 <0, a 0,75 euros el kg si 0 <0, a 0,55 euros el kg si 0, donde es el peso en kg. Escribe la fórmula de la correspondiente función, represéntala gráficamente y estudia su continuidad. 75

18 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I TRES TROZOS Representa gráficamente las siguientes funciones: f() = +, -, - 4, si - si- si< g() = -, -, - +8, si < 0 si0 si < DESCUENTOS Un establecimiento comercial ofrece a sus clientes los siguientes descuentos: del 0 por 00 para compras de hasta cien euros; del 5 por 00 para compras superiores a esa cifra, hasta doscientos euros; del 0 por 00 para compras superiores a doscientos euros. Escribe la función correspondiente, dibuja la gráfica y estudia su continuidad. MUROS Los muros de las viviendas de una determinada urbanización se han construido con tres revestimientos aislantes dispuestos de la siguiente forma: Interior Muro 0 cm. Muro 0 cm. Muro 0 cm. Eterior vivienda vivienda de aislante A de aislante B de aislante C al aire libre Para un determinado instante de tiempo con una temperatura eterior de 5 grados centígrados la siguiente función, f(), describe la temperatura en un punto del muro situado a una distancia cm. del interior de la vivienda. f() = 0,8 +, 0,4 +8, 0,5 + 0, si0 0 cm si0 < 0 cm si0 < 0 cm a) Representa gráficamente la función f(). b) Qué material aislante soporta mayor cambio de temperatura entre sus etremos?. Por qué?. VENTA DE CAFE Un comerciante vende café de acuerdo con la siguiente tabla de precios: a) Para cantidades inferiores a Kg, el precio es de 7 euros por kilogramo. b) Para cantidades superiores a las anteriores, pero sin llegar a los 0 Kg, el precio es de 6 euros por kilogramo c) Para cantidades superiores a estas últimas, con una limitación superior de 50 Kg, el precio es de 5 euros por kilogramo. Construye la función que nos da la cantidad a pagar por la compra de café, tomando como variable el peso de café comprado. Representa gráficamente dicha función y estudia su continuidad. 76

19 Funciones racionales e irracionales 4. FUNCIONES RAÍZ RECTANGULO En un rectángulo de base y de altura 6 cm, cuál es la epresión que relaciona la diagonal con la base?. Dibuja la gráfica de esta función. RECTANGULO INSCRITO En una circunferencia de radio 0 m se inscribe un rectángulo. Epresa el área del rectángulo en función del lado de la base. Intenta dibujar la gráfica de dicha función. Cuál es su dominio?. CUADRADO Y RAIZ Dibuja en los mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones Qué relación eiste entre ambas gráficas?. f() = y g() =. MAS DOMINIOS Para hallar el dominio de una función raíz f () = g() hay que obtener los valores de para los que el radicando es positivo o nulo, g()0. Halla los dominios de las siguientes funciones: a) f() = b) y = c) y = - - d) y = - + e) m()= + f) n() = g) y = - h) y = - - i)y = DOS GRAFICAS Da toda la información posible de las siguientes funciones. Represéntalas gráficamente. a) f()= - b) f()=

20 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 5. ECUACIONES IRRACIONALES DOMINIO Y ASÍNTOTAS ) Halla el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones: a) y b) y. ) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la función: y 7 4. Llamamos ecuación irracional a la que tiene una incógnita bajo un signo radical. Consideraremos sólo las ecuaciones irracionales con radicales de indice. Distinguimos dos casos: ) Si la ecuación irracional tiene un sólo radical, se aísla éste en un miembro y luego se elevan al cuadrado los dos miembros de esta ecuación. Las soluciones obtenidas se sustituyen en la ecuación primitiva, con el objetivo de econtrar la solución verdadera. ) Si la ecuación irracional tiene dos radicales, se aísla uno de ellos en un miembro y se eleva al cuadrado. De esta forma, haciendo operaciones, obtenemos una ecuación irracional con un sólo radical y procedemos como en el caso anterior. PENDULO ) Representa gráficamente la función T L que da el periodo T de un péndulo en función de su longitud L. Es una función creciente o decreciente?. Qué ocurre si L tiende a +oo?. Tiene asíntotas?. ) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la función y. PUNTOS DE CORTE Halla los puntos de corte de la siguientes funciones con los ejes coordenados: a) y - b) y + 4 c) y d) y e) y f) y 78