FUNCIONES ELEMENTALES
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- José Ignacio Poblete Bustamante
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1 FUNCIONES ELEMENTALES LA PARÁBOLA. FUNCIONES CUADRÁTICAS. FUNCIONES A TROZOS CON RECTA Y PARÁBOLAS. HIPÉRBOLAS. FUNCIONES RADICALES. FUNCIONES EXPONENCIALES. FUNCIONES LOGARITMICAS.
2 La función =.- LA PARÁBOLA
3 CARACTERÍSTICAS DE LAS PARÁBOLAS D = R Función continua. Eje de simetría. Dos ramas. Una creciente otra decreciente. Un vértice. Máimo o mínimo.
4 Gráfica de =
5 Gráfica de =
6
7 Gráfica de =
8 Gráfica de =
9 Gráfica de =
10
11 Gráfica de =
12 Gráfica de = ,5 5,5,5,5 - -7,5 - -9,5
13 LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones que responden a la fórmula = a + b + c (con a no nulo) o funciones cuadráticas sus gráficas son parábolas. Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de ordenadas, eje OY. Las funciones cuadráticas tienen dos ramas una creciente otra decreciente. Las funciones cuadráticas tienen un máimo o un mínimo situado en el vértice de la parábola. Una parábola tiene mínimo es abierta hacia arriba si el coeficiente a es positivo mientras que si a es negativo la parábola tiene un máimo es abierta hacia abajo. Cuanto maor es a más estrecha es la parábola.
14 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Vértice de la parábola. Puntos próimos al vértice. Puntos de corte con los ejes de coordenadas. Otros puntos si con los anteriores no es suficiente.
15 Vértice de la parábola Resolviendo el sistema c a b c a b, (a b) Soluciones: =, V b a b a
16 Una vez halla la coordenada del vértice (V ), su coordenada se determina hallando la imagen de V. Para hallar puntos próimos al vértice se da a valores próimos a V.
17 Puntos de corte con los ejes: Se da a el valor cero para hallar el punto de la parábola situado sobre el eje OY. Se da a el valor cero para hallar el punto de la parábola situado sobre el eje OX. Copiad el siguiente ejemplo
18 Parábola V = V = f V,
19 Parábola Puntos próimos al vértice V( 5, -6 5)
20 Parábola Punto corte con el eje OY: =, = - Punto (,-) Puntos corte con el eje OX: =, = Soluciones: =, = - Puntos (,), (-,)
21 Parábola
22 La abscisa (coordenada ) del vértice de la parábola, = a + b + c, se calcula:v = -b/a La ordenada del vértice se obtiene hallando la imagen de V. Para hallar puntos próimos al vértice se da a valores próimos a V. Los puntos de corte con los ejes se hallan de la siguiente forma: El punto o los puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX) se halla sustituendo por cero en la epresión de la función. El punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY) se halla sustituendo por cero en la epresión de la función. Ejercicios página 5 nº.
23 RECTAS Y PARÁBOLAS Intersecciones entre rectas parábolas: 6 Los puntos de corte o intersección de rectas parábolas se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas las parábolas.
24 6 6 = -, 6 + =, + 6 =, ( 6) 5 = -, =, = 6 = - Puntos de intersección: (-, 6), (, -)
25 Ejemplos de sistemas con recta parábolas Sistema compatible con dos soluciones Sistema compatible con una solución Sistema incompatible, sin solución Ejercicios Pág. 9: ; Pág. 7: 8, 9 ; Pág. 9: 5
26 .- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Gráfica de la función = No 5 / /
27 La curva obtenida se llama hipérbola Tiene dos ramas infinitas que se aproiman al eje de abscisas (eje OX) otras dos que se aproiman al eje de ordenadas (eje OY). Por esto los ejes de coordenadas son asíntotas de la hipérbola. CARACTERÍSTICAS
28 Gráfica de = / /
29 Gráfica de = / / -
30 Gráfica de =
31 Gráficas =, a > a
32 Gráfica de = / -/ / /
33 Gráfica de = / 8 /
34 Gráfica de = / - 6 /
35 Gráfica de = / 6 8 /
36 Gráficas = a, a <
37 Las funciones que responden a la epresión = a se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Sus gráficas son hipérbolas situadas en los cuadrantes º º si a > en el º º cuadrante si a < Cuanto maor es a más separadas están las ramas de la hipérbola de origen de coordenadas. Sus dominios de definición son D = R {}
38 Funciones relacionadas con = a Gráficas de las funciones =, =, = / / -/ -/ NO / / / -/ - -/ -/ NO / -/5 -/ -/ -/ -/ -/ -/7 -/ - NO -8/9 -/5 -/ -/ -/5
39 Gráficas de las funciones =, =, = NO / 8 8/5 8/9 / / /5 / / / / /5 -/ -8 8/ 8/7 -/ - / - - NO NO - -/ - -
40 Gráficas de las funciones =, =, = NO NO NO / / - / -/ -/ -/ / / -5/ -9/
41 Gráficas de las funciones =, =, = NO NO NO / / / / / -/ / 5/ -/ 5 6 -/ - - / / 5/ - / / 7/
42 Las gráficas de las funciones = hacia la derecha, con respecto a las gráficas de = están desplazadas k unidades son las rectas = k el eje de abscisas (eje OX, = ). Las gráficas de las funciones = a k a +k hacia la izquierda, con respecto a las gráficas de = a. Sus asíntotas están desplazadas k unidades. Sus asíntotas son las rectas = -k el eje de abscisas (eje OX, = ). Las gráficas de las funciones = a +b hacia la arriba, con respecto a las gráficas de = a están desplazadas b unidades son las rectas = b el eje de ordenadas (eje OY, = ). a. Sus asíntotas
43 Las gráficas de las funciones = hacia abajo, con respecto a las gráficas de = están desplazadas b unidades las rectas = -b el eje de ordenadas (eje OY, = ). a b a. Sus asíntotas son Indica las asíntotas de las siguientes funciones 8,,,, 5 7 5
44 .- FUNCIONES RADICALES Gráfica de la función = X No No No No No
45 CARACTERÍSTICAS La curva obtenida es media parábola con el eje situado sobre el eje de abscisas, eje OX. Su dominio de definición son los números reales maores o iguales que cero. D = [, )
46 Gráfica de = D = [, )
47 Gráfica de = D = [, )
48 Gráfica de = D = [, )
49 Gráfica de = D = [, )
50 Gráfica de = D = [, )
51 Gráfica de = D = [, )
52 Gráfica de = D = (-, ]
53 Gráfica de = D = (-, ]
54 Gráfica de = D = [-, )
55 Gráfica de = D = [, )
56 Gráficas comparativas
57 Gráfica de = D = R
58 CONCLUSIÓN: Las funciones a b, a b, se representan mediante medias parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente,,b. b, La gráfica de la función k a se obtiene desplazando verticalmente k unidades la gráfica de la función a. La gráfica de la función a( k ) se obtiene desplazando k unidades hacia la izquierda (si k >) la gráfica de la función a. Las funciones p( ) están definidas en todo R.
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