Unidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón

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1 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría Periodicidad Simetría 1.5. Asíntotas 1.6. Primera derivada, crecimiento y puntos relativos 1.7. Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión 1.8. Representación de la función José L. Lorente Aragón 91

2 Conteto con la P.A.U. En este tema aplicaremos lo visto en los temas anteriores para la representación gráfica de las funciones. En el eamen de la PAU no se suelen pedir todos los pasos que estudiaremos para la representación de la función, por lo general tendremos que esbozar la gráfica a partir de: Monotonía o Crecimiento Curvatura Asíntotas Por lo general es suficiente con estas tres pautas el esbozo de la gráfica, si bien se recomienda aunque no lo pida el eamen calcular el dominio. Las funciones que suelen representarse son: Funciones fraccionales, la mayor dificultad es en la segunda derivada, que hay que factorizar para calcular los valores que anulan esta segunda derivada (puntos de infleión). Funciones eponenciales, la mayor dificultad es resolver las distintas ecuaciones eponenciales que aparecen al igualar las derivadas. Cuando estudiemos las asíntotas horizontales y oblicuas hay que estudiar los límites tanto cuando tiende a o a -, ya que no siempre dan el mismo resultado como ocurre en las funciones fraccionales. Nota: recordemos que e f() siempre es mayor que cero, con independencia de f(). Funciones logarítmicas, cuyas complicaciones son las mismas que las eponenciales, las ecuaciones logarítmicas a resolver y las asíntotas horizontales y oblicuas. También importante es el dominio, recordemos que el argumento del logaritmo tiene que ser positivo. ANEXO: resolución de ecuaciones logarítmicas y eponenciales a) Eponenciales: para quitar la incógnita del eponente tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad b) Logaritmos: agrupamos todos los logaritmos en uno a partir de las propiedades de los logaritmos. Para quitar la incógnita del logaritmo tomamos eponente a ambos lados de la igualdad. Ejemplo: e + 1 = 15 e + 1 = ln( + 1) ln( ) = = + 1 ln = 4 ln(15 / ) + 1 = e 4 = ± ln(15 / ) 1 = 1 e Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

3 1. Representación de funciones Mediante el ordenador o algunas calculadoras representar una función es sencillo, pero sin estas herramientas debemos estudiar características previas de la función antes de representarla. Los pasos son: El dominio Puntos de corte con los ejes Signo de la función Simetría y perioricidad Asíntotas Monotonía y puntos relativos Curvatura y puntos de infleión 1.1. Dominio El primer paso es ver donde está definida la función, es decir los posibles valores que puede tomar la variable independiente (). Recordemos que el domino de los polinomios son todos los reales. Los casos en los que algún punto no pertenece al dominio son: (ver tema 1) a) Se anulan denominadores asíntota vertical en el punto b) No eisten logaritmo de números negativos c) No eiste el logaritmo del cero asíntota vertical (si está el logaritmo en el numerador) d) No eisten raíces cuadradas o de orden par para números negativos 1.. Punto de corte con los ejes Con el eje OX Corta con el eje OX cuando y=0. Obtendremos los puntos de corte con este eje igualando la función a cero viendo los puntos 1,, Dom(f()) que anulan la función. Los puntos ( 1,0), (,0) son los puntos de corte con el eje OX 1... Con el eje OY Corta con el eje OY cuando =0, siempre que 0 Dom(f()). Sólo puede cortar una vez con el eje OY. El punto de corte con el eje OY es (0,f(0)) Ejemplo: f()=ln( -) Con eje OX (y=0) 0=ln( -) -=e 0 =1 =4 =± P 1 (,0) y P (-,0) Con eje OY(=0) 0 Dom(f()) luego no corta con el eje OY 1.. Signo de la función Estudiar el signo de la función es ver los valores de en los cuales f()>0 o f()<0. Para obtener estos intervalos basta con estudiar el signo entre los intervalos de los valores de que anulan la función (corte eje OY) y los puntos que no pertenecen al dominio. En el caso que la función definida a trozos, también se toman los puntos donde cambia de epresión analítica. José L. Lorente Aragón 9

4 1.4. Periodicidad y simetría Periodicidad: las funciones son periódicas cuando se repiten cada cierto intervalo, T, llamado periodo de la función (f()=f(+nt)). Los ejemplos clásicos son las funciones trigonométricas. Ejemplo: sen() su periodo es T=π, pues sen((+nπ))=sen(+πn)=sen() 1.4. Simetría La simetría puede ser de dos tipos: a) Simetría par o respecto al eje OY, la función es igual a la izquierda y derecha del eje OY. Es como si este eje hiciera de espejo. Ocurre cuando se cumple: f()=f(-) b) Simetría impar o respecto al origen, la función a la derecha del eje OY es igual que a la izquierda pero con distinto signo. Ocurre cuando se cumple: -f()=f(-) Ejemplo: estudiar simetría de las siguientes funciones: f()= , g()= 5 - -, 1 h()=, i()= 5, j()= a) f(-)=(-) 4 -(-) +6= =f() Par b) g(-)= (-) 5 -(-) -(-)= =-( 5 - -)=-g() Impar ( ) ( ) ( ) c) h(-)= = = 5 5 ( ) + 5( ) ( + 5) =h() Par d) i(-)= ( ) 1 =- ( ) + ( ) 1 =-i() Impar + e) j(-)=(-) -(-) +(-)+1= j() y de -j() No simetría Nota: si no hay denominadores será par cuando sólo tenemos epresiones n con n par (recordar que 5=5 0, luego es par). Será impar cuando sólo tenemos epresiones n con n impar; si están mezclados términos impares y pares la función no tendrá simetría. Si tenemos denominadores para que sea simétrica tanto el denominador como el numerador han de ser simétricos. Así: - si numerador y denominador los dos misma simetría (los dos par o los dos impar) la función simetría par (ver h()) - si numerador y denominador distinta simetría (uno par y otro impar) entonces la función simetría impar (ver i()) 94 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

5 1.5 Asíntotas Vertical La función f() tiene asíntota vertical en 0 cuando eiste alguno de estos 6 límites: lim 0 lim 0 f ( ) = +, lim f ( ) = +, lim f ( ) = f ( ) =, lim f ( ) =, lim f ( ) = La asíntota vertical tiene de epresión analítica = 0. La función f() se aproima infinitamente a la recta = 0. En la práctica las asíntotas ocurren en los puntos donde se anula el denominador o anula un logaritmo (cuando está en el numerador). Una función puede tener varias asíntotas verticales. Horizontal Una función f() tiene una asíntota horizontal en y=y 0 si se cumple una de las siguientes condiciones: a) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando ) b) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando - ) Cuando la función tiene una asíntota horizontal se aproima infinitamente a la recta y=y 0 cuando tiende a +, - o los dos. Una función tiene como máimo asíntotas horizontales, una cuando y otra cuando -, aunque por lo general suelen coincidir (sobre todo en funciones polinómicas o fracciones algebraicas). p( ) En funciones que son fracciones algebraicas ( ) tiene asíntota horizontal cuando el q( ) grado del numerador es menor al del denominador (asíntota =0) o igual (asíntota =a n /b n,con a n y b n coeficientes de mayor grado de p() y q() respectivamente). Oblicua Una función f() tiene una asíntota oblicua cuando se aproima infinitamente a una f ( ) recta de la forma y=m+n (m 0). Eiste si se el límite lim eiste y es distinto de ± y de 0. Si esto ocurre: f ( ) m= lim n= lim f ( ) m por lo general si m 0 y n es un número real, pero hay algún caso donde el límite de y entonces no tiene asíntota oblicua (PAU Septiembre 008) Si una función tiene asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua, por lo que no sería necesario su estudio. En la práctica las asíntotas oblicuas en las funciones fraccionarias ocurren cuando el grado del denominador es un grado inferior al del numerador José L. Lorente Aragón 95

6 Ejemplo: calcular las asíntotas de las siguientes funciones 1 a) f()= b) g()= 4 ln( ) c) h()= 1 a) f()= Asíntota Vertical: +4+=0 =-1, =-. - Asíntota Horizontal: lim f ( ) =, lim f ( ) =. No asíntota horizontal 1 f ( ) - Asíntota Oblicua: lim = lim 4 = lim = = m Luego la asíntota oblicua es y=-8 n= lim f ( ) m = lim = lim = b) g()= 4 - Asíntota Vertical: -4=0 =-, = + - Asíntota horizontal: lim = 1, lim 4 = 1 y=1 4 - No puede tener asíntota oblicua al tener horizontal 96 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

7 ln( ) c) h()= ln( ) - Asíntota Vertical en =0 (se anula el logaritmo) lim = = 0 1 = (se anula el denominador) ln( ) lim = ln() 0 ln( ) ln() lim = + + = 0 ln( ) ln() lim = 0 ln( ) 1/ - Asíntota Horizontal lim = = lim = 0 y=0 (cuando ) L' H 1 ln( ) lim no eisten logaritmos negativos Luego la asíntota horizontal es y=0 sólo es cuando - No asíntota oblicua cuando al tener horizontal. Veamos cuando - lim f ( ) = ln( ) lim no eiste = + = José L. Lorente Aragón 97

8 1.6. Primera derivada. Crecimiento y puntos relativos Para estudiar el crecimiento y decrecimiento y los puntos relativos de una función f() tendremos que estudiar el signo de la primera derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 creciente b) si f ()<0 decreciente c) si f ()=0 punto relativo (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función definida a trozos también tendremos que añadir entre estos puntos aquellos donde cambia de epresión analítica 1.7. Segunda derivada. Curvatura y Puntos de Infleión Para estudiar la curvatura y los puntos de infleión de una función f() tendremos que estudiar el signo de la segunda derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 cóncava hacia arriba b) si f ()<0 cóncava hacia abajo a) si f ()=0 punto de infleión (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la ª derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función definida a trozos también tendremos que añadir entre estos puntos aquellos donde cambia de epresión analítica 1.8. Representación de la función A partir del estudio realizado en los anteriores apartados no debería ser difícil representar un boceto de la función. Ejemplos: 1) f()= I) Dominio=R-{-1} II) Puntos de cortes: a) Con el eje OY: =0 Dom(f()) f(0)=-1 P c (0,-1) b) Con eje OX: y=0 f()=0 =1. P c (1,0) III) Signo de la función: se estudia el signo entre los puntos de corte con el eje OY y los puntos que no pertenecen al dominio: 98 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

9 (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo f() P c (1,0) IV) Simetría y Periodicidad No periódica Simetría f(-)= V) Asíntotas a) Asíntota Vertical: =-1 1 f() y -f() No simétrica b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = 1, lim f ( ) = lim = y=1 (cuando y - ) c) Asíntota oblicua: no tiene al tener horizontal VI) Primera derivada, crecimiento y puntos relativos + 1 ( 1) f ()= = ( + 1) ( + 1) Vemos que siempre es positiva para todo valor de (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) + Crecimiento No Punto relativo VII) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión ( + 1) f ()= 4 ( + 1) Como (+1) 4 es positivo sólo tenemos que estudiar el signo de (+1), por eso no simplificamos la fracción. El signo de la segunda derivada es: José L. Lorente Aragón 99

10 Intevalo (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) - Cocavidad No P.I. VIII) Representación: ) y=f()= 4 I) Dominio -4=0 Dom(f())=R-{-,} II) Puntos de corte con los ejes: a) Eje OY (=0), como 0 Dom(f()) P c (0,f(0)) P c (0,0) b) Eje OX (y=0). =0 P c (0,0) 100 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

11 III) Signo de la función: Puntos representativos =-,0, Intervalo (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f() P c (0,0) IV) Simetría y Periodicidad. No periódica Simetría: f(-)= = f ( ) simetría impar, respecto el origen 4 V) Asíntotas a) Asíntotas Vertical: =-, = b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = No asíntota Horizontal 4 f ( ) 4 c) Asíntota Oblicua: m = lim = lim = 1,n= lim f ( ) = lim = y= VI) Primera derivada Crecimiento y Puntos relativos: 4 1 y=f ()= ( 4), f ()=0 4 1 =0 =0, = ± 1 (-, 1 ) 1 ( 1,-) - (-,0) 0 (0,) (, 1 ) 1 ( 1, ) f () crec M( 1, 1 ) PI m( 1, 1 ) M(- 1,-1.5 1), m( 1,1.5 1) José L. Lorente Aragón 101

12 VII) Segunda derivada, curvatura y Puntos de Infleión: 8 y=f ()= ( 4) 8( = + 1)( ( 4) 4), f ()=0 =0,-, Nota: Como ( -4) 4 es positivo sólo tenemos que estudiar el signo del numerador, por eso no simplificamos la fracción. El signo de la segunda derivada es: Intervalo (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f () PI(0,0) VIII: Representación PI m M ) y=f()= ln( ) I) Dominio: ->0 (-)(+)>0 Intervalo (-,- ) - (-,0) 0 (0, ) (, ) Signo No Dom No Dom Dom No Dom No Dom No dom Dom Dom(f())=(-,0) (, ) 10 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

13 II) Corte con los ejes: a) Corte con el eje OY (=0 Dom(f())) No corte eje OX b) Corte con el eje OX (y=0) f()= ln( ) =0 1± -=1, =-1,= tres puntos pertenecen al dominio (comprobar con la calculadora) 5 los P c (-1,0), P c (,0), P c ( III) Signo de la función: 5,0) 1 =-, 5 1+,-1,0,, 5 (-, 1 5 ) 1 5 ( 1 5, -1) -1 (-1,0) 0 (0, ) (, 1+ 5 ) 1+ 5 ( 1+ 5, ) P c ( 1 5,0) P c (-1,0) P c ( 1+ 5,0) IV) Simetría y periodicidad a) No periódica b) f(-)=ln(- +) f() y -f() No simétrica V) Asíntotas a) Vertical (donde se anula el logaritmo) =-, =, =0 b) Horizontal lim f ( ) =, lim f ( ) = no eiste No horizontal f ( ) c) Oblicua lim = = lim = 0 L' H 1 No oblicua VI) Primera derivada, crecimiento, puntos relativos f ()= f ()=0, 6 6 -=0 = ± = ± - Dom(f()), pero 6 Dom(f()) José L. Lorente Aragón 10

14 (-,- 6 ) - 6 (- 6,0) 0 (, ) Signo f () Crecimiento 6 ln(7 / ) M(-, VI) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión f ()= 4 +4=0 No solución, no puntos de infleión ( ) (-,0) 0 (, ) Signo f () - - Curvatura VII) Representación: M 104 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

15 Ejercicios PAU Septiembre 006, Prueba A PR-.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f()=e -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f() 1/e ( puntos) b) Pruébese que la ecuación e = tiene alguna solución en (,1]. (1 punto) a) Dom(f())=R 1) Asíntotas: No verticales 1 Horizontales: lim e = lim = = lim = 0 ; lim e = L' H e e y=0 (sólo si tiende a + ) Oblicua: no oblicua ) Crecimiento, puntos relativos f ()=e - - e - e - - e - =0 e - (1-)=0 =1 (-,1) 1 (1, ) Signo f () Crecimiento M(1,e -1 ) ) Curvatura y Puntos de Infleión f ()=-e - -e - +e - =e - (-+) e - (-+)=0 = (-,) (, ) Signo f () Crecimiento PI(,e - ) 4) Representación gráfica: José L. Lorente Aragón 105

16 Vemos que el máimo absoluto es el máimo relativo (1,e -1 ), luego f() e -1 b) e - = alguna solución en solución (,1] g()=e -=0 Aplicamos Bolzano: g() continua en (-,1] g(1)=e-<0, g(0)=1>0 Luego c ( 0,1) : g( c) = 0 Veamos que sólo hay una: g ()=e - e = =ln()=1,1 (-,ln) ln (ln, ) Signo g () Crecimiento m(ln,-0,) Luego entre (-,1.1) la función decrece cortando en un único punto c en el eje OX. Septiembre 006. Prueba B 106 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

17 4 PR-. Sea f()= a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) 1) Dom(f())=R-{0} ) Asíntotas: Vertical =0 4 4 Horizontal: lim = lim = Oblicua: m= lim = n= lim + = lim = 0 4 ) Simetrías: f(-)= = f ( ) Simetría Impar (respecto al origen) 4) Monotonía y puntos reltaivos ( + ) f ()= <0 Siempre decreciente. No puntos relativos 5) Representación y=- Junio 006. Prueba B José L. Lorente Aragón 107

18 PR-.- Dada la función 1 f ( ) =, se pide: + 1 a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. ( puntos) 1) Dominio Dom(f())=R-{-1}. ) Asíntotas AV: = AH: lim = 1, lim = 1 y= AO: No al tener horizontal ) Crecimiento y puntos relativos: f ()= >0 Siempre crece no puntos relativos ( + 1) Intervalo (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + + Crecimiento 4) Curvatura y P.I.: ( + 1) f ()= 4 4 ( + 1) (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + - Curvatura No P.I. 108 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

19 Septiembre 005. Prueba A ln(1 + ), > 0 PR-.- a) Estúdiese la derivabilidad de f ( ) =, sus intervalos de, 0 crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. a) Continuidad: ln(1+ ), es continua en R. Veamos en =0 lim f ( ) = ln(1) = f(0)=0 Continua. Luego podemos hacer la derivada de la lim f ( ) = 0 = 0 0 función: Derivabilidad: f f '(0 '(0 + f ( ) = 1+, ' ) = lim f '( ) = Derivable ) = lim f '( ) = 0 0, > 0 0 I) Crecimiento: igualamos la derivada a cero (cada uno de sus trozos) 1+ =0 =0 (0, ) =0 =0 (-,0]. Luego el único punto donde f ()=0 es =0 (-,0) 0 (0, ) Signo f () Crecimiento m(0,0) José L. Lorente Aragón 109

20 ) Curvatura: como f() es derivable en R podemos calcular la segundad derivada f (1 ), ''( ) = (1 + ) > 0 0 f ()=0, miremos los dos trozos de definición (1 ) =0 =1,-1, solo =1 es mayor que cero (1 + ) 0 En los intervalos tenemos que considerar =0 (donde cambia la epresión analítica): Intervalo (-,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo f () Curvatura PI(1,ln) PI m Junio 005. Prueba A PR-.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( ) 1 = e, sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. ( puntos) b) Esbócese la gráfica de f (1 punto) a) 1) Dom(f())=R ) Asíntotas: No verticales. 1 Horizontales: lim e = e 1 = 0, lim e = e = 0 y=0 (cuando y - ) No oblicuas al tener horizontal 110 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

21 ) Crecimiento y puntos relativos f '( ) 1 = e =0 =0 Intervalos (-,0) 0 (0, ) Signo f () Crecimiento M(0,e) 4) Curvatura: f ''( ) = e e 1 = e 1 (4 ) = ± Intervalo (-, ) (, ) (, ) Signo f () Curvatura PI(, e ) PI(, e ) b) Representación gráfica PI M PI José L. Lorente Aragón 111

22 Septiembre 004-Prueba A PR- Sea f la función dada por f ( ) = +, R. a) f a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. ) = ( si si > 0 0 Continuidad Sólo tenemos que estudiar la continuidad en =0 ya que en los demás puntos es continua al ser los dos trozos polinomios lim+ 0 lim f ( ) = lim+ 0 0 f ( f ( ) = f(0)=. Continua ) = si > 0 Derivabilidad al ser continua podemos definir la función f ()= + si 0 Que es derivable en todos los puntos menos en =0, que debemos estudiar si lo es: f (0 + )=- ; f (0 - )= No derivable (como ocurre en las funciones valor absoluto) Luego al representar la gráfica en =0 tendrá un pico = 0 = > 0 b) Crecimiento de la función f ()=0: + = 0 = < 0 solución. solución A estos dos puntos / y -/ tenemos que añadir =0 donde f() cambia de epresión analítica. Intervalo (-,-/) -/ (-/,0) 0 (0,/) / (/, ) Signo f () No derivable Crecimiento m(-/,-1/4) m(/,-1/4) El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función decreciente a creciente. Luego es como un mínimo relativo. 11 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

23 c) Podemos representarlo viendo que son dos parábolas ( -+ si >0 y ++ si <0) o partir de las informaciones anteriores. -/ / Junio 004- Prueba A PR-1.- Sea la función e y =. a) Estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. e y = f ) = e e ( si si < 0 0 Veamos primero si es continua para poder derivar la función a trozos: 0 lim f ( ) = e = + 0 lim f ( ) = 0 0 lim f ( ) = = + e f(0)= continua 0 4e si < 0 f '( ) =. Veamos si derivable f (0 + )=4 f (0 - )=-4. No derivable en 4e si 0 =0, luego en =0 habrá un pico. Veamos donde se anula la derivada: f ()=0 4e 4e. = 0 = 0 no no solución solución Luego el único punto característico a la hora de estudiar monotonía es =0, que es donde la función cambia de epresión analítica José L. Lorente Aragón 11

24 Intervalo (-,0) 0 (0, ) Signo f () + - Crecimiento El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función creciente a decreciente. Luego es como un máimo relativo. Asíntotas: 1) Verticales no tiene ) Horizontales: lim f ( ) = e = 0 = 0 asíntota horizontal y=0 (cuando y - ) ; lim f ( ) = e = 0 = 0. Luego tiene Junio 007- Prueba A PR-. f ( ) = 1 1) Domino=R-{-1,1} ) Asíntotas: AV: =1, =-1 AH: lim f ( ) = lim f ( ) = 0 AO: No tiene y=0 (cuando y - ) ) Crecimiento y puntos relativos f '( ) = = f ()=0 No solución. Los únicos puntos ( 1) ( 1) representativos para estudiar la monotonía son =1, =-1 (asíntotas verticales) 114 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

25 Intervalos (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) - Dom(f()) - Monotonía 4) Curvatura y puntos de infleión ( 1) 4 ( 1) ( + 1) ( 1)( 1 ) ( 1) ( f ''( ) = = = ( 1) ( 1) ( 1) f ()=0 =0, =1, =-1. Pero =1 y =-1 no pertenece al dominio ) ( 1)( = 4 ( 1) + ) Intervalo (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) Dom(f()) + Curvatura PI(0,0) 5) Representación gráfica José L. Lorente Aragón 115

26 Junio 006- Prueba B PR-. f ( ) = + e Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica 1) Dom(f())=R ) Asíntotas: Vertical: no tiene Horizontal: lim f ( ) = + e = + 0 = lim f ( ) = + e No asíntota horizontal = + f ( ) e 0 Oblicua: m= lim = lim1+ = 1+ = 1 n= lim f ( ) = lime = e = 0 Veamos si - f ( ) e lim = lim1+ ) Crecimiento y puntos relativos: f '( ) = 1 e '( ) = 0 e = 1+ = 1+ lim L' H 1 Luego la asíntota es y= (solo si ) = ya que ep onente crece = 1 e f 1-e - =0; e - =1 -=ln(1)=0 =0 Intervalo (-,-0) 0 (0, ) Signo(f ()) mucho mas rapido = 1 = Monotonía m(0,1) 4) Curvatura y puntos de infleión f ''( ) = e ''( ) = 0 f no solución pues e siempre positivo Intervalo (-, ) Signo(f ()) + Curvatura 116 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

27 Junio 005- Prueba B PR-.- Sea f ( ) = e + ln( ), ( 0, ). a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (1,5pto) b) Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo de f. (1,5 puntos) 1,1 y esbócese la gráfica a) Veamos primero el Dominio, que es necesario para el resto de cálculos 1) Dom(f())=(0, ) ) Monotonía : f ()=e +1/=0 e =-1/, que en el dominio no tiene solución pues para >0 el eponente es positivo y 1/ negativo. En el domino f ()>0, y por tanto la función creciente en todos los puntos del dominio es decir en (0, ). ) Asíntotas: Verticales en =0 (se anula el logaritmo) Horizontales lim f ( ) = + 0 =. No horizontales f ( ) e 1 e e Oblicuas m= lim = lim + = lim + 0 = lim + 0 =.No L' H 1 b) f ()=e -1/. Veamos que en el intervalo [1/,1] se anula f (), para eso aplicamos Bolzano a la función f (): f () es continua en [1/,1], ya que 0 no pertenece a este intervalo f (1/)<0; f (1)>0 Luego al cumplir Bolzano eiste un punto c (1/,1) tal que f (c)=0. José L. Lorente Aragón 117

28 PI Junio 008. Prueba A PR- Sea f()=ln()/ siendo (0, ). Se pide a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. 1) Dominio: nos lo da el problema: Dom(f())=(0, ) ) Asíntotas: Verticales: en =0, pues se anula el denominador y el logaritmo. ln( ) 1/ Horizontales lim f ( ) = lim = = lim = 0 Asíntota y=0 (sólo si ) L' H Oblicuas: no al tener horizontales ) Crecimiento y etremos relativos: 1 ln( ) f ()= = 0 ln()=1/ =e 1/ Intervalo (0,e 1/ ) e 1/ (e 1/, ) Signo(f ()) Monotonía M(e 1/,1/e) Luego f() crece en (e 1/, ) y decrece en (0,e 1/ ). En el punto M(e 1/,1/e) hay un máimo relativo. Veamos la gráfica: 118 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

29 M Septiembre 008. Prueba B PR-.- Sea f () = + ln con (0,+ ). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f. b) Probar que eiste un punto c (1/e,1) tal que f (c) = 0. a) Primero veamos el dominio: 1) Dominio: Dom(f())=(0, ) ) Asíntotas: Verticales: en =0 (se anula el logaritmo) Horizontales lim f ( ) = lim + ln( ) = + =. No tiene 1 1+ f ( ) + ln( ) Oblicua m= lim = lim = = lim = 1 L' H 1 n= lim f ( ) + = lim + ln( ) =. No oblicua ) Etremos relativos: f ()=-1+1/=0 =1. Intervalo (0,1) 1 (1, ) Signo(f ()) Monotonía M(1,1) Crece en (0,1) y decrece en (1, ). En el punto M(1,1) hay un máimo relativo José L. Lorente Aragón 119

30 4) Curvatura: f ()=-1/ =0 Nunca se anula f ()<0 luego siempre es cóncava hacia abajo 10 Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE)

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