Tema 7. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización

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1 Tema 7 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella Además, en muchos casos posibilita la determinación de máimos y mínimos relativos Crecimiento y decrecimiento f () es creciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño f () es decreciente en un punto = a si f ( a h) f ( a) f ( a + h), para h > 0 y pequeño La función f () es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos los puntos de él Caracterización mediante la derivada primera Si f ( a) > 0 f () es creciente en = a En general, si una función f () es tal que f ( ) > 0 para todo de un intervalo, entonces f () es creciente en ese intervalo La demostración de este resultado es fácil, pues si f ( a) > 0, se tiene f( a+ h) f( a) f( a+ h) f( a) que f ( a) = lím > 0 > 0 en un h 0 h h entorno de a Esto implica que los dos términos de la fracción deben tener el mismo signo Luego: Si h > 0, (a la derecha de a), entonces f( a+ h) f( a) > 0 f( a) < f( a+ h) Luego f es creciente en a Si h < 0, (a la izquierda de a), entonces f( a h) f( a) < 0 f( a h) < f( a) Luego f es creciente en a Si f ( a) < 0 f () es decreciente en = a Si una función f () es tal que f ( ) < 0 para todo de un intervalo, entonces f () es decreciente ese el intervalo Ejemplos: a) La derivada de f( ) = e es f ( ) = e, que es negativa para todo R Por tanto, f( ) = e es decreciente en todo su dominio b) La derivada de la función f( ) = ln es f ( ) = > 0, para todo R + Por tanto, f( ) = ln es creciente en todo su dominio, para > 0

2 Determinación e máimos y mínimos con la derivada primera Los puntos en los que se anula la derivada, las soluciones de f ( ) = 0, son candidatos a máimos o mínimos Para que en punto = a se dé un máimo o un mínimo es necesario que f ( a ) = 0 Máimos El punto a es un máimo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha Por tanto: a es un máimo si: f ( a ) > 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) < 0 (En un máimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0) Mínimos El punto a es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha Por tanto: a es un mínimo si: f ( a ) < 0, f ( a ) = 0, f ( a + ) > 0 (En un mínimo, la recta tangente a la curva es horizontal: su pendiente vale 0) Ejemplo: La función f ( ) = + es creciente a la izquierda del punto =, y decreciente a su derecha, pues f ( ) = + es positiva para < y negativa para > Por tanto, f ( ) = + tiene un máimo en = (Es evidente que f () = 0 ) La determinación de los puntos singulares de una función (aquellos en los que la derivada vale 0, llamados también puntos estacionarios; y los puntos en lo que la función no está definida), permitirá obtener el crecimiento, el decrecimiento, los máimos y los mínimos Ejemplo: La derivada de f( ) =, que es f ( ) = = ( + )( ), se anula en los puntos = y = : son sus puntos singulares A la izquierda de =, para <, f ( ) > 0 la función crece Para < <, f ( ) < 0 f( ) decrece Por tanto, en = la función tiene un máimo relativo A la derecha de =, para >, f ( ) > 0 f( ) es creciente Como a la izquierda de = la función decrece, y a su derecha crece, en ese punto la función tiene un mínimo relativo Advertencias: No siempre que f ( ) = 0 se tiene un máimo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria (lo es solo para funciones derivables) Puede haber mínimo sin que f ( ) = 0 Así, la función f ( ) = tiene un mínimo en = 0 y en ese punto no es derivable la función Puede suceder que f ( ) = 0 y no haya mínimo ni máimo Así pasa en el punto = 0 para la función f ( ) = Su derivada, f ( ) =, se anula en = 0, pero: Si < 0, (por ejemplo, = 0,), f () > 0 f () es creciente Si > 0, (por ejemplo, = 0,), f () > 0 f () es creciente Por tanto, en = 0 no hay máimo ni mínimo Hay un punto de infleión

3 Trazado de gráficas de funciones con ayuda de la derivada primera Dada la función y = f (), para dibujarla es útil el siguiente proceso: ) Determinar los puntos en los que no está definida f () Dominio de definición ) Hallar la derivada f () ) Calcular las soluciones de la ecuación f ( ) = 0 (puntos singulares) 4) Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos ) Estudiar el signo de la derivada en cada intervalo anterior: deducir si la función es creciente o decreciente (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f () es positiva o negativa) ) Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máimos y los mínimos, si es el caso 7) Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre ellos los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas Ejemplo: Proceso para trazar la gráfica de la función f ( ) = ) Está definida siempre: Dom(f) = R ) y ) 4 4 f ( ) = = 0 ( ) = 0 = 0, =, = 4), ) y ) Se marcan los puntos en la recta, y se observa que: Si <, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente Si < < 0, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es decreciente en = hay máimo Si 0 < <, (por ejemplo, = ), f () < 0 f () es decreciente en = 0 no hay ni máimo ni mínimo Si >, (por ejemplo, = ), f () > 0 f () es creciente en = hay mínimo 7) Dando algunos valores se obtiene la gráfica adjunta Para = 0, f ( 0) = 0 punto (0, 0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Para =,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Los cortes con el eje OX son las soluciones de = 0, que son = 0 y = ± puntos (,0), (0, 0) y (,0)

4 4 Aplicaciones de la derivada segunda Curvatura La concavidad y la conveidad dependen del punto de vista del que mira Aquí se mirará siempre desde la parte negativa del eje OY Por tanto, la concavidad será así: ; y la conveidad, así: Concavidad y conveidad Observa lo que sucede en un intervalo de concavidad Las tangentes a la curva están por encima de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez menor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes decrecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada decrece: f () es decreciente En consecuencia, su derivada (la de f () ) será negativa: f ( ) < 0 Los máimos se dan siempre en una concavidad Por tanto, si en = a hay un máimo de f (), se cumplirá que f ( a) < 0 Ejemplos: a) La función f( ) = + es cóncava, pues su derivada segunda es siempre negativa: f ( ) = + f ( ) = < 0 b) La función logaritmo, f( ) = ln es cóncava en todo su dominio: R + Efectivamente, derivando: f ( ) = f ( ) = < 0 para todo Observa lo que sucede en un intervalo de conveidad Las tangentes a la curva están por debajo de ella Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez mayor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes crecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada crece: f () es creciente En consecuencia, su derivada será positiva: f ( ) > 0 Los mínimos se dan siempre en una conveidad Por tanto, si en = a hay un mínimo de f (), se cumplirá que f ( a) > 0 Resumiendo: Si f ( ) < 0 en el intervalo (, ) f () es cóncava en ese intervalo Si f ( ) > 0 en el intervalo (, ) f () es convea en ese intervalo Ejemplos: a) La función f( ) =, cuya gráfica es una parábola, es convea, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = f ( ) = > 0 b) La función eponencial, f( ) = e es convea siempre, pues su derivada segunda es siempre positiva: f ( ) = e f ( ) = e > 0 para todo

5 Determinación de máimos y mínimos con el signo de la derivada segunda Si f (a) = 0 y f ( a) < 0 f () tiene un máimo en = a Si f (a) = 0 y f ( a) > 0 f () tiene un mínimo en = a El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f () tenga un máimo (o un mínimo) en = a siendo f (a) = 0 y f ( a) = 0 (sin que f ( ) < 0 o f ( a) > 0 ) En definitiva: La condición necesaria para que en = a se dé un máimo o un mínimo es que f (a) = 0; pero no es condición suficiente Ejemplos: a) La función f( ) = +, vista anteriormente, cumple: f ( ) = + la derivada se anula en = Como f ( ) = < 0 para todo, en = se da un máimo b) La función f( ) = sin, cumple: π Su derivada primera: f ( ) = cos, se anula cuando cos = 0 = + kπ Su derivada segunda: f ( ) = sin π π π π toma valores negativos cuando = + kπ Por ejemplo en = o en = + π= en esos puntos tendrá máimos π π π toma valores positivos cuando = + ( k+ ) π Por ejemplo en = +π= o en π 7π = + π= en esos puntos tendrá mínimos Puede observarse que los máimos se dan en concavidades; y los mínimos, en conveidades Puntos de infleión Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convea, o al revés, se llaman puntos de infleión; en esos puntos, la tangente corta a curva Se cumple también que: Si = a es un punto de infleión de f () f ( a) = 0 El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f ( a) = 0 y en = a no haya punto de infleión Por tanto, que f ( a) = 0 es condición necesaria, pero no suficiente Ejemplo: Para la función f( ) = f ( ) = f ( ) = La derivada primera se anula en los puntos = y = Como f ( ) < 0 en = hay un máimo relativo Como f () > 0 en = hay un mínimo relativo Como f (0) = 0 en = 0 hay un punto de infleión

6 4 Criterio general para la determinación de puntos máimos, mínimos y de infleión Si = a es un punto que cumple: ) f ( a) = 0, f ( a) = 0, f ( a) = 0, f n ) ( a) = 0 y f n ( a) 0, entonces: ) Si n es par y f n ( a) < 0, en = a hay un máimo ) f n Si n es par y ( a) > 0, en = a hay un mínimo Si n es impar, en = a hay un punto de infleión, aunque f ( a) 0 Ejemplos: a) La función f ( ) =, vista en un ejemplo anterior, cumple: 4 4 f ( ) = = 0 si = 0, = o = Los puntos = 0, =, = son candidatos a máimos o mínimos Para decidirlo se hace la derivada segunda: f ( ) = 0 0 = 0 4( ) = 0 = 0, = ± Como: f ( / ) < 0 en = / se da un máimo relativo f ( 0) = 0 en = 0 se da un punto de infleión (Es un punto de infleión con tangente horizontal) f ( / ) > 0 en = / se da un mínimo relativo Otros puntos de infleión son = / y = / Para confirmar que los tres puntos indicados son de infleión hay que ver que f ( ) = 0 es 0 en los tres casos: así es, como puede comprobar el lector interesado 4 b) La función f ( ) =, cumple: f ( ) = 4 = 0 en = 0; f ( ) = = 0 en = 0; 4) f ( ) = 4 = 0 en = 0; f ( ) = 4 > 0 en = 0 se da un mínimo c) La función f ( ) =, cumple: 4 f ( ) = = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; 4) f ( ) = 0 = 0 en = 0; f ( ) = 0 = 0 en = 0; ) f ( ) = 0 en = 0 se da un punto de infleión d) La función f( ) = no tiene máimos ni mínimos, pues su derivada no se anula en ningún punto: f ( ) = < 0 para todo 0 Tampoco tiene puntos de infleión, pues f ( ) = nunca se hace 0

7 7 Ejercicios para profundizar Calcula los valores de a, b y c para que la función f ( ) = a + b + c + verifique: a) Tenga un máimo en = ; b) Su gráfica corte al eje OX en el punto de abscisa = ; c) Tenga un punto de infleión en el punto de abscisa = 0 Para los valores obtenidos, comprueba la naturaleza de los puntos = y = 0 Solución: Derivando dos veces: f ( ) = a + b + c + f ( ) = a + b + c f ( ) = a + b Por tener un máimo en =, f ( ) = 0 0 = a b + c Por cortar al eje en =, f ( ) = 0 0= 8a+ 4b c+ Por tener un punto de infleión en = 0, f (0) = 0 0 = b b = 0 a+ c= 0 Sustituyendo b en las dos primeras ecuaciones se tiene: a =, c = 8a+ c= Luego, la función es: f ( ) = + Y sus derivadas: f ( ) = f ( ) = Como f ( ) = ( ) = 0 y f ( ) = ( ) = < 0 en = se tiene un máimo Como f (0) = 0 y f (0) = 0 en = 0 se tiene un punto de infleión b Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) = a + tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4) Para esos valores de a y b, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () Solución: b Por pasar por (/, 4) f ( / ) = 4 4 = a + a + 4 b = 8 / Por tener un mínimo en = /, f ( / ) = 0 b b De f ( ) = a f ( / ) = 0 = a a 4 b = 0 /4 a + 4b = 8 Resolviendo el sistema a = 4; b = La función es f ( ) = 4 + a 4b = 0 La derivada f ( ) = 4 4 = 0 4 = 0 =± Como la función no está definida en = 0, para determinar su crecimiento y decrecimiento hay que estudiar el signo de la derivada en los intervalos: (, /) ; ( /, 0); (0, /) y ( /, + ) Se tiene: Si < /, f () > 0 f () es creciente en el intervalo (, /) Si / < < 0, f () < 0 f () es decreciente en el intervalo ( /, 0) En = / hay un máimo Punto ( /, 4) Si 0 < < /, f () < 0 f () es decreciente en el intervalo (0, /) Si > /, f () > 0 f () es creciente en el, intervalo ( /, + ) En = / hay un mínimo Punto (/, 4)

8 8 4 Sugerencias para la representación gráfica de una función Para representar una función f (), puede utilizarse el esquema siguiente: ) Determinar el dominio de definición y el recorrido de f () (Esto permite el estudio de posibles discontinuidades y de las regiones : intervalos en los que f () es positiva o negativa; para su determinación deben conocerse los puntos de corte de la curva con el eje OX) ) Asíntotas Puede haberlas verticales, horizontales y oblicuas Verticales Si lím f () = la recta = a es asíntota vertical f () a Las asíntotas verticales sólo pueden darse en puntos en los que la función no esté definida Horizontales Si lím f ( ) = b la recta y = b es una asíntota horizontal de f () f ( ) Oblicuas Si lím = m (m 0 y m ) y lím ( f ( ) m) = n, (n ) la recta y = m + n es una asíntota oblicua de la curva y = f () Es muy útil determinar, mediante el cálculo de límites laterales, la posición de la curva respecto de las asíntotas ) Simetrías Hay dos tipos de simetrías Función par : f () es simétrica respecto del eje OY Se cumple que f ( ) = f ( ) Función impar : f () es simétrica respecto del origen: Se cumple que f ( ) = f ( ) El estudio de las simetrías no es imprescindible, aunque facilita el trazado de la curva 4) Periodicidad f () es periódica de período p si f ( + p) = f ( ) Las funciones periódicas se representan en un intervalo de amplitud p; después se repite el dibujo En la práctica, solo se tiene en cuenta en las funciones trigonométricas ) Puntos singulares e intervalos de variación y curvatura Con la derivada primera, f () : Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos Con la derivada segunda, f () : Concavidad, conveidad y puntos de infleión; y confirmación de máimos y mínimos ) Determinar algunos puntos significativos de la curva y = f () Puntos máimos, mínimos y de infleión Puntos de corte de la curva con los ejes 7) Trazado de la curva Todas las piezas deben encajar En caso contrario habrá que revisar los cálculos realizados A continuación se practica con ejemplos y ejercicios Ejemplo a): Traza la gráfica de una función f que cumple lo que sigue: ) Su domino es, Dom(f) = R {} ) Tiene dos asíntotas: las rectas = e y = ) Tiene un mínimo en el punto (, 4) 4) Es creciente para (, ) (, + ) ; decreciente si (, ) ) Pasa por los puntos (, 0) y (0, ) ) Es convea ( ) en todo su dominio Solución: En primer lugar conviene trazar las asíntotas Después marcar los puntos que se dan En tercer lugar se observa su crecimiento y decrecimiento Por último, se tiene en cuenta su curvatura Una posibilidad es la que se indica en la figura

9 9 Ejemplo b): La gráfica de la función de proporcionalidad inversa, f( ) la que se adjunta Comprueba, aplicando el proceso indicado, sus características fundamentales =, es En efecto: Dominio: R {0} Recorrido: R {0} Además: f( ) < 0 si < 0; f( ) > 0 si > 0 Tiene dos asíntotas: una vertical, la recta = 0; y otra horizontal, la recta y = 0 Se cumple que: lím = = ± 0 0 y = 0 lím ± Se trata de una función simétrica respecto del origen, pues f ( ) = = = ( ) ( ) f Siempre es decreciente, pues f ( ) = < 0, para todo de su dominio No tiene máimos ni mínimos, pues f ( ) nunca vale 0 Su derivada segunda es f ( ) = Para < 0, f ( ) < 0 la función es cóncava ( ) Para > 0, f ( ) > 0 la función es convea ( ) No tiene puntos de infleión, pues f ( ) nunca vale 0 Algunos valores son: (, ); (, ); (, /); (, /); (/, ); ( /, ) Ejemplo c): Para dibujar la gráfica de la función f( ) = e deben observarse las siguientes cosas: Su dominio es R; y siempre es positiva ( ) Es par: f( ) = e = e (Simétrica respecto del eje OY) Tiene una asíntota horizontal: lím e = 0 + La curva va por encima de la asíntota, y = 0 ± Crecimiento y decrecimiento Se hace la primera derivada: f ( ) = e se anula en = 0 Si < 0, f () > 0 la función crece Si > 0, f () < 0 la función decrece En = 0 hay un máimo Concavidad y conveidad (segunda derivada): f ( ) = e + 4e = ( + 4 ) e se anula en = ± Si < /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Si / < < /, f ( ) < 0 la función es cóncava ( ) Si > /, f ( ) > 0 la función es convea ( ) Pueden darse algunos valores: (, e ) (, 0,7), ( /, e ) / ; (0, ); / ( /, e ) ; (, 0,7) Su gráfica es la adjunta

10 0 Ejemplo d): Para trazar la gráfica de la función f ( ) = hay que tener en cuenta: ( ) Dominio: R {} Regiones (signo): por debajo del eje OX (negativa) si < 0; por encima de OX si > 0 (ecluido el punto = ) Asíntotas: Como lím f ( ) = lím = = + la recta = es una asíntota vertical ( ) 0 Como lím f () = lím = 0 (el denominador es de mayor grado que el numerador) ± ± ( ) la recta y = 0 es asíntota horizontal Hacia la asíntota va por debajo del eje, pues toma valores negativos Hacia + la asíntota va por encima del eje, pues el signo de la función es positivo ( ) ( ) Derivada primera: f ( ) = = ( ) 4 ( ) Se anula en = Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es decreciente Si < <, f () > 0 f () es creciente En = hay mínimo Si >, f () < 0 f () es decreciente + 4 Derivada segunda: f ( ) = Se anula en = ( ) 4 Se marcan los puntos y en la recta Si <, f () < 0 f () es cóncava ( ) Si < <, f () > 0 f () es convea ( ) Si >, f () < 0 f () es convea ( ) Como f ( ) = > 0, se confirma que en = hay 8 un mínimo relativo Con toda esta información y hallando algunos puntos se puede hacer su representación gráfica Algunos puntos: (, 0,87); (, 0,); (, 0,); (0, 0); (0,, ); (, ); (, 0,7) Ejemplo e): Comprueba que la parábola es convea cuando a > 0 En efecto: f ( ) a b c = + + tiene su vértice en el punto Su vértice es su punto máimo o mínimo es solución de La derivada segunda es f ( ) a b =, y que a f ( ) = a + b = 0 = =, que será positiva cuando a > 0 ; y por tanto convea b a

11 Ejercicio Dada la función f( ) ln ( ) = +, determina su dominio, crecimiento y decrecimiento, concavidad y conveidad Haz un esbozo gráfico de ella Solución: Dominio: R Derivando dos veces: f ( ) = + ( ) 0 f ( ) = f ( ) = 0 si = o = + f = si = 0 ( ) Si < 0, f () < 0 f () es decreciente Si > 0, f () > 0 f () es creciente En = 0 hay mínimo Si <, f () < 0 f () es cóncava ( ) Si < <, f () > 0 f () es convea ( ) Si >, f () < 0 f () es cóncava ( ) Como la función cambia de curvatura a izquierda y derecha de los puntos = y =, en esas abscisas se dan sendas infleiones Algunos puntos de la gráfica son: (, ln ); (, ln ); (0, 0); (, ln ); (, ln ) Su gráfica es la adjunta Ejercicio Representa la gráfica de la función f( ) =, indicando su dominio, cortes + con los ejes, simetrías, asíntotas, intervalos de crecimiento y sus etremos Solución: La función está definida siempre, pues el denominador no se anula en ningún caso Corte ejes: si = 0 y = 0 punto (0, 0); si y = 0 = 0 el mismo punto La función es simétrica respecto del origen de coordenadas (impar), pues ( ) f ( ) = = = f ( ) ( ) + + Tiene una asíntota oblicua (y = m + n), pues: f ( ) m = lím = lím = ; n = lím ( f ( ) m) = lím = = 0 ( + ) lím + + La asíntota es la recta y = Como ( ) + f = = = se tiene: Si +, la curva va por debajo de la asíntota ( resta) + Si, la curva va por encima de la asíntota ( suma) + ( + ) ( ) ( + ) Derivando: f ( ) = = ( + ) ( + ) Salvo en = 0, la derivada siempre es positiva la función es creciente siempre En consecuencia no tiene etremos En = 0 hay un punto de infleión con tangente horizontal Algunos valores de la curva son: (0, 0), (, /), (, 8/), (, 7/0), y sus simétricos Representándolos se obtiene la gráfica adjunta

12 Optimización de funciones Problemas de optimización La optimización es uno de los problemas económicos más interesantes de resolver Consiste en determinar el valor que maimiza (beneficios) o minimiza (costes) una función sujeta a determinadas condiciones Un problema de optimización clásica es el siguiente: Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para automovilistas Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes a la carretera Si su superficie es de 700 m², qué dimensiones debe tener para que el coste de la valla sea mínimo? La situación planteada se representa en la figura adjunta, que en este, como en la mayoría de los casos, es clave para entender el problema Planteamiento y resolución de un problema de optimización Un problema de optimización vendrá dado, generalmente, en términos de enunciado Se dice que está planteado cuando se sabe eactamente qué función hay que hacer máima o mínima; quedará resuelto cuando se halle y critique la solución Para ello, puede seguirse el proceso que se detalla a continuación: ) Saber qué objetivo hay que hacer máimo o mínimo Esto se deduce de la lectura del enunciado En el ejemplo anterior hay que hacer mínimo el coste de la valla (Este mismo ejemplo nos servirá para ilustrar los demás pasos) ) Epresar en forma de función el objetivo propuesto El coste de la valla será mínimo cuando su longitud (L) sea mínima Por tanto, la función que hay que hacer mínima es L= + y Generalmente esta función dependerá de varias variables; aquí, de dos Hay que determinar cuál de ellas depende de la(s) otra(s) y buscar en el enunciado la relación que liga esas variables; esta relación siempre es una igualdad Se obtendrá así una función de una sola variable, que puede designarse por f( ) o por cualquier otra letra Aquí se ha elegido L En L= + y aparecen dos variables, e y, que son las medidas del largo () y ancho (y) de la zona de descanso Qué relación eiste entre e y? Como se dice que la superficie de la zona es de 700 m², y esta superficie vale S= y, se tendrá que y = 700 ; de donde y = L ( ) = + (Aquí termina el planteamiento del problema Ahora hay que resolverlo) ) Determinar el máimo o mínimo buscado Los óptimos se encuentran entre los puntos estacionarios de la función, que son las soluciones de f ( ) = 0 Para que sea máimo, además, debe cumplir que f ( ) < 0 ; y para que sea mínimo, que f ( ) > 0 En este caso hay que buscar un punto que cumpla: L ( ) = 0 y L ( ) > Como L ( ) = + = L ( ) = = 0 = 4400 = ±0 La solución = 0 hay que descartarla por no ser del dominio de definición de la función 8800 La derivada segunda: L ( ) = y L (0) = > 0 Por tanto, el mínimo pedido se obtiene cuando = 0 metros e y = 0 m

13 Ejercicio Sea la parábola ( ) y = y un punto P(, y) de ella que esté en el primer cuadrante Se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes con vértices opuestos los puntos O(0, 0) y P(, y) Determina las coordenadas de P para que el rectángulo tenga superficie máima Solución: Si (, y) es el vértice sobre la parábola, el rectángulo tendrá base = y altura = y; siendo ( ) y = Por tanto, su superficie vendrá dada por: ( ) S= y = = El máimo de S se da en la solución de S = 0 que hace negativa a S Derivando: 8 ± 4 48 / S ( ) = 8+ 4 = 0 = = Como S ( ) = 8 : para el valor =, 4 0 S = < Máimo Punto S = 4 > 0 mínimo para =, ( ) P, 9 Ejercicio Los costes mensuales de producción de un determinado producto vienen dados por la función C ( ) = Los ingresos se ajustan a la función I( ) = 00 Determina: a) En qué intervalo debe situarse la producción para no perder dinero? b) Cuántas unidades tiene que producir mensualmente la empresa para obtener el máimo beneficio? En este caso, a cuánto asciende la ganancia por unidad de producto? Solución: a) La función de beneficios es: B ( ) = I( ) C( ) = B ( ) = Se desea que B ( ) = Resolviendo la ecuación asociada: = 0 = 40 y = 00 Luego, B ( ) = ( 40)( 00) 0 cuando [40, 00] Para no perder dinero deben producirse entre 40 y 00 unidades de producto b) Derivando e igualando a 0: B ( ) = + 0 = 0 = 0 Como la derivada segunda, B ( ) = < 0, para ese valor de producción, = 0, los beneficios serán máimos Esos beneficios máimos serán: B (0) = = 900 euros La ganancia por unidad será: 900/0 =,

14 4 Ejercicio Se quiere construir una caja de base cuadrada, sin tapa Si se dispone de 08 cm de material, cuáles deben ser sus dimensiones para que la caja tenga volumen máimo? Solución: Si es la medida del lado de la base e y la altura de la caja, se tiene: El área total de la caja (las cuatro caras laterales y la base) es 08 dm : + 4y = 08 Su volumen será: V = y 08 Despejando y en la primera igualdad, y =, y sustituyendo en la epresión del 4 volumen, se tiene: 08 V ( ) = = El máimo de V () se da en la solución de V ( ) = 0 que hace negativa a V () Derivando: 08 V ( ) = 7 = = 0 08 = 0 = Como V ( ) = es negativa para =, para ese valor se consigue el volumen máimo 4 buscado Las dimensiones de la caja serán: lado de la base, = ; altura, y = Ejercicio 4 Después de semanas de iniciarse un brote de gripe, el número de personas afectadas en una 0 determinada población viene dado por la función P ( ) = + 8, con 0 Calcula el máimo número de personas afectadas y la semana en que se da Solución: El máimo se da en la solución de P ( ) = 0 que cumpla, además, que P ( ) < 0 Derivando: 0( + 8 ) 0( 4 ) P ( ) = = P ( ) = 0 si ( ) ( ) = 0 = ; = La solución negativa no vale ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( + 8) P ( ) = P ( ) = ( + 8) P () = = = ( 8 + 8) Por tanto, el máimo número de personas afectadas por la gripe se da a finales de la segunda 0 semana; ese número será de P () = = 70 personas 4 + 8

15 Problemas Propuestos Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión Halla, aplicando derivadas, los vértices de las parábolas: a) f( ) = 4 b) f( ) = 8 Comprueba su crecimiento y curvatura Representa gráficamente en el intervalo [, ], estudiando sus máimos y mínimos, la ( + ) si 0 función f ( ) = ( ) si > 0 Nota Esta función es derivable en todo R Se vio ene el problema 7 del Tema ) Dada la función infleión f( ) = , calcula sus máimos, mínimos y puntos de 4 Demuestra que la función f ( ) = e es estrictamente creciente en todo R a) Comprueba que la función f( ) = tiene un máimo relativo e b) Comprueba que función f( ) = e tiene un punto de infleión Comprueba que la función f ( ) = ln( + ) tiene en = un punto de infleión con tangente horizontal f ( ) = +, determina: a) Los puntos de corte con el eje OX; y su signo b) Sus máimos y mínimo c) Sus puntos de infleión 7 Dada la función ( )( ) 4 8 Comprueba que la función y = es decreciente en todo su dominio 9 Halla los máimos y mínimos de la función sin f ( ) = en el intervalo [0, ] cos 0 Halla los puntos de infleión de la gráfica de la función f ( ) = ln( + ) 4 Demuestra que la función f ( ) = + 0 nunca es decreciente Es posible que, a pesar de lo anterior, tenga puntos de infleión? + Dada la función f ( ) = ( ) e, halla: a) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos y mínimos b) Sus puntos de infleión y sus intervalos de concavidad y conveidad

16 Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) = + en su punto de infleión Estudio de una función dependiente de uno o más parámetros 4 a) Dada la función: f ( ) = + b + + d, calcula los valores de b y d para que la función f() tenga un mínimo relativo en el punto (, ) b) Para los valores hallados haz un esbozo de su gráfica en el intervalo [, ], determinando su máimo y su punto de infleión Determina los valores de a y b para que la función f ( ) = a + b tenga un punto de infleión de coordenadas (, ) Para esos valores halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas e investiga si hay un punto singular entre ellos Halla el valor de a para que la función f ( ) = tenga un etremo en el punto = a + En ese caso, determina si se trata de un máimo o de un mínimo 7 Dada la función f ( ) = : a a) Puede tener un mínimo para algún valor de a? b) Tiene siempre una asíntota vertical? 8 Halla el valor que debe tomar a para que la función relativo en = a f ( ) = tenga un mínimo + 9 Halla el valor de a para que f ( ) = a + tenga un punto de infleión en = p+ 0 Comprueba que la función f ( ) = e tiene un mínimo local en = 0 para cualquier valor de p Tendrá algún punto de infleión? Sea la función f ( ) = a + + 0, a 0 a a) Halla los valores de a para los cuales la función f () tiene un máimo en = b) Calcula los etremos relativos de f () para a = Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = + b + c + d corte al eje OY en el punto (0, ), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX Representa gráficamente la función obtenida dando algunos de sus puntos

17 7 Representación gráfica de una función Representa gráficamente la función crecimiento y decrecimiento + f ( ) =, estudiando su domino, asíntotas y 4 Representa gráficamente la función f( ) =, estudiando su domino, asíntotas y + crecimiento y decrecimiento Determina también su curvatura + Halla las asíntotas de la función f( ) = Determina su crecimiento y decrecimiento, Tiene algún máimo? Haz un esbozo de su gráfica Dada la función f ( ) = : a) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos relativos b) Determina sus intervalos de concavidad y conveidad; y sus puntos de infleión c) Traza su gráfica 7 Dada la función f ( ) =, se pide: a) Su dominio, posibles simetrías y asíntotas a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Sus máimos y mínimos b) Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad c) Su representación gráfica 8 Esboza la gráfica de la función f ( ) = 9 Representa gráficamente la función f ( ) = e, calculando: asíntotas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos, mínimos y puntos de infleión 0 Representa gráficamente la función f ( ) = ln( ), estudiando: dominio de definición; asíntotas; máimos y mínimos; y los intervalos de crecimiento y decrecimiento Dada la función f( ) = ln, determina su dominio, asíntotas, crecimiento y + decrecimiento y concavidad y conveidad Haz un esbozo gráfico de ella Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas Esboza su gráfica f ( ) = e, sus Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 8] Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes a) f( ) = sin ( ) b) g ( ) = sin

18 8 Problemas de optimización 4 Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por 4 de ancha Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará Cuál debe ser el lado del cuadradito cortado para que el volumen de la caja resultante sea máimo? (Propuesto en Selectividad 0) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad invertida según la fórmula R( ) =, donde representa la cantidad invertida en miles de euros Qué cantidad de dinero se debería de invertir para obtener el máimo rendimiento? La suma de dos números positivos es ; encuentra aquellos cuya suma de cuadrados sea mínima 7 (Propuesto en Selectividad) Determina las medidas de los lados de un rectángulo de área, de modo que la suma de las longitudes de tres de sus lados sea mínima 8 (Propuesto en Selectividad, Aragón 0) Descomponer el número en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo 9 El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) = 0, Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) = 00 (C() y p() en unidades monetarias, um) Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios A cuánto asciende ese beneficio? 40 (Propuesto en Selectividad) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilos de un artículo viene dado por la función B ( ) = 0,0 +, 80 a) Determina los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo b) Determina los kilos que hay que producir y vender como máimo para que la empresa no tenga pérdidas Otros problemas 4 Demuestra que las siguientes funciones son crecientes siempre: a) f ( ) = e + b) f( ) = + + m 4 Determina si la función f ( ) = tiene máimos, mínimos y puntos de infleión + Depende del valor que tome m? b 4 a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) = a + tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4) b) Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () Esboza su gráfica

19 9 44 (Propuesto en Selectividad 0) Dada la función y = ( + )( ) halla: a) Dominio y cortes con los ejes b) Máimos y mínimos c) Crecimiento y decrecimiento d) Concavidad y conveidad e) Dibujar su gráfica 4 El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) = 0, Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) = 0, (C() y p() en unidades monetarias, um) Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios A cuánto asciende ese beneficio? 4 Estudia los máimos y mínimos relativos de la función f ( ) = + a + dependiendo de los valores de a 47 El coste de producir q unidades de un producto es Cq ( ) q q 0 = + + Si cada unidad se vende a un precio p = 400 0,q a) Calcula la función de beneficios Cuántas unidades deberá producirse para obtener el beneficio máimo?; cuál es dicho beneficio? b) Cuál es el precio al que se obtiene el máimo beneficio c) Si el gobierno impone un impuesto que es un coste adicional de 0 euros por unidad Cuántas unidades maimizan ahora el beneficio? Soluciones a) (, 4); convea b) (, ); cóncava ( /, /4) y (, 0), mínimos; (/, 4/7), máimo (, 8), (, 7), (7, ) a) = b) = 0 7 a) = ; = b) Ma (, ) Min (, 0) c) = 9 = π/, máimo; = π/, mínimo 0 = ± a) Decrece: < 0; crece, > 0 b) = ; <, cóncava ( ); >, convea ( ) y = 4 a) b =, d = b) = /, máimo; = /, infleión a = ; b = Máimo en = 4; mínimo = 0 a = Máimo 7 a) No b) No si a = / 8 a = 8 9 a = /8 0 No a) a = o a = b) máimo, (, /); mínimo, (, /) b = ; c = 8; d = (4/,,), má; (/,,07), PI; (, ), mín Asíntotas: = ; y = Siempre decreciente 4 Asíntotas: = ; y = Siempre creciente <, convea; >, cóncava Crece: < < 0 y 0< < + ; decrece: <, + < <, >

20 70 Má: = + Crece: <, > Má, = ; min, = + ; PI, = 0 y = ± / 7 R {, }; impar); =, =, y = b) c) <, ( ); < < 0, ( ); 0 < <, ( ); >, ( ) 8 AV, = 0; AO, y = Decrece siempre 9 AH, y = 0 Dec: (, ); cre: (, + ) =, mín; =, PI <, ( ); >, ( ) 0 Dom (f) = (, ) AV: = y = ; Ma: (0, 0 R [, 0] AV: = (por la izquierda) y en = 0 (por la derecha) Siempre es creciente Si < 0, crece; > 0, decrece ; Ma, = 0 PI: = ; = AH, y = 0 a) = π/4, má; = π/4, mín b) = π, má; = π, mín 4 4, 4000 euros 8 y 8 7 = e y = 8 = 4 e y = 8 9 a) = 4000 ;, um b) = 9,08; 9 um 40 a) 80 kg b) 00 kilos 4 Si m > 0, un máimo Si m < 0, un mínimo Si m 0, PI en = y = 4 a) a = 4; b = b) AV, = 0; AO, y = 4 ; Má, ( /, 4); mín, /, 4) 44 a) R; (, 0); (, 0); (0, ) b) =, má; =, mín 4 a) = 000 b) = 7 o = 8 4 En = 0 hay máimo si a < 0, y mínimo si a > 0 En = a / hay mínimo si a < 0, y máimo si a > 0 47 ; 700 b) 7 c) 00

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