EJERCICIOS GRUPO 1 DERIVADAS. 1. Usando la definición calcule la derivada de las siguientes funciones.

Transcripción

1 INSTRUCCIÓN. Resuelve los problemas propuestos del modo siguiente: primero en forma individual, luego en forma grupal y por último preséntalo en forma grupal en un máimo de cinco (05) integrantes. EJERCICIOS GRUPO DERIVADAS. Usando la definición calcule la derivada de las siguientes funciones. a. b. f ( ) 6 f ( ) 4 c. d. f( ) f ( ). Usando la definición calcule la derivada de las funciones f( ) en el punto 0 dado. f ( ) ; a. 0 b. f ( ) ; 0 c. f ( ) ; 0 f ( ) ; 5 d. 0 e. f ( ) ; 0. Grafique y halle los puntos en donde la función no sea derivable. a. f ( ) b. c. f ( ) 9 f( ) 4, 0 4, 0 4. Grafique y halle la ecuación cartesiana ordinaria de la recta L que sea tangente a la gráfica de y y sea paralela a la recta L : y Halle, si eiste, f '(),. f ( ) 9

2 6. Dada la función f( ), determine el valor de m si se cumple que: 5 m f m f '( ) f ( 6). 7. Si f( L ). f ( ) 5 y 6 L lim 7, halle 7 8. Grafique y escriba las ecuaciones cartesianas de la tangente y la normal a la 4 curva C : y y 6 en el punto M(,-). 9. Grafique y halle el ángulo comprendido entre las parábolas: y 8 e y. 0. Para el movimiento rectilíneo de un punto en, el espacio s recorrido en 5 t t función del tiempo t está definido por la ecuación: s sen (t, en 5 8 segundos y s, en metros). Determine la velocidad de movimiento cuando han trascurrido dos segundos.. Halle la derivada de las siguientes funciones. a. b. c. f( ) f( ) m n a b sen y ln sen d. 4tg y ln 4 tg tg tg e. f y sen sen sen y arcsen sen sen g. ( y y y y e e ) h. sen y ln arctg sen sen

3 i. y ln sen tg j. k. l. m. n y tg ctg tg ctg ln tg y y log y y e cos cos arcsen sen y log o. cos sen p. y q. y y y. 4 0 r. sen cos 0 y y s. ln t. y y tg a y cos cos u. y lnln lnlnln v. y log sen w. y arcsen. y. Dado. y Halle dy. Si f ' 6 6 y f d en el punto P cuya abscisa es, halle dy d en. 4. En los puntos de intersección de la recta L : y 0 y la parábola L : y 4 5 se trazan las normales a la parábola. Halle el área del triángulo generado por las normales y la cuerda que subtiende los referidos puntos de intersección.

4 5. Dos circunferencias de radio 4 son tangentes a la gráfica de L : y 4 en el punto P,. Halle la ecuación cartesiana, el centro y el radio de cada una de dichas circunferencias. EJERCICIOS GRUPO DERIVADAS 6. De un tubo sale arena a razón de 6 pies cúbicos por segundo. Si la arena forma en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base, con qué rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4 pies de altura? 7. Una alberca de natación tiene 40 pies de largo, 0 de ancho y 8 de profundidad en un etremo y en el otro; el fondo es rectangular. Si la alberca se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto, con qué rapidez sube el nivel cuando tiene tres pies de profundidad en el etremo hondo? 8. Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0,0 pulgadas por segundo, con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras cuando su radio es de 8, pulgadas? 9. Un objeto de 5 metros de altura se encuentra justamente debajo de la luz de la calle situado a 0 metros de altura. Suponiendo que el objeto se mueva a una velocidad de 4 m/s. Calcule: a) La velocidad del etremo de la sombra. b) La variación de la longitud de la sombra en la unidad de tiempo. 0. Un puente largo de autopista de desnivel pasa sobre las vías del tren que están 00 pies abajo y perpendiculares a él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) directamente arriba de un tren que avanza a 60 millas por hora (88 pies por segundo) con que rapidez se separan 0 segundos después?. Un canal de pies de longitud tiene una sección transversal en forma de triángulo isósceles de 4 pies de altura y 6 de base. Si se está llenando con agua a razón de 9 pies cúbicos por minuto, con que rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene pies de profundidad?. Un tanque de agua tiene la forma de un cono, con eje vertical y vértice hacia abajo. El radio del tanque es de pies y la altura de 8 pies. El tanque está lleno de agua al principio, pero en el tiempo t 0(en segundos) se abre un pequeño orificio en el vértice y el tanque comienza a desaguar. Cuando la altura del agua en el tanque ha bajado a pies fluye hacia afuera a 0.0 pies / s. A qué razón en pies / s, está bajando el nivel del agua en ese momento?. Un foco de luz está situado en la cúspide de una torre de 80 m de altura. Desde un punto situado a 0 m del foco y a su misma altura, se deja caer un balón. Suponiendo que éste cae según la ley s 6t, halle la velocidad a la que se mueve la sombra del balón sobre el suelo un segundo después de empezar a caer. 4

5 4. Un triángulo rectángulo variable OBC recto en B en tiene un vértice O fijo 7 en el origen y el vértice C sobre la parábola y. El vértice B parte del 6 punto P (0,) en el tiempo t 0 y se desplaza hacia arriba siguiendo el eje y a una velocidad constante de cm/s. Con qué rapidez crece el área del triángulo cuando t 7s? 5. Se bombea agua a un tanque que tiene la forma de un cono truncado circular recto con una razón uniforme de litros ( litro = 000 centímetros cúbicos) por minuto. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y radios inferior y superior de 0 y 40 centímetros, respectivamente. Con que rapidez sube el agua cuando la profundidad es de 0 centímetros? Nota: El volumen V de un cono truncado circular recto de altitud h y radios inferior y superior a y b es V ha ab b. CAÍDA DE LOS CUERPOS EJERCICIOS GRUPO DERIVADAS 6. Un objeto arrojado directamente hacia arriba tiene una altura s 6t 48t 56 pies después de t segundos. a) Cuál es su velocidad inicial? b) En qué tiempo alcanza su altura máima? c) Cuál es su altura máima? d) En qué tiempo alcanza el piso? e) Con qué velocidad llega al piso? 7. Un objeto que se arroja verticalmente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad de 48 pies por segundo tiene una altura aproimada de s 48t 6t al término de t segundos. a) Cuál es la altura máima que alcanza? b) Con qué rapidez se mueve y en qué dirección al término de segundo? c) Qué tiempo tarda en regresar a su posición original? 8. Se arroja un objeto verticalmente hacia abajo desde un acantilado, con una velocidad inicial de v0 pies por segundo, la ecuación aproimada de su movimiento de caída es s v0t 6t pies en t segundos. Si cae al océano en segundos con una velocidad de 40 pies por segundo, cuál es la altura del acantilado? APROXIMACIONES 9. Los seis lados de una caja cúbica de metal miden 0,5 pulgadas de grueso y el volumen del interior de la caja es de 40 pulgadas cúbicas. Use diferenciales para encontrar el valor aproimado del metal usado para construir la caja. 5

6 0. El interior de un depósito cilíndrico sin tapa es de pies de diámetro y 8 pies de altura. El fondo es de cobre y los lados de acero. Use diferenciales para calcular la cantidad aproimada, en galones, de pintura impermeabilizante que se necesita para aplicar una capa de 0,05 pulgadas a la parte de acero del interior del tanque ( galón pulgadas cúbicas).. El diámetro de una esfera se ha medido en 0+0, centímetros. Calcule el volumen con una estimación del error.. Un rodillo cilíndrico mide eactamente pulgadas de longitud y se ha estimado su diámetro en 6 0,005 pulgadas. Calcule su volumen con una estimación del error. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se puede hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 4 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando. 4. Un trozo de alambre de 6 pulgadas de longitud se va a cortar en dos partes; una se doblará para formar un cuadrado y la otra se doblará para formar un círculo. Dónde debe hacerse el corte de modo que la suma de las áreas del cuadrado y el círculo sea máima? O mínima? (Se permite la posibilidad de que no se corte). 5. Se va a construir una cisterna de base cuadrada para retener 000 pies cúbicos de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna? 6. Se necesita una caja sin tapa de pulgadas cúbicas. Si la caja debe tener el doble de largo que de ancho, qué dimensiones debe tener para que ocupe la menor cantidad de material? 7. Hallar las dimensiones y el volumen del cono circular recto, de volumen máimo que puede ser inscrito en una esfera de radio La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su base por el cuadrado de su altura, encuentre las dimensiones de la viga más fuerte que se puede cortar de un tronco cuya sección transversal tiene forma de la elipse 9 8y Una jardinera debe tener la forma de sector circular de radio r y ángulo en el vértice. Halle r y si el área es una constante A y el perímetro es mínimo. 40. Un recipiente metálico sin tapa con etremos semicirculares debe tener una capacidad de 8 pies cúbicos. Determine su radio r y su longitud h si se quiere que el recipiente tenga la menor cantidad de material en su construcción. 4. Hallar un punto sobre la curva y que esté más próimo al punto B(6,). 6

7 4. En el plano bidimensional se da un punto M(a,b) situado el primer cuadrante. Trace y halle la ecuación cartesiana ordinaria de la recta L que pasa por éste punto, de manera que el triángulo formado por L y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. 4. Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada disponiendo de 00 material. Halle las dimensiones para que el volumen sea máimo. m de 44. Se desea cercar un lote rectangular que tenga 4000 m de superficie con uno de los lados a lo largo de un río recto. Si no se necesita cercar para el lado que da al río, qué dimensiones requieren la menor cantidad de cerca? 45. Grafique y analice la monotonía y concavidad de la función definida sobre, por: 4 f( ) 6 6 8,, 0 4, 0, 46. En cada uno de siguientes problemas se define una función y se da un intervalo cerrado. Decida se el teorema del valor medio es aplicable a la función dada en el intervalo dado; de ser así, encuentre todos los valores posibles de c; si no, establezca la razón. En cada problema, dibuje la gráfica de la función dada en el intervalo dado. a) f ( ) ;, b) f ( ) ;, f ( ) 4 ;, f( ) ;,4 c) f( ) ;, d) e) f) f( ) ;,5 g) f ( ) ; 0, h) f ( ) ;, 47. En los siguientes problemas, dibuje la gráfica de una función continua f en el intervalo 0,6 que satisfaga todas las condiciones establecidas. a) f(0) = ; f() = ; f(6) = 4; f ' ( ) 0 en 0,,6 ; f ' () 0 ; f '' ( ) 0 en 0,,6 ; f '' ( ) 0 en,. 7

8 b) f(0) = f(4) = ; f() = ; f(6) = 0; f ' ( ) 0 en 0, ; f ' ( ) 0 en,4 4,6 ; f ' () f ' (4) 0; f '' ( ) 0 en 0,,4 ; f '' ( ) 0 en, 4,6. c) f(0) = f() =; f() = 4; f(4) = ; f(6) =0; f ' ( ) 0 en 0, ; f ' ( ) 0 en,4 4,5 ; f ' () f ' (4) 0; f ' ( ) en 5,6 ; f '' ( ) 0 en 0, 4,5 ; f '' ( ) 0 en,4. REGLA DE L HOSPITAL 48. Calcule los siguientes límites. a) lim tg lim cos ctg b) c) d) e) 0 ln lim ln ln lim ln sen lim 0 sen DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD 49. Hallar a y b para que la función definida por: a b, f a a 8, 4 ( ) 6,,4 sea continua en su dominio, sabiendo que a y b son enteros. 50. Hallar A, B y C para que la función A 5, f ( ) B C,, A B, sea continua en = - y derivable =. 8