Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

Transcripción

1 Sólido de revolución Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución. Contenido Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones. Rotación paralela al eje de abscisas (eje x) El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=k siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica: En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera,

2 f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=k siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: Esta fórmula se simplifica si giramos figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por: ===TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS=== 'Existen dos teoremas ampliamente utilizados por los ingenieros de todo el mundo que permiten calcular el volumen y el area de un solido de revolucion si se conoce el centroide del mismo. Estos teoremas son conocidos como teoremas del centroide de Pappus-Guldinus. ' VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Calculo de volúmenes Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wr2π Para ver

3 Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wr2π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. Definición Sea una función definida en el intervalo. Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar alrededor del eje, la región limitada por la gráfica de, el eje y las gráficas de y. El eje es un eje de simetría de dicho sólido y una sección recta perpendicular al eje es un círculo.

4 Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura). Consideremos una partición del intervalo determinada por el conjunto de números donde, con. Sea un aumento de. Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son, y cuyas bases tienen radios.

5 El volumen del ésimo disco es: La suma de los volúmenes de los del sólido de revolución. discos nos da una aproximación al volumen Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición: Si existe un número tal que dada exista para la cual para toda partición de y todo aumento de, y con, este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de eje. alrededor del Si es la función dada por para, entonces la suma de aproximación:

6 utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como: donde. Luego, de la definición de integral y de la definición de que dada, se tiene Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado, tales que para. Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones rectas con ecuaciones. y las Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras).

7 El sólido generado se muestra en la siguiente figura: Sea una partición del intervalo determinada por el conjunto de números con para, y sea un aumento de. En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares. Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje.

8 Luego, el área del anillo circular es: por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será: Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es: Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Definición Si existe un número tal que dada exista para la cual para toda partición de y todo aumento de, y con, este número de es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de,,,, alrededor del eje.

9 Si es la función dada por para, entonces la suma de aproximación utilizada en la definición 8, puede escribirse como: donde,. Luego se tiene que: IMÁGENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

10 Calculo de volúmenes de sólidos con los métodos de rebanadas, Discos y anillos 1. Encuentre el volumen del solido S descrito. a) Un cono circular recto con altura h y radio r de la base b) Una pirámide con altura h y base rectangular con dimensiones b y 2b. c) Un tetraedro con 3 caras mutuamente perpendiculares y tres aristas Mutuamente perpendiculares con longitudes de 3 cm, 4 cm y 5 cm. d) La base de S es una región elíptica con la curva frontera9x2+4y2 = 36. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos Rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base. 2. La base de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversales Paralelas, perpendiculares a la base, son triángulos isósceles con altura h y lado desigual en la base. a) Establezca una integral para obtener el volumen de S. b) Interprete la integral como un área y encuentre el volumen de S. 3. Halle el volumen común a dos esferas, cada una con radio r, si el centro De cada una se encuentra sobre la superficie de la otra. 4. Un tazón tiene una forma semejante a un hemisferio con un diámetro de 30 cm. Se coloca una pelota con diámetro de 10 cm dentro del tazón y se Vierte agua en este hasta una profundidad de h centímetros. Encuentre el volumen del agua en el tazón Algunos de los pioneros del cálculo, Kepler y Newton por ejemplo, pensaron en el problema de determinar los volúmenes de las barricas de vino. (Kepler de hecho en 1715 publico un libro dedicado a los métodos para calcular esos volúmenes con el título Estereometría Doliorum.) En ocasiones Aproximaban el perfil lateral con parábolas. a) Una barrica de altura h y radio máximo R se construye haciendo girar alrededor del eje de abscisas, la parábola y = R cx2, h

11 2 _ x _ h 2, donde c es una constante positiva. Muestre que el Radio en los extremos del tonel es r = R d, con d = ch2 4. b) Muestre que el volumen comprendido es V = _h(2r2 + r2 2 5d2) 6. Consideremos una región R que tiene área A situada arriba del eje x. Al Girar R alrededor del eje x, barrera un sólido con volumen V1. Cuando R Gira alrededor de la recta y = k (donde k es un numero positivo),barre Un sólido de volumen V2. Exprese V2 en términos V1,k y A. 7. Obtenga la fórmula del volumen de una esfera generada al hacer girar Alrededor del eje x la región acotada por el círculo x2 +y2 = r2 y el eje x. 8. Obtenga la fórmula del volumen de un cono circular recto de altura h y un Radio de base a, generado al hacer girar la región acotada por un trianguló Rectángulo alrededor de uno de los catetos. 9. Calcule el volumen del sólido generado cuando la región limitada por la Curva y = csc x, el eje x y las rectas x = _ 6 y x = _ 3 Se gira alrededor del Eje x. 10. La región acotada por la curva y = cot x, la recta x = _ 6, y el eje x gira Alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera. 11. Un tanque de aceite (de forma esférica) tiene 20 cm de diámetro. Cuánto Aceite contiene si la profundidad del aceite es 8 metros? 12. Un paraboloide de revolución se obtiene por la rotación de la parábola y2 = 4px alrededor del eje x. Encuentre el volumen limitado por un Paraboloide de revolución y un plano perpendicular a su eje si el plano Se encuentra a 10 cm del vértice, y si la sección plana de la intersección es un circunferencia de 6 cm de radio. 13. La base de un sólido es la región encerrada por una circunferencia con radio de 4 cm y todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro Fijo de la base, son triángulos isósceles con altura de 10 cm y una cuerda Del círculo como base. Obtenga el volumen del sólido La base de un sólido es la región acotada por una circunferencia con radio De r unidades, y todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro Fijo de la base son triángulos isósceles rectos, cuya hipotenusa está en el Plano de la base. Encuentre el volumen del sólido. 15. Resuelva el ejercicio anterior si los triángulos isósceles rectos tienen un Cateto en el plano de la base. 16. Dos cilindros circulares rectos, ambos con radio r unidades, tienen ejes

12 Que se cortan con ángulos rectos. Obtenga el volumen del sólido común a Los dos cilindros. 17. Se corta una cuña de un sólido con forma de cilindro circular recto y radio r cm, por medio de un plano a través de un diámetro de la base, inclinado 45o con respecto al plano de esta. Obtenga el volumen de la cuña. 18. Se corta una cuña de un sólido con forma de cono circular recto con base De radio igual a 5 m y una altura de 20 m, por medio de dos semiplanos Que contienen los ejes del cono. El Angulo entre los dos planos mide 30o. Determine el volumen de la cuña. 2. Cálculo de volúmenes mediante cascarones cilíndricos 1. Emplee cascarones cilíndricos para calcular el volumen de los sólidos que Se describen a continuación. a) Una esfera de radio r. b) Un cono circular recto, con altura h y base de radio r. 2. La región limitada por las curvas x = y2 2yx = 6 y2 gira alrededor de Los ejes indicados. Determine el volumen del sólido generado. a) El eje x. b) El eje y. c) La recta x = 2. d) La recta y = Halle el volumen del sólido generado por el giro de la región delimitada Por la grafica de y = 4x x4 8, el eje y y la recta y = 6, con respecto a la Recta x = Obtenga el volumen del sólido generado por la revolución de la región del Ejercicio anterior con respecto al eje y. 5. Obtenga el volumen del sólido generado por la revolución alrededor del eje y de la región limitada por la gráfica y = 3x x3, el eje x y la recta x = Encuentre el volumen del sólido generado por la rotacion, alrededor de la Recta y = 1, de la región limitada por dicha recta y la parábola x2 = 4y. Considere elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. 7. Determine el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del Eje, de la región acotada por las curvas = x3 y x = y3. Considere Elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. 8. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje y, de la región limitada por la curva y = sen x2, el eje x y las rectas x = p _ 2 y x = p _ 9. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje, De la región acotada por la curva x2/3 + y2/3 = a2/ La región del primer cuadrante delimitada por la curva x = cos y2, el eje y

13 Y el eje x, 0 _x_ 1, se hace girar alrededor del eje x. Obtenga el volumen Del sólido de revolución que se genera. 11. A través de un sólido de forma esférica de 6 cm de radio, se produce un Orificio de 2 cm de radio, y el eje del hueco es un diámetro de la esfera. Obtenga el volumen de la parte de la esfera que queda después de la Perforación. 12. En un sólido de forma esférica de 4 plg de diámetro se hace un orificio de 2 p 3 plg de radio. Halle el volumen de la porción hueca del sólido. 13. Obtenga el volumen del sólido generado por la revolución con respecto al Eje y de la región delimitada por la gráfica de y = x 3, y las rectas x = 1,x = 5 y y = 0. Considere elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. 14. Un sólido de revolución se forma al hacer girar alrededor del eje y la Región delimitada por la curva y = 3 p x, el eje x y la recta x = c(c > 0). Tome elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución para Determinar un valor de c que produzca un volumen de 12 unidades cubicas. 15. Calcule el volumen del sólido generado por la revolución alrededor del eje y, de la región externa a la curva y = x2 situada entre las rectas y = 2x 1 y y = x Una esfera con radio de 10 cm es cortada por dos planos paralelos en el Mismo lado del centro de la esfera. La distancia del centro de la esfera a uno de los planos es 1cm y la distancia entre los dos planos es 6 cm. Calcule el volumen de la porción solida de la esfera entre los dos planos.