Introducción. Flujo Eléctrico.

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1 Introducción La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante las líneas de fuerza, está relacionada con una ecuación matemática llamada Ley de Gauss, que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga. Flujo Eléctrico. La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico. En la figura 1 se muestra un área A perpendicular a una campo eléctrico uniforme. El flujo eléctrico que atraviesa una superficie de área A que es perpendicular al campo se define como el producto del campo E por el área A: = E A

2 Figura 1 Líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico uniforme E que atraviesa un área A perpendicular al campo. El producto EA es el flujo a través del área. Las unidades son el newton-metros cuadrados por coulomb (N m² / C). Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan el área. En la figura 2 la superficie de área A 2 no es perpendicular al campo eléctrico E. El número de líneas que atraviesan el área A 2 es el mismo que atraviesa el área A 1. Las áreas están relacionadas por: A 2 cos = A 1 en donde es el ángulo existente entre E y el vector unidad ^n perpendicular a la superficie A 2, según está indicado. El flujo a través de una superficie no perpendicular a E viene definido por = E ^na = EA cos = E n A en donde E n = E ^n es el componente del vector del campo eléctrico perpendicular, o normal, a la superficie. Figura 2 Líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico uniforme perpendicular al área, pero que forma un ángulo con el vector de unidad normal al área. Cuando E no es perpendicular al área el flujo a través del área es,

3 siendo el componente de E perpendicular al área. El flujo que atraviesa es el mismo que pasa por. El flujo total a través de la superficie es la suma extendida a todos los elementos. En el límite en que el número de elementos se aproxima a infinito y el área de cada elemento tiende a cero, esta suma resulta ser una integral. La definición general del flujo eléctrico es entonces: Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo eléctrico a través de una superficie. En una superficie cerrada, el vector normal unidad ^n se define de modo que está dirigido hacia fuera en cada punto. En un punto donde una línea de fuerza sale de la superficie, E está dirigido hacia fuera y es positivo, pero en un punto en donde una línea de fuerza entra en la superficie, E está dirigido hacia dentro y es negativo. El flujo total o neto neto a través de la superficie cerrada es positivo o negativo dependiendo de que E sea predominantemente hacia fuera o hacia dentro de la superficie. Puesto que el flujo a través de cualquier parte de la superficie es proporcional al número de líneas de fuerza que salen de la superficie, es decir, al número de líneas que salen de la superficie menos el número de las que entran. La integral extendida a una superficie cerrada se indica por el símbolo. El flujo neto a través de una superficie cerrada viene dado, por tanto, por: Ecuación 1. LEY DE GAUSS El flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4 k veces la carga neta dentro de la superficie: La validez de la ley de Gauss depende del hecho de que el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la carga. Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un número fijo de

4 líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la densidad de líneas sea proporcional a la intensidad del campo. Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de otra constante o, denominada permitividad del espacio libre: k = 1 / 4 o Con esta notación, la ley de Coulomb se escribe F 12 = 1 q 1 q 2 ^r 12 4 o r² 12 Ecuación 2. El valor de o en unidades SI es: o = 8.85 x 10 - ¹² C² / N m² La Ley de Gauss es válida para todas las superficies y distribuciones de carga. Como veremos en la sección siguiente, puede utilizarse para calcular el campo eléctrico en algunas distribuciones especiales de carga con altos grados de simetría. La potencia real de la ley de Gauss es teórica. En los campos eléctricos que resultan de cargas estáticas o que se mueven lentamente, la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin embargo, la ley de Gauss es más general, pues también puede aplicarse en campos eléctricos generados por cargas que se mueven rápidamente y cargas aceleradas. Campo Eléctrico E Próximo a una Carga Puntual En primer lugar utilizaremos la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual q. Supongamos que la carga puntual está en el origen. Por simetría E será radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga. Como superficie gaussiana, elegiremos una superficie esférica de radio r centrada en la carga. El componente normal de E, E n = E ^n = E r tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica. El flujo neto a través de esta superficie es, pues, Pero es el área total de la superficie esférica, 4 r². Puesto que la carga total en el interior de la superficie es precisamente la carga puntual q, la ley de Gauss nos da

5 E r 4 r² = q / o y E r = q / 4 o r² Así pues hemos deducido la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss. Como inicialmente dedujimos la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb, hemos visto que ambas leyes son equivalentes para cargas estáticas. Campo Eléctrico E próximo a un Plano Infinito de Carga Deseamos determinar el campo eléctrico próximo a un plano infinito de carga, de densidad de carga uniforme. Supongamos que el plano de carga se encuentra en el plano xy. Por simetría sabemos que el campo eléctrico debe ser perpendicular al plano, dependiendo sólo de la distancia z del plano al punto del campo y que ha de tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano. Escogeremos como superficie gaussiana un cilindro en forma de caja con su eje perpendicular al plano y con su centro en el plano (figura 3). Figura 3: Superficie gaussiana para el cálculo del campo eléctrico debido a un plano infinito de cargas. En las caras superior e inferior de esta caja cilíndrica, es perpendicular a la superficie y de valor constante. El flujo a través de dicha superficie es, siendo el área de cada cara. Suponemos que cada base del cilindro es paralela al plano y tiene un área A. En este caso, E es paralelo a la superficie cilíndrica y no existe ningún flujo que atraviese esta superficie curva. Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es E n A, el flujo total es 2E n A. La carga neta en el interior de la superficie es A. A partir de la ley de Gauss se obtiene

6 o sea, 2E n A = 1 A o E n = /2 o Este resultado concuerda con el obtenido por integración directa para el campo eléctrico E próximo a un disco de carga en el límite del radio infinito. Campo Eléctrico E Próximo a una Carga Lineal Infinita Consideremos ahora el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal muy larga de densidad de carga lineal uniforme. La figura 4 muestra una superficie cilíndrica de longitud L y radio r coaxial con la línea de carga. Figura 4 Una carga lineal uniforme muy larga con una superficie cilíndrica que incluye parte de la carga. El flujo a través de la superficie viene dado por el producto de. Por simetría, en aquellos puntos alejados de los extremos de la línea, las líneas del campo eléctrico irradian hacia fuera uniformemente desde la línea de carga (si ésta es positiva). El campo eléctrico es, por tanto, perpendicular a la superficie cilíndrica y posee el mismo valor E, en cualquier punto de la superficie. El flujo eléctrico es, por tanto, igual al producto del campo eléctrico por el área de la superficie cilíndrica. No hay flujo a través de las superficies planas de los extremos del cilindro, ya que en estas superficies E ^n = 0. La carga neta dentro de esta superficie es el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por la longitud L. Según la ley de Gauss Como el área de la superficie cilíndrica es 2 r L, tenemos

7 Er = 2 o r = 2 k r Ecuación 3. Es importante destacar que para usar la ley de Gauss es necesaria la existencia de un alto grado de simetría. En el cálculo anterior fue necesario suponer que el punto del campo estaba muy alejado de los extremos de la carga línea de tal modo que E n sería constante en todos los puntos de la superficie gaussiana cilíndrica. Esto equivale a suponer que la distancia r de la línea de carga, ésta parece ser infinitamente larga. Si la carga lineal es de longitud finita, no podemos suponer que E n es constante en todos los puntos de la superficie cilíndrica y por tanto, no puede utilizarse la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico. Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de una Corteza Cilíndrica de Carga. Calculemos ahora el campo eléctrico dentro y fuera de una corteza cilíndrica de radio R que posee una densidad de carga superficial uniforme,. Para calcular el campo dentro de la corteza consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r < R concéntrica con la corteza, como indica la figura 5. Figura 5 Una corteza cilíndrica de radio, portadora de una densidad de carga superficial uniforme. Para determinar el campo eléctrico dentro de la corteza, se construye una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la corteza de radio como se indica. Como no hay carga dentro de la superficie gaussiana, el flujo neto a través de esta superficie es nulo. Por simetría, el campo eléctrico es perpendicular a esta superficie gaussiana y su magnitud E r es constante en todos los puntos de la superficie. El flujo de E a través de la superficie es, por tanto.

8 en donde 2 r L es el área de la superficie gaussiana. Como la carga total dentro de esta superficie es cero, la ley de Gauss nos da Por tanto, neto = E 2 r L = 0 E r = 0 para r < R Ecuación 4. Es decir, el campo eléctrico es nulo en todos los puntos dentro de una corteza cilíndrica. Para determinar el campo eléctrico fuera de la corteza, consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r>r. De nuevo, por simetría, el campo eléctrico es perpendicular a esta superficie gaussiana y su magnitud E r es constante en todos los puntos de la superficie. El flujo vuelve a ser E r 2 r L, pero ahora la carga total dentro de la superficie es 2 R L. Según la ley de Gauss: neto = E r 2 r L = 2 R L o Como la longitud L de la corteza cilíndrica transporta la carga 2 R L, la carga por unidad de longitud de la corteza es = 2 R. Sustituyendo / 2 R por en la ecuación anterior, se obtiene: Er = 2 o r para r > R Ecuación 5. expresión que coincide con la ecuación 9 correspondiente a un campo E a una distancia r de una carga lineal infinita. Así pues, el campo exterior a una corteza cilíndrica de carga es el mismo que si toda la carga estuviera distribuida sobre el eje del cilindro. La figura 6 muestra el valor E r en función de r para esta distribución de carga. Justamente fuera de la corteza en r R, el campo eléctrico es E r = o. Como el campo justamente dentro de la corteza es cero, resulta un salto discontinuo del campo eléctrico de valor o al atravesar la corteza. Este resultado coincide con el que encontramos para un plano infinito de carga, en donde el campo eléctrico es - o a un lado del plano y + o al otro lado. Es un resultado general que deduciremos al final de esta sección

9 Gráfica de en función de Figura 6 para una corteza cilíndrica que posee una carga distribuida uniformemente en su superficie. El campo eléctrico es discontinuo en donde hay una carga superficial de densidad. Justo dentro de la corteza, el campo es nulo, mientras que justo fuera de la corteza, su magnitud es Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de un Cilindro Sólido de Carga Infinitamente Largo La figura 7 muestra un cilindro sólido de radio R portador de una carga que está distribuida uniformemente por todo el volumen del cilindro con densidad de carga Figura 7 Cilindro sólido portador de una densidad de carga volumétrica uniforme. Lo mismo que en el caso de la corteza cilíndrica de carga; el flujo a través de una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L es

10 neto = E 2 r L Si la superficie gaussiana es exterior al cilindro, es decir, si r > R, la carga total dentro de esa superficie es veces el volumen del cilindro sólido, el cual vale R² L. Según la ley de Gauss: E r = R² / 2 o r Así pues, el campo eléctrico exterior a un cilindro sólido de carga es el mismo que si toda la carga estuviera distribuida en el eje del cilindro. Si se elige la superficie gaussiana en el interior del cilindro, de modo que r < R, la carga total interior a la superficie es V', en donde V' = r² L es el volumen del cilindro interior a la superficie gaussiana. Por tanto, la ley de Gauss nos da para el campo eléctrico interior al cilindro sólido de carga: neto 1 Q interna o E r = r/ 2 o para r < R Ecuación 6. Es decir, el campo eléctrico dentro de un cilindro sólido de carga crece con el valor de r. La figura 8 muestra un gráfico de E r en función de r para esta distribución de carga. Obsérvese que E r es continuo en r = R. Figura 8 Gráfica del campo eléctrico producido por un cilindro sólido cargado, de radio en función de la distancia medida desde el eje del cilindro.

11 El campo es proporcional a para y disminuye según para. El campo es continuo en. Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de una Corteza Esférica de Carga Determinaremos ahora el campo eléctrico interior y exterior a una corteza esférica uniformemente cargada de radio R y carga total Q. Por simetría, E debe ser radial y su magnitud dependerá sólo de la distancia r contada desde el centro de la esfera. En la figura 9 hemos escogido una superficie gaussiana esférica de radio r > R. Como E es perpendicular a esta superficie y constante en magnitud en todos los puntos de la misma, el flujo que atraviesa la superficie es: Figura 9 Superficie gaussiana esférica de radio para el cálculo del campo eléctrico exterior a una corteza esférica uniformemente cargada de radio. El flujo total a través de esta superficie es y la carga total de la corteza Q. El campo es el mismo que resultaría si toda la carga estuviera en el centro de la corteza. Como la carga total dentro de la superficie gaussiana es la carga total sobre la corteza, Q resulta por la ley de Gauss E r 4 r² = Q / o es decir, E r = Q/ 4 o r² para r > R Ecuación 7. Así pues, el campo eléctrico exterior a una corteza esférica uniformemente cargada es el

12 mismo que si toda la carga estuviera en el centro de la corteza. Si escogemos una superficie gaussiana esférica en el interior de la corteza, de modo que r < R, el flujo es de nuevo E r 4 r², pero la carga total dentro de la esfera es cero. Por tanto, para r < R, la ley de Gauss nos da y neto = E r 4 r² = 0 E r = 0 para r < R Figura 10: (a) Gráfica de en función de para una distribución de carga de una corteza esférica. El campo eléctrico es discontinuo en en donde existe una carga superficial de densidad. Justo dentro de la corteza el campo es nulo, mientras que justo fuera de la corteza tiene la magnitud. Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de una Esfera Sólida Uniformemente Cargada Calcularemos aquí el campo eléctrico dentro y fuera de una esfera sólida uniformemente cargad de radio R portadora de una carga Q distribuida por todo el volumen de la esfera con densidad de carga = Q / V siendo V = 4/3 R³ el volumen de la esfera. Como en el caso de la corteza esférica de carga, el flujo a través de una superficie gaussiana de radio r es: neto = E r 4 r² Si la superficie gaussiana es exterior a la esfera, como indica la figura 11, la carga total dentro de la superficie es Q y la ley de Gauss nos da: E r = Q / 4 o r² para r > R

13 Figura 11 Superficie esférica gaussiana para el cálculo del campo eléctrico fuera de una esfera sólida cargada uniformemente. Si la superficie gaussiana se elige en el interior de la esfera, lo cual significa que r < R (figura 12), la carga total dentro de la superficie es V', en donde V' = 4/3 r³ es el volumen interior a la superficie gaussiana: Q interna = V' = Q r³ /3 R³ Figura 12 Superficie gaussiana esférica para el cálculo del campo eléctrico en el interior de una esfera sólida uniformemente cargada. El flujo a través de la superficie es nuevamente. La carga total de la superficie gaussiana es.

14 Figura 13 Gráfica de en función de para una esfera sólida cargada, de radio. Para, el campo crece linealmente con. Fuera de la esfera, el campo eléctrico es el mismo que el debido a una carga puntual. El campo es continuo en Según la ley de Gauss el campo eléctrico en el interior de la esfera se reduce de la expresión: E r = Q r/ 4 o R³ para r < R Así vemos que el campo eléctrico dentro de una esfera sólida de carga aumenta con r. La figura 13 muestra una gráfica de E r en función de r para esta distribución de carga. Obsérvese que E r es continuo para r = R. Esta función, a veces, se puede utilizar para describir el campo eléctrico de un núcleo atómico, el cual puede considerarse que es, aproximadamente, una esfera sólida uniforme de carga.

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