Con frecuencia, existe un modo fácil y un modo difícil de resolver un problema.

Transcripción

1 Teorema de Gauss. Notación: Los vectores se indicarán en negrita. Con frecuencia, existe un modo fácil y un modo difícil de resolver un problema. El modo fácil tal vez sólo requiera el empleo de las herramientas correctas. En física las propiedades de simetría de los sistemas constituyen una herramienta importante para simplificar los problemas. La ley de Gauss es parte de la clave para utilizar consideraciones de simetría que simplifiquen los cálculos del campo eléctrico. Sin embargo, la ley de Gauss es algo más que un método para hacer ciertos cálculos con facilidad. Es un enunciado fundamental acerca de la relación que hay entre las cargas eléctricas y los campos eléctricos.

2 En clases anteriores se planteó la pregunta Dada una distribución de carga, cuál es el campo eléctrico que produce esa distribución en un punto P?. Vimos que la respuesta podía encontrarse si se representaba la distribución como un conjunto de cargas puntuales, cada una de las cuales producía un campo eléctrico E. Podemos plantear la pregunta a la inversa: si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada, qué podemos decir acerca de la distribución de carga que genera dicho campo? La caja representa una superficie imaginaria que puede encerrar o no cierta carga. Llamaremos a la caja una superficie cerrada, ya que encierra por completo un volumen. Cómo determinar cuánta carga eléctrica (si es que la hay) se encuentra dentro de la caja?

3 Si ponemos una carga de prueba en diferentes posiciones y medimos la fuerza sobre la carga, se puede elaborar un mapa tridimensional del campo eléctrico fuera de la caja. el mapa resulta ser el mismo que el del campo eléctrico producido por una carga puntual positiva. A partir de los detalles del mapa es posible determinar el valor exacto de la carga puntual dentro de la caja. Por analogía entre los vectores de campo eléctrico y los vectores de velocidad de un fluido en movimiento, cuando los vectores de campo eléctrico apuntan hacia fuera de la superficie, decimos que existe un flujo eléctrico saliente. Cuando los vectores se dirigen hacia la superficie, el flujo eléctrico es entrante.

4 Relación sencilla: la carga positiva dentro de la caja corresponde a un flujo eléctrico saliente a través de la superficie de la caja, y la carga negativa en el interior corresponde a un flujo eléctrico entrante. Qué pasa si la carga dentro de la caja es cero? En la figura 22.3a la caja está vacía y en todo lugar, por lo que no hay flujo eléctrico hacia el interior o exterior de la caja. No hay un flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja, y ninguna carga neta está encerrada en la caja. Esto sugiere que el flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta encerrada en la caja.

5 En conclusión: 1- El hecho de que el flujo neto sea hacia el exterior o hacia el interior de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada. 2- Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico neto a través de la superficie. 3- El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad neta de carga contenida dentro de la superficie, pero es independiente del tamaño de la superficie cerrada. Estas observaciones son el planteamiento cualitativo de la ley de Gauss.

6 Flujo eléctrico Consideremos un campo eléctrico uniforme en magnitud y dirección. Las líneas de campo penetran en una superficie de área A, cuyo plano tiene una orientación perpendicular al campo. (recordar que el número de líneas por unidad de área, la densidad de líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico). El total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA Y por unidad de tiempo: flujo eléctrico Con base en las unidades del SI, la unidades de flujo eléctrico son N.m 2 /C. El flujo eléctrico es proporcional al número de las líneas de campo eléctrico que penetran en una superficie.

7 Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo, el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el anterior. Analogía con un fluido: El flujo que atraviesa una superficie de área A es máximo (EA) cuando la superficie es perpendicular al campo (la normal de la superficie es paralela al campo). El flujo es cero si la superficie es paralela al campo (cuando la normal de la superficie es perpendicular al campo,).

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9 En situaciones más generales, el campo eléctrico varía a lo largo de una superficie. Por lo tanto, la definición anterior de flujo tiene significado sólo para un elemento de área pequeño sobre el cual el campo se puede considerar constante. Consideremos una superficie dividida en un gran número de elementos pequeños, cada uno de área A. La magnitud de este vector representa el área del elemento i-ésimo sobre la superficie y su dirección es perpendicular al elemento de superficie.

10 Ejemplo: Φ = E. A cos Φ = E. A cos Φ = E. A Φ = 0 Flujo a través de una superficie cerrada. Debemos distinguir entre un flujo negativo (sale) y uno positivo (entrante). La normal a una superficie puede apuntar en la dirección mostrada por ejemplo en la figura (d) o en el otro sentido (análisis matemático, repasar). Definición: normal positiva hacia afuera de la superficie cerrada. Así: Flujo entrante: negativo Flujo saliente: positivo

11 El resultado no es sorprendente, ya que el flujo entrante es igual al flujo saliente. Esto se debe cumplir para cualquier flujo, si no hay fuentes o sumideros.

12 Flujo negativo Flujo positivo Flujo nulo El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número neto de líneas que salen de la superficie número neto significa la cantidad de líneas que salen de la superficie menos la cantidad de líneas que entran. Si salen más líneas de las que entran, el flujo neto es positivo. Si entran más líneas de las que salen, el flujo neto es negativo.

13 Una distribución continua o discreta de cargas eléctricas genera un campo E. El campo eléctrico E es una magnitud vectorial. Una distribución continua o discreta de cargas genera un campo vectorial. Las cargas serán sumideros (cargas negativas) o fuentes (cargas positivas). El flujo (Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Esta propiedad indica o da una noción de la cantidad de campo que atraviesa dicha superficie. OJO: En el caso del campo eléctrico no hay NADA QUE FLUYA.

14 Otro Ejemplo: cilindro en un campo uniforme S (a)(c) = πr 2 ; S (b) = 2πRL

15 Ahora si. Ley de Gauss Imaginemos un conjunto de cargas positivas y negativas que generan un campo eléctrico E en una cierta región del espacio. Construiremos en esa región una superficie cerrada (superficie de Gauss o gaussiana) que puede contener a todas, alguna o ninguna de las cargas. La Ley de Gauss relaciona el flujo total que atraviesa esta superficie cerrada con la carga neta encerrada de la siguiente manera: La Ley de Gauss predice que en el caso del cilindro antes discutido, Φ = 0, ya que la carga encerrada neta es cero.

16 Ejemplo: dipolo. S 1 Q Q int( S ) 1 int( S ) 2 q q S 2 S 3 Q int( S 3) 0 Q q q int( S ) 4 0 S 4

17 Algunos comentarios para tener en mente. La ley de Gauss es clave para simplificar los cálculos de campos eléctricos a partir de consideraciones de simetría. Es un enunciado general y fundamental acerca de la relación entre cargas y campos eléctricos. La magnitud del campo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo que cruzan un elemento de área perpendicular al campo. La Ley de Gauss «cuenta» el número de líneas de campo que atraviesan una superficie. Es muy razonable pensar que el número de líneas de campo que atraviesan una superficie es proporcional a la carga encerrada por la misma. La elección de la superficie gaussiana es arbitraria. Ésta suele escogerse de forma tal de simplificar los cálculos.

18 Ley de Coulomb y Ley de Gauss La Ley de Coulomb puede deducirse a partir de la Ley de Gauss y consideraciones de simetría. Clave: Construir una superficie gaussiana que aproveche las simetrías E ds cos θ = 1 Magnitud del campo eléctrico E en cualquier punto a una distancia r de una carga puntual q aislada. La Ley de Gauss es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, y constituye una de las llamadas Leyes de Maxwell. Comentario: La Ley de Coulomb no esta incluida entre las Leyes de Maxwell ya que, como acabamos de ver, puede deducirse a partir de la Ley de Gauss.

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20 La ley de Gauss es válida para cualquier distribución de cargas y cualquier superficie cerrada. Se puede utilizar de dos maneras: - Si se conoce la distribución de la carga y si ésta tiene simetría suficiente que permita evaluar la integral en la ley de Gauss, se puede obtener el campo. - Si se conoce el campo, es posible usar la ley de Gauss para encontrar la distribución de carga, como las cargas en superficies conductoras.

21 Conductor cargado aislado - Una carga en exceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie exterior del conductor. - Ninguna de las cargas en exceso se encuentra en el interior del conductor. Tener en cuenta: Cargas del mismo signo se repelen intentarán apartarse Se moverán a la mayor superficie. En equilibrio, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero, caso contrario se producirían corrientes. Estas corrientes no han sido observadas experimentalmente (salvo durante el proceso de carga de un conductor y durante tiempo muy cortos).

22 Tomamos la superficie gaussiana indicada por las líneas punteadas y usamos Gauss: Por lo tanto, q = 0 en todos los puntos del interior del conductor, por lo cual La carga debe estar en la superficie. Que ocurre si realizamos un agujero en el conductor? Cambia la distribución de carga? Hay carga en la superficie interna? Tomando la superficie gaussiana indicada y siguiendo el mismo razonamiento llegamos a la conclusión que no hay carga localizada en la pared interior del conductor. La misma se localiza en la superficie exterior.

23 Supongamos que empezamos a estirar el hueco interior, de manera que sólo quede la superficie del conductor, y luego sacamos el conductor. Quedan sólo las cargas, congeladas en lo que era la superficie del conductor. El campo eléctrico no se altera. El campo eléctrico se crea por las cargas (por la distribución de cargas). El conductor simplemente proporciona un camino para que las cargas se distribuyan.

24 Ejemplo: el campo eléctrico en la superficie de un conductor y en el exterior. Si bien la carga se localiza en la superficie de un conductor perfecto, la misma no se distribuye homogéneamente (salvo en un conductor esférico). Tiende a concentrarse en zonas tipo punta (base del pararrayos). Dicho de otro modo, la densidad de carga superficial (dq/ds) varía punto a punto sobre la superficie.

25 El campo eléctrico fuera de un conductor cargado en equilibrio electrostático debe formar un ángulo recto con la superficie del conductor. Si no fuera así, y existiera una componente de E paralela a la superficie, la misma generaría corrientes, lo que haría redistribuir las cargas, violando la hipótesis de equilibrio electrostático. Por lo tanto, en un conductor cargado perfecto, E es perpendicular a la superficie.

26 En resumen: Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático

27 Veamos como ejemplo una lámina conductora infinita (muy delgada). E es paralelo a la superficie y debido a eso perpendicular a d A y no hay flujo a través de la superficie lateral del cilindro. Sólo hay flujo a través de las caras superior e inferior del cilindro. El flujo a través de cada extremo del cilindro es EA El campo es uniforme en todo el espacio.

28 Veamos como ejemplo una lámina conductora infinita (muy delgada). Si consideramos las dos caras ambas se van a cargar. Por lo tanto, se requiere el doble de carga que para una superficie conductora para obtener iguales campos en la superficie. Los campos eléctricos E l y E R se suman (superposición) para dar σ/2ε 0 + σ/2ε 0 = σ/ε 0. En el interior de la lámina los campos se anulan, como debe ser porque estamos en el interior de un conductor.

29 Ejemplo: Láminas paralelas (capacitor, ya veremos). Si las densidades de cargas superficiales son iguales y opuestas, el campo eléctrico fuera del capacitor se anula, y dentro tendrá un valor 2E + =2E - =s/e 0. Si las cargas son iguales en signo y magnitud, la situación se invierte.

30 Conductor hueco y con una carga en su interior. Supongamos un conductor con un hueco y que en éste hueco colocamos una carga positiva +q. Tomemos como superficie gaussiana la delimitada por la curva violeta. Como estamos en el interior de un conductor, E=0, y a partir de la Ley de Gauss, q neta = 0. Por lo tanto, debe aparecer una carga q. Y para que la carga total se conserve, sobre la superficie exterior debe aparecer una carga +q.

31 Ejemplo: Hilo infinito cargado. Método general para resolver un problema usando la Ley de Gauss: 1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. (en este caso, la dirección es radial y perpendicular a la línea cargada). 2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Cilindro de radio r y longitud L 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada Q = λl 4.-Aplicar Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico.

32 Ejemplo: conductor esférico cargado 1. Un cascarón esférico uniforme cargado se comporta, en los puntos externos, como si toda la carga estuviese concentrada en su centro. 2. Un cascarón esférico uniforme cargado no ejerce ninguna fuerza electrostática sobre una partícula cargada situada dentro del cascarón. Notar que el resultado sería el mismo si la esfera conductora fuera un cascarón.

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34 Recordar que en todos los puntos fuera de la esfera el campo es el mismo que si la esfera se eliminara y se sustituyera por una carga puntual q. Se considera V =0 en el infinito. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exterior de la esfera con carga q a una distancia r de su centro es el mismo que el potencial debido a una carga puntual q en el centro: Discontinuidad en la superficie del conductor.

35 Si E m es la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve conductor (resistencia dieléctrica del aire), el potencial máximo V m que se puede aplicar a un conductor esférico es: Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, V m = V. Si aumenta el potencial agregando carga adicional, se provoca que el aire circundante se ionice y se convirta en conductor. La carga adicional escapa al aire

36 Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos suficientemente elevados en el entorno de las puntas para ionizar el aire que las rodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente y el resplandor asociado a ella se llama corona. En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conductores de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metálica en el extremo de las antenas de radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaría estática. Otro ejemplo es el pararrayo.

37 Supongamos ahora una esfera sólida aislante con radio a que tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ y una carga positiva total Q Superficie gaussiana Superficie gaussiana el campo eléctrico debido a una esfera con carga uniforme en la región externa a la esfera es equivalente a una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.

38 Superficie gaussiana Superficie gaussiana q in : carga contenida en el volumen de la superficie de Gauss. Para conocer q in debemos conocer ρ(r). Como la esfera está uniformemente cargada: OJO: No confundir la superficie gaussiana con la esfera de carga!!!!

39 E 0 cuando r 0. Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0 si E variara como 1/r 2 dentro de la esfera como lo hace afuera de la esfera. Si E 1/r 2 para r < a, el campo sería infinito en r = 0, lo que es físicamente imposible.

40 Ejemplo: Una esfera dentro de un cascarón esférico La esfera tiene una carga positiva neta Q distribuida de manera uniforme en todo su volumen Cascarón esférico conductor, con radio interior b y radio exterior c, concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta -2Q. La carga sobre la superficie interior del cascarón esférico debe ser -Q para cancelar la carga Q sobre la esfera sólida y dar un campo eléctrico cero en el material del cascarón

41 Carga puntual flotando sobre una lámina cargada Una esfera pequeña tiene una carga q=1mc y una masa m = 5g. La esfera flota en el centro y cerca de la superficie de una lámina de plástico horizontal muy grande cargada con una densidad superficial s constante. Demostrar que s = 5,78x10-7 C/m 2. y +q s F e F g

42 Conductor en un campo eléctrico externo. Blindaje eléctrico. Todos los puntos de un conductor, cargado o no, deben estar al mismo potencial. Esto se cumple aún cuando el conductor esté inmerso en un campo eléctrico externo. Los electrones de conducción del material se distribuyen sobre la superficie produciendo una distribución de cargas como la que se muestra, reduciendo el campo a cero en el interior del mismo. Las cargas distorsionan las líneas de campo y las líneas equipotenciales. Polarización. Un medio capaz de polarizarse se denomina dieléctrico, y se comporta como un dipolo que tiende a alinearse en la dirección en que el campo crece.