Principios de Termodinámica y Electromagnetismo

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1 Facultad de Ingeniería Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Proyecto de Investigación Alumnos: CAMPO ELÉCTRICO. Arias Vázquez Margarita Isabel Arroyo Ramírez Rogelio Beltrán Gómez Selvin Eduardo González Gálvez Roberto Mendoza López Fabián Rangel Jacinto Samanta Josef Nombre de profesor: Ing. Alicia Esponda 8 de mayo del Gpo: 1

2 Campo eléctrico Objetivo: En esta investigación explicaremos detalladamente el tema de campo eléctrico y veremos algunas aplicaciones que, por su simetría, permiten utilizar el teorema de Gauss para el cálculo del campo eléctrico. Introducción Es importante definir carga eléctrica pues es influida por los campos electromagnéticos siendo a su vez, generadora de ellos. Carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículas subatómicas (pérdida o ganancia de electrones) que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas. La interacción entre carga y campo eléctrico origina la interacción electromagnética. Recordando una sencilla experiencia, en la que se ponen de manifiesto algunas características de la magnitud física carga eléctrica. Consideremos una bola de plástico colgada con una cuerda aislante y frotada con piel; frotemos con piel otra pieza de plástico con forma de barra. Si acercamos la barra a la bola observamos que la bola y la barra se repelen. Pero si sustituimos la bola de plástico por otra de vidrio y la frotamos 2

3 con seda, al acercar la barra de plástico frotada con piel vemos que la bola y la barra se atraen. Dada una carga eléctrica situada en un punto, el espacio que la rodea está modificado por su presencia, de forma que al situar otra carga eléctrica en dicha región sobre ella aparecen fuerzas eléctricas. En dicha región se dice que hay un campo eléctrico. De forma cuantitativa se define el campo eléctrico E en un punto del espacio como la fuerza eléctrica que actuaría sobre la unidad de carga positiva al situarla en dicho punto. El campo eléctrico genera una fuerza de atracción o repulsión que se identifica como la intensidad de campo eléctrico que actúa sobre las cargas. Por lo tanto la intensidad de campo eléctrico se puede definir en términos de fuerza por unidad de carga, en otras palabras en un determinado punto se define como la fuerza a la cual está sujeta una carga positiva, cuando está colocada en una reacción determinada. F= kq 1 q 2 d 2 Campo eléctrico creado por cargas puntuales El campo eléctrico creado por una carga puntual q en cada punto del espacio a una distancia r de ésta, es igual a la fuerza eléctrica que ejercería q sobre otra carga de prueba, q0 situada en dicho punto, dividida por q0. De manera similar a la superposición de fuerzas electrostáticas, el campo eléctrico en un punto es igual a la suma de los campos eléctricos creados por cada una de las cargas en dicho punto. 3

4 Líneas de campo eléctrico Son curvas que en todos sus puntos el campo eléctrico es tangente a ellas. El campo eléctrico puede por tanto representarse mediante estas líneas, que indicarán la dirección del campo en cualquier punto. Las líneas se trazan de un modo que cumple las condiciones siguientes: En cada punto del espacio el vector de intensidad del campo eléctrico sea tan grande a las líneas del campo y tenga el mismo sentido que estás. La densidad de líneas de campo o el numero de líneas que atraviesan la unidad de superficie proporcional al modulo del campo eléctrico, es decir; el campo eléctrico es más denso en aquellas regiones en que las líneas del campo están mas juntas. Flujo del campo eléctrico. Teorema de Gauss Se define el flujo elemental del campo eléctrico a través de una superficie elemental ds, al producto escalar. 4

5 El flujo elemental es una magnitud escalar que depende tanto de los módulos de E y ds, como del ángulo formado por ambos; el flujo puede ser tanto positivo como negativo. Se define el vector superficie elemental dsr como un vector situado en un punto P, de módulo el área de la superficie elemental, dirección normal a la superficie S en P, y sentido arbitrario. Si la superficie es cerrada, este sentido arbitrario nosotros lo tomaremos siempre como saliente de la superficie S. El flujo del campo eléctrico a través de una superficie S es la integral del flujo elemental extendida a toda la superficie considerada: El teorema de Gauss dice que: Es importante subrayar, que el flujo a través de la superficie cerrada sólo depende de las cargas encerradas por esta superficie, no depende de las que estén fuera. 5

6 Ya se ha tratado un método para calcular el campo eléctrico creado por cualquier distribución de carga a partir de la ley de Coulomb. No obstante, ese cálculo para algunas distribuciones resulta muy complejo. El teorema de Gauss se puede utilizar también para calcular el campo eléctrico creado por algunas distribuciones de carga. Está basado en el cálculo del flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada. El teorema de Gauss se utiliza para hallar el campo eléctrico de algunas distribuciones de carga que, en general, presenten una simetría especial en la distribución de la carga (esferas y cilindros infinitos cargados uniformemente, planos infinitos cargados, etc.), de tal forma que resulta más fácil hallar el flujo y despejar el campo eléctrico que hallarlo a partir de la ley de Coulomb. Aplicaciones del teorema de Gauss al cálculo del campo eléctrico. Se van a tratar a continuación algunos casos que, por su simetría, permiten utilizar el teorema de Gauss para el cálculo del campo eléctrico. a) Campo eléctrico creado por un plano infinito cargado con densidad superficial de carga. Consideremos una superficie cerrada (en adelante se denominará superficie gaussiana), que utilizamos para aplicar el teorema de Gauss. La elección de esta superficie nos debe permitir calcular fácilmente el flujo a su través. Las superficies equipotenciales en las cercanías del plano son planos paralelos a éste, por lo que las líneas de E, serán perpendiculares al plano, y por tratarse de cargas positivas, dirigidas hacia fuera. Por ser un plano infinito, no existe ningún efecto en los bordes, y las líneas de campo serán todas paralelas. Estas consideraciones nos llevan a escoger una superficie cilíndrica con sus bases paralelas al plano como la mostrada en la figura. 6

7 De este modo, las líneas de campo serán perpendiculares a las bases y tangentes a la superficie lateral. Aplicando el teorema de Gauss: Donde S es el área de la base del cilindro. b) Campo eléctrico creado por una línea infinita cargada con densidad lineal descarga. Las superficies equipotenciales en las cercanías de la línea son superficies cilíndricas coaxiales con ésta, por lo que el campo eléctrico tendrá una dirección radial en torno a la línea. Por lo tanto, se toma como superficie gaussiana un cilindro de radio r coaxial con la distribución lineal de carga. De este modo, las líneas de campo cortarán perpendicularmente a la superficie lateral de la superficie cilíndrica, obteniéndose: Por ser el campo paralelo al vector superficie en todo punto, y por ser el módulo del campo uniforme en toda la superficie cilíndrica. De este modo, el flujo es igual al producto del campo E por la superficie lateral del cilindro de longitud L:. 7

8 Lo dicho anteriormente es cierto si se supone la distribución lineal infinita; de lo contrario habría que considerar el efecto de los bordes, que complicaría e imposibilitaría el cálculo del flujo. Aplicando el teorema de Gauss: Igualando ambos, y despejando E, queda: Resultado que ya se obtuvo anteriormente por otro procedimiento. c) Campo eléctrico creado por una distribución esférica superficial de carga Vamos a calcular el campo eléctrico en dos zonas distintas: en el interior de la distribución y en el exterior. a) Interior. Consideremos una superficie esférica cerrada, Sint de radio r<r. Por el teorema de Gauss, el flujo que la atraviesa es cero, por no poseer carga encerrada. De modo que, como el área de la superficie no es cero, deberá ser cero el campo. b) Exterior. Las superficies equipotenciales son superficies esféricas concéntricas con la corteza esférica cargada, por lo que el campo eléctrico tendrá una dirección radial en torno a la corteza. Se toma por tanto una superficie esférica gaussiana Sext de radio r>r, y se calcula, en primer lugar el flujo a su través: La sencilla resolución de esta integral es posible por ser el campo siempre paralelo a la superficie en todo punto de la superficie 8

9 esférica ( ), y por valer el campo lo mismo en todos los puntos de esta superficie. De este modo, el flujo es también muy sencillo de calcular, y vale Por otra parte, podemos calcular el flujo aplicando el teorema de Gauss: Igualando ambos, y despejando E queda: Puede observarse que, como la carga total es eléctrico valdrá:, en el exterior el campo Que es equivalente a suponer que toda la carga de la corteza esférica está concentrada en el centro de ésta. Conclusiones Durante el la realización de este trabajo entendimos la importancia de estudiar el tema de electromagnetismo, ya que se tiene muchas aplicaciones en el campo de la ingeniería y en la vida de la sociedad influye mucho y muchas personas pasamos inadvertidas de esto. El tema de campo eléctrico es muy complejo y se debe de saber muchas cosas para poderlo entender, nos costó trabajo entender el teorema de Gauss, y su aplicación puesto no es tan sencillo aplicar este teorema. Por lo realizado en este trabajo comprendimos la importancia del estudio del tema campo eléctrico que es muy amplio y complejo pero muy útil en la ingeniería pues nos ayuda a explicar procesos y fenómenos. 9

10 Bibliografía Serway, Raymond; Física, Ed. Mc-Graw Hill, México, 2002 Hecht, Eugene; Física, Ed. Thomson, México, 2000 Paul A. Tipler, Gene Mosca- Reverte,