Notas para la asignatura de Electricidad y Magnetismo Unidad 1: Electrostática
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- Paula Naranjo Méndez
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1 Notas para la asignatura de Electricidad y Magnetismo Unidad 1: Electrostática Presenta: M. I. Ruiz Gasca Marco Antonio Instituto Tecnológico de Tláhuac II Agosto, 2015 Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
2 1 Antecedentes y justificación La carga eléctrica y sus propiedades Aislantes, conductores y semiconductores Ley de Coulomb 5 Ejercicios Campo Eléctrico Ley de Gauss para el campo eléctrico 8 Ejercicios Potencial eléctrico Capacitancia 11 Conclusiones Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
3 Antecedentes y justificación El conocimiento de los fenómenos de electricidad y el magnetismo es base fundamental en la formación de cualquier estudiante y profesionista de la rama de ciencias exactas e ingenierías. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
4 Antecedentes y justificación El conocimiento que actualmente poseemos de ésta ciencia es producto de múltiples esfuezos durante generaciones. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
5 Antecedentes y justificación La imágen sólo muestra algunos de ellos, la lista de logros y autores es mayor y sigue creciendo. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
6 Antecedentes y justificación Objetivo: Comprender cuantitativamente y cualitativamente fenómenos físicos de electricidad y magnetismo. Resolver problemas utilizando las matemáticas y software de simulación como herramienta de ingeniería. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
7 1.1. La carga eléctrica y sus propiedades Electrostática: La carga eléctrica y sus propiedades. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
8 1.1. La carga eléctrica y sus propiedades Algunas de las partículas que forman los átomos, adicionalmente a la propiedad fundamental llamada masa, poseen otra propiedad llamada carga eléctrica. La carga de dichas partículas puede ser de dos tipos: Carga que caracteriza al protón Carga que caracteriza al electrón en el caso del neutrón este posee ambos tipos simultaneamente. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
9 1.1. La carga eléctrica y sus propiedades Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
10 1.1. La carga eléctrica y sus propiedades Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
11 1.2. Aislantes, conductores y semiconductores Electrostática: Aislantes, conductores y semiconductores. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
12 1.2. Aislantes, conductores y semiconductores Un material conductor es cualquier sustancia que posee gran cantidad de portadores de carga libres por unidad de volumen (aproximadamente) o más portadores por cm 3 : metal gas ionizado electrolito Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
13 1.2. Aislantes, conductores y semiconductores Los aislantes o dielétricos son cualquier sustancia que no posee portadores de carga libres, o bien, que posee un número muy reducido por unidad de volumen 10 5 o más portadores por cm 3 : madera vidrio plástico Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
14 1.2. Aislantes, conductores y semiconductores Semiconductores: Existen materiales que poseen un número de portadores de carga libres del orden de por cada cm 3 a temperatura ambiente de 300 [K]. El elemento semiconductor más usado es el silicio, el segundo el germanio. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
15 1.3. Ley de Coulomb Electrostática: Ley de Coulomb. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
16 1.3. Ley de Coulomb Como resultado de los experimentos realizados por Priestley en 1767 y repetidos por Coulomb años después, sabemos que la fuerza eléctrica de atracción o repulsión que actúa entre un par de pequeñas esferas, cargadas y separadas una cierta distancia, obedece a la relación de proporcionalidad de la expresión. donde: q 1 es la carga de la esfera 1. q 2 es la carga de la esfera 2. r distancia entre sus centros. F q 1q 2 r 2 (1) Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
17 1.3. Ley de Coulomb Para obtener de la anterior relación de proporcionalidad, una igualdad, necesitamos una constante, para el vacío se escribe como 1 4πε 0, donde ε 0 es la permitividad del vacío. Experimentalmente se sabe que ε 0 = 8, [ C 2 ]. Nm 2 Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
18 1.3. Ley de Coulomb Ley de Coulomb: F = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 2 (1) donde las cargas q están medidas en Coulombs (C), la distancia en metros (m) y la fuerza en Newtons (N). Sólo se emplea para cargas puntuales, o bien son esferas con distribución uniforme de carga,no se considera la inducción. Los cuerpos cargados deben estar en reposo. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
19 1.3. Ley de Coulomb Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
20 Ejercicios Ejercicios Ejercicios: 1.- Una monedade cobre (Z=29) tiene una masa de 3 gramos Cuál es la carga de todos los electrones contenidos en la moneda? Considere Número de Avogadro N A = 6, , masa molecular M = 63,5[g/mol], carga del electrón e = 1, [C] 2.- En el átomo de hidrógeno, el electrón está separado del protón por una distancia media de aproximadamente 5, [m]. Determine el módulo de la fuerza electrostática ejercida por el protón sobre el electrón. 3.- Tres cargas puntuales se encuentran sobre el eje x, q 1 en el origen, q 2 en x = 2 [m] y q 0 en 3,5[m]. Determine la fuerza neta sobre q 0 ejercida por q 1 = +25[nC] y q 2 = 10[nC]. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
21 Ejercicios Ejercicios Solución problema 1: La carga total es el número de electrones multiplicando por la carga electrónica; Q = N e ( e). El número de electrones es Z multiplicado por el número de átomos de cobre; N e = ZN a. Se calcula el número de átomos de cobre en 3 gramos; Na = (3g) N A M = (3g)6, (atomos/mol) = 2, átomos. 63,5(g/mol) Se calcula el número de electrones; N e = ZN a = (29electrones/ átomo)(2, átomos) = 8, electrones. Se determina la carga total; Q = N e ( e) = (8, electrones)(e = 1, C/electrón) = 1, C. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
22 Ejercicios Ejercicios Solución al problema 2: Se sustituyen los valores directamente en la ley de Coulomb: F = k q 1q 2 r 2 = ke2 r 2 = (8, Nm 2 /C 2 )(1, C) 2 (5, m) 2 = 8, N Extra, si consideramos la masa del electrón (10 30 ) kg, ésta fuerza produce una aceleración de m/s 2. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
23 Ejercicios Ejercicios Solución al problema 3: Dibujar el sistema de cargas en el eje coordenado. Determinar la fuerza, que resulta ser F 1,0 = 0,367µN debida a q 1 Determinar la fuerza. que resulta ser F 2,0 = 0,799µN debida a q 2 Sumar los resultados para obtener la fuerza neta: F neta = F 1,0 F 2,0 = 0,432µN Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
24 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Electrostática: Campo Eléctrico. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
25 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico El campo eléctrico es un vector que describe la condición en el espacio de la fuerza eléctrica. Es una función vectorial de la posición, Sus unidades son [N/C]. Definición de campo eléctrico E = F q Esto cuando se coloca la carga q (pequeña) en un punto arbitrario Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
26 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales E p = i E i,p = i kq 1 ˆr r,p, r 2 i,p en dónde ˆr i,p es un vector unitario que apunta desde la fuente i al punto de observación del campo o punto del campo p. El campo resultante es la suma de los campos originados por cada carga. Algunos campos eléctricos en la naturaleza (en N/C): En los cables domésticos, 10 2 En las ondas de radio, 10 1 En la Atmosfera, 10 2 Bajo una nube tormentosa 10 4 En la descarga de un relámpago 10 4 En la superficie de un núcleo de uranio Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
27 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Campo eléctrico de carga positiva Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
28 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Campo eléctrico de carga negativa Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
29 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Campo eléctrico en dipolos (+,-) y (+,+) Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
30 Campo Eléctrico 1.4. Campo Eléctrico Campo debido a distribuciones de carga Debido a distribución lineal de carga λ = dq dl [ ] C m Debido a distribución superficial de carga σ = dq da Debido a distribución volumétrica de carga λ = dq dv [ ] C m 2 [ C m 3 ] Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
31 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Electrostática: Ley de Gauss para el campo eléctrico. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
32 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Introducción Existen 2 características fundamentales de los campos vectoriales que nos permitirán describir las leyes del electromagnetismo: Flujo Circulación Comenzaremos hablando del flujo Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
33 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Flujo El flujo de cualquier campo vectorial C a través de un elemento de superficie da se define: dφ = C da donde el producto C da multiplica las componentes perpendiculares, del campo y la superficie Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
34 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Flujo en superficie finita Si se desea evaluar el flujo a través de una superficie finita: φ c = C da en superficies cerradas, la dirección del vector da es perpendicular a la superficie y apuntando hacia arriba. A Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
35 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Flujo Eléctrico Ahora considere una superficie cerrada A, que encierra una carga neta Q N y el campo eléctrico E: φ e = E da = Q N D ε 0 [ ] Nm 2 Esta expresion es conocida como Ley de Gauss, en su forma integral. Enunciandola: El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada, es igual a la carga neta contenida en el interior de la superficie dividida entre ε 0. C Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
36 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Figura: Ley de Gauss Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
37 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Circulación y Rotacional del Campo Electrostático Existe la propiedad de los campos vectoriales C llamada circulación c, a través de cualquier trayectoria cerrada l: c = C dl En el caso del campo electrostático c e, esta circulación queda: c e = E dl, utilizando además el teorema de Stokes E = 0 En general para cualquier campo eléctrico. l Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
38 1.5. Ley de Gauss para el campo eléctrico Figura: Circulación de campo Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
39 Ejercicios Ejercicios 1.- [Campo eléctrico] Se coloca una carga testigo de 5[nC] en un punto determinado, sufre la acción de una fuerza de [N] en la dirección creciente del eje x. Cuál es el campo eléctrico E en dicho punto? Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
40 Ejercicios Ejercicios 1.- Solución: E = F/q = i[n/c]. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
41 Ejercicios Ejercicios 2.- [Campo eléctrico] Se desea calcular el vector intensidad de campo eléctrico en el punto A(4, 3)cm. Además considere el sistema de cargas puntuales en: q 1 = 5[µC] en (0,0). q 2 = 3[µC] en (1,3). q 3 = 4[µC] en (4,7). Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
42 Ejercicios Ejercicios 3.- Obtener la expresión para evaluar el campo producido por una línea de transmisión, con ayuda de la ley de Gauss. Considere que la carga neta Q n para un a distribución lineal es Q N = λh, donde λ es la densidad lineal de carga en C, y h la longitud de la línea de transmisión. m Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
43 Ejercicios Ejercicios Plantear la superficie gaussiana como un ciindro de radio r que cubre la línea. Los elementos del cilindro paralelos al campo eléctrico se cancelan. La integral queda E da ortogonal = E2πrh. Por ley de Gauss: φ e = E2πrh = Q N ε 0 Al sustituir y despejar queda E = 1 λ 2πε 0 r Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
44 1.6. Potencial eléctrico Electrostática: Potencial eléctrico. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
45 1.6. Potencial eléctrico Antecedentes, el trabajo como energía potencial: dw = F dl Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
46 1.6. Potencial eléctrico El potencial electrostático, es el trabajo W que debe realizar un campo electrostático para mover una carga q positiva desde un punto inicial a un punto final cierto desplazamiento l. Se puede expresar de la siguiente manera: Diferencia de Potencial donde W = B A V = W q [V] qē dl, pero se tiene la libertad de elegir el potencial de modo que sea cero en el punto que más convenga (en este caso, el de partida A). Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
47 1.6. Potencial eléctrico Figura: Carga q se mueve de A hacia B en un campo elã c ctrico no uniforme E debida a F Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
48 1.6. Potencial eléctrico Figura: Carga q se mueve de A hacia B en un campo elã c ctrico E debida a F cierta distancia l Figura: Superficies equipotenciales de campo eléctrico Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
49 1.6. Potencial eléctrico El Potencial eléctrico, definido como la energía potencial electrostática por unidad de carga: Potencial debido a una carga puntual: V = kq r kq r ref (V = 0 en r = r ref ) Potencial de Coulomb: V = kq r (V = 0 en r = ) Potencial debido a un sistema de cargas puntuales V = r i i kdq Potencial debido a distribuciones continuas de carga: V = r Considere k = 1 [ ] Nm 8, πε 0 C 2. kq i Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
50 1.7. Capacitancia Electrostática: Capacitancia. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
51 1.7. Capacitancia Es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga Q eléctrica. La capacidad también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para una diferencia de potencial V eléctrica dada. Capacitancia C = Q V [F] Su unidad es el coulombio por voltio y se denomina faradio (F) en honor al físico experimental Michael Faraday. Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
52 1.7. Capacitancia La dinámica eléctrica del condensador se expresa con la siguiente ecuación diferencial: i = dq = C dv dt dt Además de los siguientes casos: Condensador esférico aislado C = 4πɛ 0 R Condensador de placas plano-paralelas C = ɛ 0A d 2πɛ 0 L Condensador cilíndrico ln(r 1 /R 2 ) Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
53 1.7. Capacitancia Los condensadores en los circuitos eléctricos: Condensadores en paralelo C eq = C 1 + C 2 + C Condensadores en serie 1 C eq = 1 C C C Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
54 Conclusiones Conclusiones Conclusiones Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
55 Conclusiones Gracias por su atención Sección de preguntas y comentarios Marco Antonio (ITT II) México D.F., Tláhuac Agosto, / 14
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