CAPÍTULO III Electrostática

Transcripción

1 CAPÍTULO III Electrostática Fundamento teórico I.- Ley de Coulomb Ia.- Ley de Coulomb La fuerza electrostática F que una carga puntual q con vector posición r ejerce sobre una carga puntual q con vector posición r es F q q r r ( r r ) Ib.- Acción y reacción La fuerza electrostática F que la carga q ejerce sobre q es igual en módulo a F pero tiene sentido contrario (figura -) F F Figura - Ic.- Principio de uperposición La fuerza que un sistema de cargas puntuales { ' q ' q '} con vectores posición { r r ' r '} ' q ejerce sobre una carga q con vector posición r es la suma vectorial de las fuerzas individuales (figura -:) qi ' q F Fi ( r ri ') r r ' i II.- Campo eléctrico i IIa.- Relación fuerza-campo eléctrico Una carga q con vector posición r experimenta una fuerza eléctrica F debida a otras cargas igual a E r donde ( ) por la carga q. i F ( ) q E r Figura - es la intensidad de campo eléctrico (o sencillamente el campo eléctrico) en el punto ocupado 8

2 IIb.- Campo eléctrico creado por una carga puntual Una carga puntual un campo eléctrico ( ) valor q ' con vector posición r ' (figura -) genera E r en el punto de vector posición r de E q' r r ' ( r ) ( r r ') Figura - IIc.- Campo eléctrico creado por un sistema de cargas puntuales Un sistema de cargas puntuales { ' q ' q '} posición { r r ' r '} generan un campo eléctrico E( r ) ' q con vectores el punto de vector posición r que es la suma vectorial de los campos individuales (figura -4): qi ' E( r ) ( r ri ') r r ' i i en Figura -4 Figura -5 IId.- Campo eléctrico creado por una distribución volúmica de carga E r Dada una distribución de carga de densidad volúmica ( r ') ρ (figura -5) el campo ( ) generado en el punto de vector posición r se determina integrando el campo generado por cada elemento de volumen d ' : ρ ( r ') E r de r ( r r ') d r r ' 84

3 IIe.- Campo eléctrico creado por una distribución superficial de carga E r Dada una distribución de carga de densidad superficial ( r ') σ (figura -6) el campo ( ) generado en el punto de vector posición r se determina integrando el campo generado por cada elemento de superficie d ' : σ ( r ' ) ( E r de r r r ' ) d' r r ' Figura -6 Figura -7 IIf.- Campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga E r generado en el punto Dada una distribución de carga de densidad lineal ( r ') λ (figura -7) el campo ( ) de vector posición r se determina integrando el campo generado por cada elemento de longitud de la curva dl ' : λ ( r ') ( E r de r r r ') dl ' r r ' C C III.- Potencial eléctrico IIIa.- Relación campo eléctrico potencial eléctrico Dado que el campo eléctrico E( r ) es conservativo ( rot E en todos los puntos del espacio) deriva de un campo escalar llamado potencial eléctrico () a partir de E grad 85

4 IIIb.- Potencial eléctrico creado por una carga puntual Una carga puntual q ' con vector posición r ' (figura -8) genera un potencial eléctrico ( r ) de vector posición r de valor q' r ' ( r ) r donde se ha tomado el origen de potenciales en el infinito. en el punto IIIc.- Potencial eléctrico creado por un sistema de cargas puntuales q ' q ' r r ' r ' (figura -9) ge- Un sistema de cargas puntuales { q' } con vectores posición { ' } neran un potencial eléctrico ( r ) en el punto de vector posición r que es la suma de los potenciales individuales: ( r ) qi ' r r i i ' donde se ha tomado el origen de potenciales en el infinito. Figura -8 Figura -9 IIId.- Potencial eléctrico creado por una distribución volúmica de carga Dada una distribución de carga de densidad volúmica ρ ( r ') (figura -) el potencial eléctrico ( r ) generado en el punto de vector posición r se determina integrando el potencial generado por cada elemento de volumen d ' : ρ ( r ') r d r d ' r r ' donde se ha tomado el origen de potenciales en el infinito. 86

5 IIIe.- Potencial eléctrico creado por una distribución superficial de carga Dada una distribución de carga de densidad superficial σ ( r ') (figura -) el potencial eléctrico ( r ) generado en el punto de vector posición r se determina integrando el potencial generado por cada elemento de superficie d ' : σ ( r ' ) r d r d' r r ' donde el origen de potenciales está en el infinito. Figura - Figura -. IIIf.- Potencial eléctrico creado por una distribución lineal de carga Dada una distribución de carga de densidad lineal λ ( r ') (figura -) el potencial eléctrico ( r ) generado en el punto de vector posición r se determina integrando el potencial generado por cada elemento de longitud de la curva dl ' : λ ( r ' ) r d r dl' r r ' C donde se ha tomado el origen de potenciales en el infinito. C I.- Trabajo y energía Ia.- Relación potencial eléctrico energía potencial: Dada una carga q situada en el punto de vector posición r donde el potencial eléctrico debido a otras cargas es ( r ) su energía potencial eléctrica U ( r ) y la fuerza eléctrica F sobre Figura -. 87

6 ella vienen dadas por U F gra d U U ( r ) q ( ) r Ib.- Trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre una carga Dada una carga q que se mueve bajo la acción de una fuerza eléctrica F entre los puntos A y B el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga es B W F dl [ U ( B) U ( A) ] q [ ( B) ( A) ] U representan la energía potencial eléctrica de q en los puntos B y A respectivamen- representan los potenciales eléctricos en los puntos B y A respectivamente. donde U ( B) y ( A) te y ( B) y ( A) AB A Ic.- Conservación de la energía de una carga puntual Dada una carga q únicamente sujeta a fuerzas eléctricas su energía mecánica E m se conserva: si A y B son dos puntos cualesquiera de su trayectoria Em ( A) Em ( B) Ec ( A) + U ( A) Ec ( B) + U ( B) (éase también Capítulo II Ecuaciones sección.) Id.- Energía propia o electrostática de un sistema de cargas puntuales q q q con vectores posición { r r r } definiendo U A viene dada por Dado un sistema de cargas puntuales { } la configuración A su energía propia o electrostática ( ) U ( A) qi ( ri ) i i j i 88 qi q j r r donde ( r i ) es el potencial eléctrico en el punto ocupado por q i debido al resto de cargas del sistema. La energía propia tiene el significado de energía potencial de interacción entre las cargas que constituyen el sistema debida a las fuerzas eléctricas que se ejercen mutuamente. Ie.- Energía propia o electrostática de una distribución continua de carga i se trata de una distribución continua de carga la energía propia vale U dq E D dv donde la última integral se extiende a todo el espacio y D es el vector desplazamiento eléctrico (véase el Capítulo I) que en ausencia de dieléctricos vale D E. espacio If.- Trabajo necesario para generar un sistema Dado un sistema de cargas o una distribución continua de carga con energía propia U ( A) el trabajo exterior necesario para generar esta configuración A venciendo las fuerzas eléctricas es decir para traer las cargas desde posiciones muy alejadas hasta las dadas por A vale W A U A ε ( ). i j

7 i W < no es necesario realizar trabajo exterior. A Ig.- Trabajo realizado por las fuerzas eléctricas en la evolución de un sistema Dado un sistema de cargas o una distribución continua de carga que evoluciona desde una configuración A hasta una configuración B el trabajo realizado por las fuerzas eléctricas que se ejercen mutuamente vale U B U A W AB [ ].- Ley de Gauss a.- Ley de Gauss Dada una superficie cerrada (gaussiana) cualquiera que delimita un volumen (figura -) el flujo de campo eléctrico a través de viene dado por q Φ E d enc ε donde q enc es la carga neta total contenida en (es decir encerrada o interior a ). La ley de Gauss es muy útil para determinar el campo E creado por distribuciones de carga con alta simetría. Figura - b.- imetría esférica En el caso de distribuciones de carga con simetría esférica (ejemplo simple en la figura -4) el campo E es radial. Tomándose como superficie gaussiana una superficie esférica de radio r el primer miembro de la ley de Gauss vale Φ E d E 4π r donde E es el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro de simetría de la distribución. Figura -4 89

8 Figura -5 c.- imetría plana En el caso de distribuciones de carga con simetría plana (ejemplo simple en la figura -5) el campo E es perpendicular al plano. Tomándose como superficie gaussiana un cilindro recto de base b y altura b el primer miembro de la ley de Gauss vale Φ E d E donde E es el módulo del campo eléctrico a una distancia b del plano de carga. b d.- imetría cilíndrica En el caso de distribuciones de carga con simetría cilíndrica (ejemplo simple en la figura -6) el campo E es perpendicular al eje de simetría. Tomándose como superficie gaussiana un cilindro recto de radio r y altura h el primer miembro de la ley de Gauss vale Φ E d E π r h donde E es el módulo del campo eléctrico a una distancia r del eje de simetría. Figura -6 I.- Conductores en equilibrio Ia.- Campo eléctrico nulo en el interior y volumen equipotencial En el seno de todo conductor en equilibrio el campo eléctrico es nulo (figura -7); por tanto constituye un volumen equipotencial: E uniforme int Figura -7 Ib.- Distribución de la carga eléctrica i un conductor tiene carga neta tanto si carece de cavidad como si tiene una cavidad sin cargas la carga se distribuye en la superficie exterior. 9

9 Ic.- Campo eléctrico en las proximidades de un conductor El campo E en las proximidades de un conductor es perpendicular a la superficie y de valor σ E donde σ es la densidad superficial de carga eléctrica en el punto correspondiente de la superficie. prox ε Id.- Campo eléctrico en una cavidad sin carga i la cavidad de un conductor no tiene cargas el campo E cav en la cavidad es nulo. Ie.- Campo eléctrico en una cavidad con carga i la cavidad de un conductor tiene cargas el campo E cav en la cavidad está restringido a ella apareciendo una densidad superficial de carga en la superficie de la cavidad (figura -8). Figura -8 Cuando dos conductores con cargas iniciales If.- Conexión de conductores ini q y ini q se conectan (figura -9) hay una transferencia de carga entre ellos de forma que en la situación final de equilibrio los potenciales eléctricos y son iguales y la suma de las cargas finales q + q es igual a la suma de las cargas iniciales (conservación de la carga): ini ini q + q q + q If.- Conexión a tierra Cuando un conductor se conecta a tierra (figura -9) hay una transferencia de carga entre el conductor y la tierra de forma que en la situación final el potencial eléctrico del conductor es nulo: Figura -9 9

10 II.- Condensadores IIa.- Condensadores o capacitores y capacidad Un condensador o capacitor es un sistema de dos conductores (armaduras) no conectados que tienen cargas iguales en valor absoluto y de signo contrario Q y Q. i es la diferencia de potencial entre ambas armaduras ( es el potencial de la armadura cargada positivamente y es el potencial de la armadura cargada negativamente) entonces Q C donde C es por definición la capacidad del condensador sólo dependiente de la geometría. a b Figura - c IIb.- Condensador plano Las armaduras son dos placas planas de área cada una y separadas una distancia d (figura --a). La capacidad vale C ε d IIc.- Condensador esférico Las armaduras son dos superficies conductoras concéntricas de radios R y R (figura --b). La capacidad vale R R C R R 9

11 IId.- Condensador cilíndrico las armaduras son dos superficies conductoras cilíndricas de radios R y R y altura h (figura --c). La capacidad vale πε h C ln( R R ) y la capacidad por unidad de longitud C πε h ln R R ( ) 9