ENSAYO SOBRE ELECTROSTATICA Y CORRIENTE CONTINUA

Transcripción

1 ENSAYO SOBRE ELECTROSTATICA Y CORRIENTE CONTINUA Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.

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3 PROLOGO Este texto es esencialmente una transcripción de la electrostática y corrientes continuas del Dr. José Mª Codina Vidal Catedrático de emérito de electricidad de la facultad de ciencias físicas de Barcelona. El objeto del presente escrito es expresar dichos temas del libro, adaptándolos al lenguaje que he utilizado en mi trabajo sobre álgebra y cálculo tensorial. Independientemente de la transcripción también se desarrollan algunos temas que no figuran en el libro original. Espero que este trabajo sea de utilidad. Barcelona, octubre 2003

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5 TABLA DE CONTENIDO PROLOGO... TABLA DE CONTENIDO... I ELECTROSTATICA... A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO Generalidades Densidad de carga volúmica Densidad de carga superficial σ B.- MOMENTO ELECTRICO. CAMPO ELECTRICO EN EL VACÍO EN PRESENCIA DE DIELÉCTRICOS Dipolo y momento eléctrico Campo eléctrico en presencia de dieléctricos Ecuaciones fundamentales del campo E Campo irrotacional E. Superficies equipotenciales C.- CAMPO ELECTRICO EN PRESENCIA DE CONDUCTORES Conductores Equilibrio en un sistema de n conductores CORRIENTES ELECTRICAS Corriente eléctrica. Generalidades Corriente estacionaria ó contínua Energía en una corriente estacionaria INDICE DE EQUACIONES I

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7 ELECTROSTATICA A.- CAMPO ELECTRICO EN EL VACIO..- Generalidades..0.- Supondremos conocidos los fenómenos elementales de la electrización de cuerpos materiales y de su comportamiento como conductores ó como aislantes y por ahora y de no avisar de lo contrario, consideraremos al vacío sólo como un cuerpo aislante, y a los distintos cuerpos materiales en general, como únicamente conductores ó únicamente aislantes Admitiremos una magnitud escalar Q de volumen, llamada carga ó masa eléctrica, que puede tomar valores positivos ó negativos y que tiene las siguientes propiedades fundamentales: ª.- Dos cargas de distinto signo se atraen y dos del mismo signo se repelen. 2ª.- La suma algebraica de las cargas existentes en el espacio de un cuerpo determinado (variable o no) y eléctricamente aislado, es conservativa. Todo cambio en esta suma se entenderá que es debido a la introducción ó extracción de cargas en dicho espacio. La suma algebraica de las cargas introducidas y extraídas coincidirá con la variación en la suma algebraica de las cargas de tal espacio. 3ª.- Reciben el nombre de cargas ligadas (a materia de un cuerpo sólido), las que una vez en equilibrio sólo admiten un cambio de posición que coincida con la deformacion ó movimiento de la materia en la que se asientan. Cargas libres son las restantes. 4ª.- La introducción ó extracción de cargas positivas ó negativas en un cuerpo, ó en general cualquier cambio de posición de las mismas, constituye una corriente eléctrica. En particular, recibe el nombre de corriente eléctrica propiamente dicha, el movimiento de cargas libres efectuado en el seno de un conductor. 5ª.- El movimiento relativo entre un sistema de masas eléctricas en equilibrio y un sistema material puede originar un desequilibrio eléctrico añadido. Al cesar el movimiento, se llega a un nuevo equilibrio eléctrico con distinta distribución y cantidad de masas eléctricas positivas y negativas, pero con igual suma algebraica (fenómeno de inducción electrostática). Las cargas de distinto signo añadidas, son de suma algebraica nula, y se denominan cargas inducidas.

8 Normalmente, el nuevo equilibrio eléctrico se logra en un tiempo extraordinariamente corto. 6ª.- En el estado de equilibrio eléctrico, las cargas eléctricas de un conductor se hallan en su superficie. 7ª.- En este texto, de no indicar otra cosa, supondremos que las cargas eléctricas así como las masas materiales están en equilibrio y en reposo Ley de Coulomb. Sean las cargas puntuales Q y Q 2, ambas situadas en el vacío, en los puntos A y A 2 respectivamente. Demostrada experimentalmente por Coulomb para cargas en el vacío, la ley fundamental de la electrostática, ó ley de Coulomb, es la siguiente: () F = 4πε Q r Q r Para r =A A 2, F es la magnitud F localizada en A 2 2, de la fuerza ejercida por Q sobre Q 2, y para r= A A 2, F es la magnitud F localizada en A de la fuerza ejercida por Q sobre Q, 2 ε 0 es una constante escalar llamada constante dieléctrica absoluta en el vacío, dependiente del sistema de unidades adoptado y el factor 4π se ha introducido en la fórmula solamente a efectos de facilitar su aplicación práctica. En virtud de la ley de Coulomb, siempre tendremos: F = -F Campo E 0 eléctricas. creado en el vacío por cargas Llamamos intensidad E i en un punto A del campo eléctrico creado en el vacío por una carga inductora puntual Q i en reposo, a una magnitud de punto, cuyo valor es igual al de la fuerza por unidad de masa eléctrica con que sería afectada una masa eléctrica, bajo el supuesto de estar situada en A. Aceptamos de acuerdo con la fórmula (), que el valor de la intensidad E i del campo creado en el vacío por una carga puntual Q i en reposo, en un punto A de radio de posición r respecto a la carga, y que el valor de la fuerza Fi con que actúa sobre una carga Q situada en A son: (2) E = i 4πε Q r i ; 3 0 r F i = E i Q 2

9 y aceptamos también que este campo es independiente del creado por otras cargas puntuales Con el conjunto de cargas puntuales Q i del espacio, y considerandolas fijas y de campos independientes, la intensidad E 0 del campo total en el vacío será, para cada punto A, la suma de las intensidades correspondientes a tal punto, por cada carga puntual considerada y la suma de fuerzas serán: (3) E 0 = E i ; F o = F i La magnitud de punto E 0 recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico total en el vacío, y siempre lo consideraremos finito y aplicado a cada punto A. Sabemos por análisis tensorial que el campo de r r -3 corresponde a un vector armónico y por tanto irrotacional y solenoidal excepto en el origen ó punto de localización de la carga inductora. En consecuencia lo mismo sucederá con cada E, y i en cuanto a E el campo será armónico excepto para los puntos con 0 carga inductora. Es fácil ver que las fórmulas dimensionales son las siguientes: (4) [E 0 ] = LMT -2 Q - ; [ε 0 ] = L -3 M - T 2 Q Potencial eléctrico. Dado que los campos E y por tanto el E i 0 son armónicos, lo que implica su irrotacionalidad, E 0 corresponderá a una magnitud integral escalar U 0, función de punto, tal que en cualquier punto A del vacío sin carga eléctrica se verificará: (5) E 0 = U 0 E 0 = 0 ; E 0 dr = du 0 Entre los campos escalares U 0 integrales de E 0 (que difieren en un campo uniforme), adoptaremos aquél en que resulta U 0 = 0 para un punto del vacío infinitamente alejado de las cargas del equilibrio eléctrico considerado, que por tanto se han supuesto todas a distancia finita. Para este campo decimos que la magnitud U 0 se halla normalizada. Habitualmente, en vez de utilizar U 0, se utiliza la magnitud V 0 tambien puntual cuyo valor es el opuesto al de U 0 para un mismo punto ó sea V 0 =-U 0, y que se denomina potencial electrostático. Decimos que V 0 se halla normalizado cuando está normalizado U 0, es decir, cuando V 0 es nulo en un punto infinitamente alejado, y supondremos que esto ocurre siempre, mientras no se indique otra cosa. Utilizando V 0, las ecuaciones (5) pasan a: 3

10 (6) E 0 = - V 0 E 0 = 0 ; E 0 dr = -dv 0 Para una carga Q i en el punto P i, el campo potencial originado en un punto A, con r = A i P i, será: V 0Ai = - 4πε A 0 r i r Qi Qi d = - 3 r 4πε i 0 A r r i 3 i r d = Q 4πε r 0 y por lo tanto, el valor de V 0 correspondiente al punto A y a un conjunto de cargas será: Qi (7) V 0A = 4πε i i 0 r.07.- Por ser E0 un vector irrotacional, tendremos que la circulación de E 0 es nula en cualquier circuito cerrado, (8) E 0 dr = 0 i i y en general se tendrá la expresión: B E dr 0 = U 0B - U 0A = V 0A - V 0B A que, siempre para U 0 y V 0 normalizados, cuando el punto B se supone en el infinito se convierte en: E dr 0 = - U 0A = V 0A A Siendo A B E 0 qdr el trabajo realizado por una masa eléctrica q (infinitesimal para que su movimiento no altere el equilibrio eléctrico) al pasar por el vacío del punto A al punto B, la fórmula anterior es análoga a la utilizada en mecánica, y por tanto qv 0 representa la energía potencial de la carga eléctrica q. Observaremos que el valor en un punto A de V 0 normalizado, representa el trabajo necesario, por unidad de carga eléctrica, para pasar una carga dq desde el infinito al punto A Vector desplazamiento D 0 en el vacío. A la magnitud originada en los puntos r, por una carga puntual Q i, y que tiene por expresión: (9) D r = i Qi 4π r 3 = ε 0 E i la llamaremos vector desplazamiento en el vacío, originado por Q i 4

11 en r, y el valor total D 0 para un conjunto de Q i será pues: (0) D = ε E Esta expresión nos autoriza a establecer que el campo es armónico en el mismo dominio en que es armónico el campo E, D 0 0 o sea en donde no haya cargas eléctricas. La fórmula dimensional será: () [D] = L -2 Q 5

12 2.- Densidad de carga volúmica Hasta ahora hemos hablado de una distribución de cargas eléctricas Q i puntuales, en el vacío y de suma finita. En este capítulo vamos a suponer solamente el caso de que Q es una magnitud de volumen (distribución volúmica) con cargas finitas en volúmenes finitos, a base de utilizar una magnitud puntual ρ llamada densidad de carga, finita y determinada para cada punto, que relaciona cada elemento dv de volumen con su carga dq de la siguiente manera: dq = ρdv Obtendremos la carga eléctrica total en un volumen v determinado, integrando ρ en este volumen: Q V = v ρdv La ley de Coulomb y la ecuación (2) seguirán siendo aplicables, pero no será admisible el caso de dos cargas infinitamente próximas que sean finitas sino solo el de que ambas sean infinitesimales. De ello se deduce que al tender a cero la distancia entre cargas, la fuerza mutua entre ellas tiende a cero y que por lo tanto para aplicar la ley de Coulomb o la ecuación (2), a un sistema en equilibrio, la acción de las cargas exteriores a un punto representativo de un diferencial dv, se puede considerar equivalente a la acción de todas las cargas del espacio, incluídas las contenidas en dv, siempre que la densidad de cargas ρ en el punto, o sea en dv, sea finita. Para obtener la intensidad de campo en cualquier punto O y de acuerdo con la ecuación (2), lo tomaremos como origen, y consideraremos la carga total del espacio como suma de cargas infinitesimales ρdv situadas en los puntos r representativos de cada dv, y obtendremos: (2) E = 0 E = - i 4πε0 r ρ dv 3 r Esta intensidad actúa sobre la carga diferencial dq correspondiente al dv del punto, que así estará sometido a una fuerza E 0ρdv. Un volumen v, estará sometido a la fuerza: F = E 0ρdv v Cada sumando de E0, corresponde al campo de la carga de cada dv, y este campo es irrotacional por serlo el de r r -n. Por consiguiente, el campo suma, ó sea el campo de E 0, es siempre irrotacional. Sólo será armónico, según veremos, en el dominio carente de cargas. 6

13 El campo de E 0, por ser irrotacional en todos los puntos del espacio con ρ finito, corresponde a un campo escalar U 0 finito y continuo tal que E = U 0 0, y por tanto corresponde también a un campo potencial V 0 con E = - V 0 0 también finito y continuo en todos los puntos del espacio con ρ finito Por la ecuación (7) obtendremos la expresión del potencial V O. (3) V 0 = 4πε 0 v ρ dv r Y por (9) obtendremos el desplazamiento D O (irrotacional como E 0, por ser D 0 =ε 0 E 0 ): (4) D r = - 0 ρ dv 3 4π v r Cuando el conjunto de cargas puntuales de suma Q constituye una esfera de radio R y densidad eléctrica uniforme ρ, y carga total Q, se verifica que el valor de E 0 para los puntos de radio de posición r respecto al centro de la esfera, según el Análisis tensorial y refiriéndonos a la acción parcial de la esfera se tendrá: Punto exterior (r>r): E = 0 4πε Q r 3 0 r Punto interior (r<r): E = 0 ε0 ρ 3 r r y como según el análisis tensorial se verifica: r = - 3 ; r r 2 = r r 2 resultan para los potenciales eléctricos normalizados, los siguientes valores: Punto exterior (r>r): (5) V 0 = -U 0 = 4πε 0 Q r Punto superficial (r=r): 7

14 (6) V 0 = -U 0 = 4πε 0 Q ρ = R 2 R 3ε0 Punto interior (r<r): (K=Cte): U 0 = ρ 3ε 0 + K 2 r 2 y como para r=r, U ha de coincidir con el valor superficial anterior se tendrá: 2 3R (7) K = : -V 0 = U 0 = 2 ρ 3ε 0 2 r 2 3R 2 2 En cuanto a los desplazamientos D0, resultan siempre de multiplicar por ε 0 la intensidad de campo correspondiente Divergencias D 0 y E 0. Siendo ρ la densidad volúmica de carga eléctrica en un punto, ε 0 la constante para el vacío de la ley de Coulomb, y D el 0 vector desplazamiento total en un punto, según el cálculo tensorial tendremos para D 0 en el mismo punto, y con cualquier distribución de cargas, el siguiente valor: ρ 4π (8) µ = ; kn = : D 4π 3 = nµk = ρ 0 n y como D =ε E 0 0 0, se verifica la ecuación de Poisson: (9) E = ρ 0 ε0 que incluye la ecuación de Laplace para ρ=0. La fórmula dimensional de D 0 eléctrica específica: es pues la de una masa [ D 0 ] = L-3 Q y llegamos al mismo resultado si para consideramos siempre la fórmula dimensional L -, teniendo en cuenta su definición Teorema de Gauss. Recordaremos la fórmula de Gauss. también llamada de Ostrogradski, que relaciona la integral de superficie de un tensor τ en la frontera de un cuerpo con una integral de volumen del tensor τ en los puntos no exteriores al cuerpo: 8

15 τ ds = v ( τ )dv y recordaremos asimismo, que si ρ es la densidad de carga en los puntos de un cuerpo, se verifica V ρdv=q siendo Q la suma algebraica de cargas eléctricas contenidas en el volumen. Acabamos de ver en los párrafos anteriores, que como D 0 es irrotacional, siempre se verifica: D 0 = ρ en (8)la fórmula no considera el factor 4π y por tanto se adjudica a ρ, y por consiguiente, podemos aplicar a D 0 la fórmula de Gauss y tendremos: (20) D 0 ds = v ρdv = Q ó sea que la integral de D0 sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga total contenida en su interior. forma: También se puede expresar este teorema en la siguiente El flujo de D 0 que atraviesa cualquier superficie cerrada, es igual a la carga total contenida en la superficie y en su interior. 3.- Densidad de carga superficial σ Además de la distribución volúmica de cargas en el vacío, presenta especial interés la distribución de cargas en una superficie. Utilizaremos para su estudio una magnitud puntual de superficie σ, llamada densidad de carga superficial, que relaciona cada elemento de carga dq con el elemento ds de superficie a que corresponde: dq = σds y pòr tanto, la carga total de una superficie será: (2) Q = S σds A los efectos de determinar intensidades de campo, potenciales ó desplazamientos producidos por una distribución superficial de cargas, procederemos como hasta ahora, pero sustituyendo en las fórmulas dq por σds en vez de hacerlo por ρdv, y procediendo a integrar en superficies s en vez de hacerlo en volúmenes v. 9

16 Siendo siempre posible hacer corresponder el conjunto de los elementos ds de una superficie con un conjunto de elementos dv del espacio con igual carga e iguales efectos, resulta que siempre que σ sea finito, los valores de ρ en los dv serán finitos, y por lo visto en '2.0 tendremos: El campo potencial creado por una una distribución superficial de cargas, es finito y continuo en todos los puntos del espacio exteriores, y también en los superficiales con σ finito. Por consiguiente, el campo potencial creado a la vez por conjuntos de cargas con distribución volúmica y conjuntos de cargas con distribución superficial, es finito y contínuo en todos los puntos en que ρ y en su caso σ son finitos No ocurre lo mismo con el campo E 0 = - V, pues como vamos a ver, presenta una discontinuidad en la superficie cargada. Es fácil ver que son equivalentes las siguientes proposiciones: a) Dados un plano ilimitado s que divide al espacio en dos zonas, y el versor n normal al mismo, el valor de la integral superficial total S r r -3 ds desde cualquier punto no perteneciente al plano, es ±2πn, y el signo depende solamente de la zona en que se encuentra situado el punto origen, de manera que para puntos origen de la misma zona las integrales son iguales y para puntos origen de distinta zona son opuestas. b) Una superficie con densidad σ de carga eléctrica, crea un campo eléctrico exterior, que en el entorno infinitesimal de uno de sus puntos con versor normal n tiene por valor: ±2πn σ 4πε0 σ = ± n 2ε 0 con valores opuestos en caras opuestas de la superficie. c) En el campo eléctrico creado por una superficie con densidad eléctrica σ, la diferencia entre los valores límite hallados para un punto de la superficie, según que el punto se considere de una cara o de la otra, será: ± σ n ε 0 d) Cuando el campo eléctrico E 0 total, está creado no sólo por una carga superficial, sino también por otras cargas exteriores al punto de la superficie que se examina, la diferencia entre los valores límites de E total en tal punto, coincide con la diferencia entre los valores límite del campo 0

17 parcial creado por la superficie y que se ha hallado en c). La primera proposición se confirma en Análisis tensorial mediante integración y la última aplicando el teorema de Gauss a un elemento de volumen que contenga parte de la superficie cargada y cuyo volumen tiende a cero De los valores hallados en el parrafo anterior deducimos que toda línea de campo de E 0 en un equilibrio eléctrico en el vacío, sufre una desviación o refracción en su cruce no ortogonal con una superficie cargada. Vemos que en el punto de cruce no se altera la componente de E 0 paralela a la superficie y cambia solamente la componente ortogonal a la superficie. Llamando E 0+ al campo en la cara en que σ positivo produce un campo parcial de igual sentido que el elegido para n, y E 0- al campo en la cara opuesta, tendremos: n (E - E ) = σ ε0 n (E - E ) = Ecuaciones fundamentales del equilibrio eléctrico en el vacío. Hasta ahora hemos partido de la ley de Coulomb para definir diversas magnitudes fundamentales de un equilibrio eléctrico en el vacío y las relaciones entre ellas. Vamos a ver ahora si es posible definir dichas magnitudes independientemente de la ley de Coulomb, de manera que la verificación de esta ley sea una consecuencia de las nuevas hipótesis. Hipótesis ª.- A todo equilibrio eléctrico en el vacío, corresponde la existencia de un campo escalar V determinado que llamaremos potencial eléctrico y de un campo vectorial E 0 =- V llamado intensidad eléctrica, que reúnen las siguientes condiciones: a) El campo V es finito, continuo y diferenciable, y tiende a cero al alejarse indefinidamente de cualquier dominio finito con carga finita. b) El campo vectorial E 0, por ser igual a - V, es irrotacional y finito en todo el espacio. c) El campo E 0 coincide con el de la fuerza eléctrica ejercida por el conjunto de cargas existente, sobre cada unidad de carga en el punto. campo E 0 Hipótesis 2ª.- Toda superficie de discontinuidad del corresponderá a una carga superficial de densidad σ. Hipótesis 3ª.- Si ε 0 es la constante dieléctrica

18 absoluta en el vacío, ρ la densidad de la carga volúmica y σ la densidad de la carga superficial (en los puntos de las superficies de discontinuidad del campo E 0 ), tendremos ρ=ε 0 E 0 y σ=ε 0 n (E + -E - ). Hipótesis 4ª.- Si H y H 2 son dos conjuntos distintos de cargas eléctricas en equilibrio distribuídas en el espacio vacío, y E y E 2 son los campos de intensidad eléctrica correspondientes respectivamente al equilibrio H y al equilibrio H 2, al equilibrio H H 2 corresponderá el campo de intensidad eléctrica E +E 2 (Independencia de los campos eléctricos en el vacío). D Llamaremos desplazamiento en el vacío al vector definido por D 0 = ε 0 E 0 y en virtud de las hipótesis anteriores, tendremos las siguientes ecuaciones fundamentales del equilibrio eléctrico en el vacío: E = 0 0 (22) ε 0 E = D = ρ 0 0 n ε 0 (E - E ) = n (D - D ) = σ n (E - E ) = rigiendo las dos últimas para los puntos de todas las superficies cargadas que existen, cuando, con σ finito, n es el versor normal en el punto, y las dos primeras para todo punto con ρ finito. Téngase en cuenta que el valor de ρdv para un punto en la segunda ecuación, se refiere a la carga total del elemento de volumen representado, incluyendo tanto la carga volúmica como la carga superficial correspondiente Sea el equilibrio en el vacío correspondiente a dos únicas cargas puntuales: Q en el punto A y Q 2 en el B. El campo E en el punto B, coincide con el generado allí por la carga Q. Como por las dos primeras ecuaciones, éste es armónico en todos los puntos del espacio excepto en A, y esta condición la cumple el campo Q r r -3, para el punto B tendremos E =Q k r r -3 con r =A _ B, y la acción sobre Q 2 será F =k r r -3 Q Q 2. Procediendo igual para el campo E en el punto A y teniendo en cuenta para r que A _ B=-B _ A y que debe resultar una fuerza opuesta a la anterior, tendremos k 2 =k =k, y el módulo común de ambas fuerzas es el de F=kr r -3 Q Q Por lo que respecta al teorema de Gauss, en el caso de existir cargas superficiales además de las volúmicas en su dominio de aplicación, seguirá válida la expresión (20), si para cada dv atravesado por un ds tomamos ρ= D 0 tal que ρdv=dq, siendo dq la suma de cargas volúmicas y superficiales existentes 2

19 en dv. Para valores de dv suficientemente pequeños, en estos elementos serán despreciables las cargas volúmicas frente a las superficiales. El valor integral Q corresponde así, a la suma de la carga volumétrica total y de las cargas superficiales totales, correspondientes al dominio considerado Sean en un equilibrio eléctrico en el vacío: a) El campo D 0 de los vectores desplazamiento. b) Una superficie cerrada s equipotencial de elementos ds, que encierra un volumen v de elementos dv. c) El campo n de los versores normales a la superficie en sus puntos. d) Una carga total Q no exterior a la superficie con densidad de carga ρ. Para un punto A exterior a s, vamos a comparar el efecto causado por la carga Q no externa a s con el efecto que produciría una carga aplicada sobre esta superficie, que tuviera una densidad superficial σ=d 0 n. Esta carga superficial sería en total también igual a Q, pues por (20) tendríamos: σds = (D 0 n )ds = D 0 (n ds) = D 0 ds = Q y a ella correspondería en A un vector desplazamiento D A, que si designamos por t el vector r r -n localizado en A, será: 4πD A = s t σds = s t (ds D 0 ) = s (D 0 t )ds = Llamando D al valor D correspondiente a cada dv, al i 0 i aplicar Ostrogradski teniendo en cuenta que el vector t está localizado en A, tendremos: 4πD A = V [ (D i t )]dv i = V [ (D i t )]dv i + V [ (D i t )]dv i Hay dos sumandos, pues afecta tanto a D i como a t. Desarrollando el primero tendremos: V [ (D i t )]dv i = V t ( D i )dv = V t ρdv y desarrollando el segundo con la sustitución de D i por ε 0 U i y posterior aplicación de Ostrogradski: 3

20 [ (D i t )]dv i = D V ( t i )dv i V = ( t ) D dv = ε ( t i i 0 ) U V i ds = 0 i S El resultado es 0, pues por ser equipotencial la superficie, la integral es nula. Tenemos pues finalmente: (23) 4πD A = V t ρdv y el segundo miembro es 4π veces la expresión del vector desplazamiento inducido en A por las cargas no exteriores a la superficie, y por tanto podemos afirmar: Dada una superficie equipotencial cerrada en un equilibrio eléctrico en el vacío, la acción exterior del conjunto de cargas no exteriores a la superficie, es equivalente a la acción de una carga superficial de la misma con densidad σ=d 0 n, cuando D 0 y n son, respectivamente, el valor del vector desplazamiento y del versor normal a la superficie en el punto representativo de cada ds. Una superficie equipotencial puede ser un conjunto de superficies cerradas. 4

21 B.- MOMENTO ELECTRICO. CAMPO ELECTRICO EN EL VACÍO EN PRESENCIA DE DIELÉCTRICOS..- Dipolo y momento eléctrico..0.- Hemos considerado hasta ahora las manifestaciones de una distribución de cargas eléctricas en el espacio vacío y en este capítulo vamos a ver los efectos en el vacío de una distribución de momentos eléctricos p que definiremos a partir de la definición de dipolo Sean un punto A, una dirección determinada, y un sistema formado por dos cargas eléctricas puntiformes de igual valor absoluto e y distinto signo, situadas en los extremos de un segmento rectilíneo de la dirección dada, segmento que contiene al punto A y cuya longitud es l. Cuando l disminuye tendiendo a cero, siempre conteniendo a A y manteniéndose constante el producto p=el así como la dirección del segmento, e toma un valor infinitamente grande, y el sistema recibe el nombre de dipolo. Queda entonces definido un vector p característico de un dipolo infinitesimal, que se denomina momento eléctrico del dipolo, correspondiente a una magnitud vectorial cuyo valor podemos expresar así: (24) p = (lim e)d _ l cuya dirección es la dada, cuyo sentido es de polo - a polo +, cuyo módulo es p=dl, y que consideraremos localizado en A Potencial del campo creado por un dipolo en un punto H del vacío. Tomando por origen el punto H, sean r y r 2 los módulos de los radios vectores correspondientes a los extremos del segmento l antes de pasar al limite. De acuerdo con las ecuaciones (7) y (24), tendremos: (25) V = 4πε 0 e r e 2 r donde = H se refiere al origen H. = e 4πε d e = 0 r 4πε d_ r p l = 0 r 4πε0 Por tanto, de acuerdo con el Análisis tensorial podremos escribir: (26) (r = H _ A ): V = - 4πε 0 p r r 3 r (r = A _ H): V = r 4πε 0 p r r 3 r.04.- De la ecuación (24) se deduce inmediatamente que 5

22 la fórmula dimensional del momento eléctrico es análoga a la del momento mecánico: [p] = [Q][L].05.- Al estudiar los campos creados en el vacío por cargas eléctricas hemos pasado de considerar cargas puntuales finitas, a considerar la carga Q como una magnitud de volumen con distribución volumétrica ó superficial de cargas finitas en dominios finitos, y para ello nos hemos valido de magnitudes de punto finitas como la densidad de carga eléctrica volumétrica ó superficial, que hemos considerado continuas en cada dominio examinado. Para estudiar los campos creados en el vacío por una distribución volúmica de dipolos puntuales en un dominio determinado, atenderemos a la distribución correspondiente de momentos eléctricos p. Aquí solo examinaremos el caso de que, con tal distribución, p pueda considerarse una magnitud de volumen, ó sea que la suma dp de momentos de los dipolos contenidos en un elemento infinitesimal de volumen dv, sea proporcional a su tamaño y ello ocurrirá, si y sólo pueda considerarse la existencia en el dominio, de un campo vectorial P que verifique la siguiente condición: (27) dp = P dv; p = V P dv La magnitud vectorial P, es llamada densidad de momento eléctrico Sean pues en un dominio de volumen v (en el vacío), la magnitud p de volumen momento eléctrico, y la densidad de momento P correspondiente. Para hallar el potencial en un punto A del vacío, aplicaremos las ecuaciones (25) y (27) obteniendo: V = 4πε 0 dp = v r 4πε 0 P r dv v r Pero se verifica: P r = r P r - r P y sustituyendo tendremos: V = 4πε 0 r P dv r v - 4πε 0 r Pdv vr 6

23 Si s es la superficie del dominio, podemos aplicar la fórmula de Ostrogradski al primer término y así se obtiene la siguiente expresión final: (28) V = 4πε 0 P r d _ s - sr 4πε 0 r Pdv vr.07.- Por consiguiente, el potencial eléctrico creado en el vacío por un dominio de volumen v y superficie s, en el que existe una distribución de dipolos, y solo en el caso de que esta distribución corresponda a una distribución en los elementos de volumen dv, de momentos eléctricos dp con densidad P contínua, es igual al potencial que hubiese producido una distribución volúmica de cargas eléctricas de densidad ρ P =- P junto con una distribución superficial de cargas eléctricas en la superficie del dominio con densidad σ P =P n =P n (siendo n el versor normal a la superficie en el punto y P n la componente normal de P ): (29) ρ P = - P ; σ P = P n = P n Las magnitudes de punto ρ P y σ P así definidas, no son evidentemente densidades eléctricas reales, sino ficticias. No obstante tienen la misma fórmula dimensional que las densidades eléctricas reales ρ y σ respectivamente. En cuanto a la magnitud P tampoco es un desplazamiento, aunque tiene igual fórmula dimensional que D 0 : [P ] = [Q][L][L -3 ] = [Q][L -2 ] = [D ] 0 [ρ P ] = [ ][Q][L -2 ] = [Q][L -3 ] = [ρ] [σ P ] = [P ] = [Q][L -2 ] = [σ].08.- Cuando no se considera un dominio único con P contínuo, sino un conjunto de varios dominios limítrofes, cada uno con P continuo, normalmente también habrá discontinuidades de P en las superficies de separación. Entonces el papel de P es análogo al de D 0 en la segunda y tercera ecuación de (23) para el equilibrio eléctrico en el vacío, y para estas discontinuidades podremos escribir: (30) σ P = n (P + - P - ) ecuación que se convierte en la (29) cuando a uno de los lados de la superficie de separación tenemos el vacío, ó sea P = La analogía D -P 0, ρ-ρ P, σ-σ P, podemos ampliarla a Q-Q P, llamando Q P a una magnitud carga ficticia, distribuída volúmica ó superficialmente así: 7

24 dq P = ρ P dv; dq P = σ P ds; Q P = dq P También podemos aplicarla al teorema de Gauss, y en un dominio v, consideraremos válida la expresión: P ds = V ρ P dv = Q P en que Q P es la suma algebraica de todas las cargas ficticias, volúmicas y superficiales del dominio considerado. Cuando la superficie del dominio se halla en el vacío, se tendrá Q P =0,.0.- Evidentemente, la supuesta existencia de capas vacías infinitamente delgadas, no varía los cálculos relativos a los puntos que no se hallan dentro de ellas. 8

25 2.- Campo eléctrico en presencia de dieléctricos Consideraremos un campo eléctrico en un dominio espacial vacío, al que se incorporan diversos cuerpos materiales dieléctricos que a distancia no presentan ninguna actividad eléctrica. Su presencia en el dominio modifica su equilibrio eléctrico, y éste vuelve a la situación primitiva al alejarse suficientemente los dieléctricos, que entonces vuelven a quedar inactivos eléctricamente. Vamos a ver aquí el equilibrio eléctrico que corresponde a una determinada distribución eléctrica considerada en el vacío, junto a una determinada distribución de cuerpos dieléctricos Para ello nos basaremos en que se verifican las siguientes hipótesis: ª. Un cuerpo dieléctrico contínuo de volumen v y superficie s situado en un campo eléctrico, actúa como un conjunto de momentos eléctricos infinitesimales, que constituye una magnitud de volumen de las que hemos hablado en '.05. 2ª. Dado un sistema fijo de cargas eléctricas en el vacío y un sistema de cuerpos dieléctricos contínuos llevados a su campo, en el equilibrio eléctrico de los dos sistemas, a cada distribución espacial posible de los cuerpos, corresponde una distribución determinada de densidades de momento P en el espacio Definimos ahora como potencial matemático V en un punto cualquiera del espacio, al escalar que resulta de sumar, por una parte el valor del potencial V 0 que originaría en él, -si estuviera en el vacío-, el sistema de cargas fijo, y por otra parte, el valor V de la suma de valores V i obtenidos al aplicar la ecuación (28) al conjunto de dieléctricos, sin exigir al punto de referencia que se halle en el vacío ó no. Por consiguiente, dado que el potencial eléctrico en un punto sólo se halla definido para los puntos del vacío, el valor de V matemático sólo coincidirá con el del potencial eléctrico real, cuando el punto de referencia esté en el vacío. Sólo en el caso de que no exista materia alguna, V coincidirá en todos los puntos del espacio con el potencial V 0. Respecto al significado de V en el caso general de que el punto de referencia coincide con un punto del dieléctrico, es fácil ver que el valor de V obtenido para un punto material A, coincide con el valor de V obtenido para un punto de una cavidad vacía infinitesimal, de cualquier forma, practicado en el entorno de A, pues los valores difieren sólo en la integral superficial de la cavidad, y ésta no varía sensiblemente el valor de V. 9

26 El campo de V es finito y continuo, pues ya vimos que lo es V 0 para valores de ρ y σ finitos, y es fácil ver que lo mismo ocurre con el otro sumando V, calculado por (28), para dominios con P finito También podemos definir ahora una intensidad E matemática de campo eléctrica, como E =- V y por tanto irrotacional, con valor en todos los puntos del espacio, y que en ausencia de dieléctricos coincide con la magnitud E 0 a que nos hemos referido al tratar de campos en el vacío. Podemos ver que E no solo es discontínuo en las superficies cargadas con σ finita, sino también en las superficies de discontinuidad de P en el dieléctrico. La significación física de E referida a puntos del vacío es la misma de E. 0 Cuando E se refiere a puntos del dieléctrico sólo puede compararse con la intensidad de campo del mismo punto supuesto del vacío. Evidentemente, la diferencia de valores consiste en una integral superficial correspondiente a la carga superficial ficticia existente en una superficie arbitraria de separación entre el punto del vacío y el dieléctrico. Adviértase que, aunque la superficie de separación elegida sea la de una cavidad infinitesimal, su forma influye en el valor que se obtenga Se admiten las hipótesis: a) de que si una de las magnitudes E ó P se anula en un punto dado de un dieléctrico, también se anula la otra y b) de que en un punto determinado de un dieléctrico de naturaleza dada, el valor no nulo de una de estas magnitudes determina el valor no nulo de la otra. 20

27 3.- Ecuaciones fundamentales del campo E. Teniendo en cuenta las magnitudes ρ P y σ P antes definidas y las ecuaciones (23) obtenidas para el campo E 0, las ecuaciones fundamentales para el campo E resultan ser: E = 0 (3) E ρ + ρ p = ε0 n (E -E ) = σ + σ + - ε0 n (E -E ) = rigiendo las dos últimas para todas las superficies de discontinuidad de E que existan en el sistema. Las definiciones y fórmulas anteriores incluyen evidentemente las definiciones y fórmulas correspondientes a los campos eléctricos en el vacío, para ρ P =0; σ P = Densidad P de polarización. Desplazamiento D. Habitualmente llamamos densidad de polarización P en los puntos del espacio, al mismo campo P, nulo en el vacío, que hemos utilizado para definir los campos V y E matemáticos. Indica un vector característico de las puntos del espacio sin aludir a hipótesis matemáticas justificativas. Como sea que ε 0 es constante y por definición tenemos - P =ρ P, la segunda ecuación anterior puede escribirse así: (32) (ε 0 E + P ) = ρ p Definiremos como vector desplazamiento D a: (33) D = ε 0 E + P cuya fórmula incluye la que vimos para D 0 en los campos eléctricos en el vacío para los que tenemos P =0. Por (33), el valor de D en un punto del dieléctrico depende del valor de P, y para un punto del vacío, como allí P es nulo, será D =ε 0 E. Dada la definición de D, resulta otra forma de la (33) en función de D, y por tanto de la segunda ecuación de (3), válida para todos los casos: (34) D =ρ Para la superficie de un dieléctrico que limita 2

28 con el vacío, hemos definido por (29) la magnitud σ P =n P densidad superficial de carga ficticia. ó Evidentemente. el uso de esta magnitud lo podemos generalizar a toda discontinuidad del dieléctrico que se traduzca en superficie de discontinuidad de P. Deducimos así la siguiente expresión general de σ P : (35) σ P = -n (P + -P - ) coherente con la notación empleada en la tercera ecuación (3), y que incluye la expresión anterior cuando la discontinuidad es entre dieléctrico y vacío. Si sustituímos este valor de σ P en la tercera ecuación de (3), ésta podrá escribirse de esta manera: (36) n [ε 0 (E + -E - ) + P + -P - ] = σ pero como el corchete del primer miembro es igual a D + -D - tendremos finalmente: (37) n (D + -D - ) = σ En virtud de los dos párrafos que anteceden, el sistema fundamental (3) para el campo E, también puede ponerse en esta forma: E = 0 (39) D = ρ n (D -D ) = σ + - n (E -E ) = Observación. En todo lo que sigue supondremos siempre que, dada una distribución determinada Q de cargas eléctricas en el espacio y mientras no se modifique esta distribución, los campos P y E vienen determinados por la naturaleza, forma y distribución de los dieléctricos en el espacio. Supondremos también que, de las tres distribuciones Q, P y E en equilibrio, dos de ellas determinan la tercera Relación entre P y E. Medios normales. La relación entre la densidad de polarización y la intensidad eléctrica matemática E para cada punto de un medio dieléctrico depende de la estructura y naturaleza del medio y puede ser muy complicada. Nos limitaremos al caso de una relación lineal y 22

29 homogénea y especialmente, dentro de este caso, al de que la relación lineal y homogénea es una simple proporcionalidad. Con una relación lineal y homogénea, podremos escribir: (40) P = ε 0 χ E siendo χ un coeficiente tensorial simétrico de segundo orden, adimensional, y función de punto, llamado susceptibilidad dieléctrica del material. Con I tensor unitario de segundo orden, también tendremos: (4) D = ε 0 E + P = ε 0 (I +χ )ε = ε 0 ε r E = ε E siendo ε r =I +χ así como ε =ε rε 0 tensores simétricos de segundo orden, llamados respectivamente constante dieléctrica relativa y constante dieléctrica absoluta del medio. En lo sucesivo y de no señalar lo contrario, nos referiremos a medios dieléctricos con P y por tanto D proporcionales a E que son los llamados normales. Para ellos son válidas las definiciones que anteceden y bastará sustituir los tensores χ,ε r =I +χ y ε por los escalares χ, ε r =+χ y ε. De esta manera, las ecuaciones (40) y (4) quedan así: (42) P = ε 0 χe (43) D = ε 0 E + P = ε 0 ( + χ)ε = ε 0 ε r E = εe Cuando χ=0; ε r = y ε=ε 0 el medio coincide con el vacío. Con medios normales, el sistema fundamental queda así: E = 0 (44) D = (εe ) = ρ n (D - D ) = n + - (ε + E - ε E ) = σ n (E - E ) = siendo ε + y ε - los valores de la constante dieléctrica a ambos lados de las superficies de discontinuidad Cuando la discontinuidad de E no proviene de ε sino de la existencia de una distribución superficial σ sumergida en un medio único, la tercera ecuación de (44) toma la forma: 23

30 n (E - E ) = σ + - ε y comparándola con la tercera ecuación general de (3) aplicada a este caso, vemos que se verifica: σ + σ ε 0 p = ε σ Esta ecuación es la que relaciona los valores de σ y σ P para un mismo punto de la superficie cargada cuando estamos en este caso, y de ella deducimos que para los puntos con σ=0 también se tendrá σ P = Medios perfectos. Son los medios normales homogéneos (ε uniforme) y para ellos la segunda ecuación de (44) toma la forma: E = ε ρ y comparándola con la segunda ecuación general de (3) para este caso, resulta: ρ + ρ ε 0 p = ε ρ como relación entre los valores de ρ y ρ P en cada punto, con lo que en el caso ρ=0 también se tendrá ρ P =0. Por otra parte, la nueva forma de la segunda ecuación de (3) nos dice que E verifica el teorema de Gauss con lo que tenemos: s E d _ s = ε Q (Q = carga interior) Las ecuaciones fundamentales de un medio perfecto son pues las siguientes: E = 0 (45) E = ε ρ n (ε + E - ε E ) = σ n (E - E ) = Observaremos que las ecuaciones fundamentales para E en los puntos de un medio perfecto coinciden con las del 24

31 vacío al sustituir ε 0 por ε. Un medio perfecto solamente tendrá completa analogía con el vacío cuando es indefinido, y no existen superficies de discontinuidad (que implican una carga σ P ). Sólo en este caso se verificará en su seno la ley de Coulomb para cargas Q y Q 2 en esta forma: (46) F r = Q 4πε r 3 Q Como sea que tenemos ε=ε r ε 0, tanto la fuerza sobre una carga determinada como la intensidad de campo E =- V, y por tanto el potencial, cuando están en un medio de constante dieléctrica relativa ε r, vienen divididos por ε r, en relación con los valores correspodientes al vacío.2 Por consiguiente, si queremos resultados iguales que en el vacío, habrá que considerar, tanto las cargas como las densidades de carga volúmicas y superficiales, como el producto por ε r de los valores correspondientes al vacío. 25

32 4.- Campo irrotacional E. Superficies equipotenciales En un punto dado sin cargas reales, el valor de D matemático obtenido si el punto pertenece al dieléctrico, coincide con el valor D i que tendría en el vacío, al suponer una capa equipotencial vacía de espesor infinitesimal, que pasara por el punto. Pues por la tercera ecuación de (39), tenemos: n (D -D i ) = 0 D = D i y si además el campo es normal (D =εe ; D =ε E i 0 i ) se verifica: εe = ε 0 E i E i = ε r E En un punto dado sin cargas reales, el valor de E matemático obtenido en un punto que pertenece al dieléctrico, coincide con el valor E i que tendría en el vacío, al suponer un tubo de fuerza vacío de grosor infinitesimal, que pase por el punto. Aplicando la ecuación cuarta de (39), tenemos: n (E -E i ) = 0 E i = E Observación. En este capítulo hemos hablado de la equivalencia de un dieléctrico en un campo eléctrico en el vacío, con cargas eléctricas volúmicas y superficiales reales ó ficticias, distribuídas en forma determinada. Con ello se consigue, que se puedan aplicar las normas del equilibrio eléctrico que se han estudiado en el capítulo anterior, a la presencia simultánea de cargas eléctricas y de cuerpos dieléctricos. Pero debe tenerse en cuenta que este estudio conjunto nos obliga a considerar que todas las cargas están en el vacío, de manera que cuando hablamos de una carga en un punto dado, y este punto corresponde a un dieléctrico, consideraremos que se halla en una cavidad infinitesimal vacía. De no advertir de lo contrario, supondremos que la cavidad considerada es entonces, una capa infinitesimal situada sobre la superficie equipotencial de E correspondiente al punto Sean en un equilibrio eléctrico de cargas eléctricas en el vacío, en presencia de dieléctricos: a) El campo E de los vectores intensidad eléctrica matemática. b) Una superficie s equipotencial respecto a V matemático, 26

33 de elementos ds, que encierra un volumen v de elementos dv. c) El campo n de los versores normales a la superficie en sus puntos. d) Una carga total Q no exterior a la superficie con densidad de carga ρ. e) Una carga ficticia volúmica total ρ P dv no exterior a la superficie con densidad de carga ficticia ρ P. Para un punto A exterior a s vamos a comparar el efecto causado por cargas y materia no externos a s con el efecto que produciría una carga aplicada sobre esta superficie, al considerarla incluída en una capa vacía equipotencial y que tuviera una densidad superficial σ=ε 0 E n. Teniendo en cuenta que esta carga estaría en el vacío, donde P =0, la carga por elemento de superficie sería: ε 0 σds = ε 0 E n ds = ε 0 E (n ds) = ε 0 E d _ s = (D +P )ds = D ds y tambien tendremos: σ = ε 0 E n = (D +P )n = D n ; ε 0σds = D ds = Q Llamando t al vector r r -n localizado en A, el efecto causado en A por esta carga superficial, será E A tal que: 4πε 0 E A = s t (ε 0 E d _ s ) = s ε 0 (E t )d _ s y aplicando Ostrogradski, tendremos: 4πε 0 E A = v ε 0 [ (E t )]dv = v ε 0 [ (E t )]dv + v ε 0 [ (E t )]dv Hay dos sumandos, pues afecta a E y a t. Desarrollando el primero se tiene: v ε 0 [ (E t )]dv = v t [ (ε 0 E )]dv = v t ( D - P )dv = v t (ρ+ρ P )dv y desarrollando el segundo con la sustitución de E por - V y posterior aplicación de Ostrogradski: v ε 0 [ (E t )]dv = v ε 0 ( t )E dv = -ε 0 ( t ) s Vd _ s = 0 El resultado es 0 pues por ser equipotencial la superficie, la integral es nula. 27

34 Tenemos pues finalmente: 4πε 0 E A = v t (ρ+ρ P )dv Podemos deducir de este resultado, que dada una superficie equipotencial H, en un equilibrio eléctrico entre cargas eléctricas en el vacío en presencia de dieléctricos, y dado un punto A exterior a H, se verifica: Una carga eléctrica de H con densidad superficial σ=d n, supuesta en el vacío, produciría sobre A el mismo efecto E A, que el causado por el conjunto de cargas eléctricas reales y ficticias consideradas en el volumen no exterior a H. 28

35 C.- CAMPO ELECTRICO EN PRESENCIA DE CONDUCTORES..- Conductores. En el capítulo anterior hemos estudiado el campo eléctrico producido por una distribución de cuerpos dieléctricos en el campo de una distribución de cargas eléctricas en el vacío. Vamos a ver ahora los efectos producidos al añadir en dicho campo una distribución de cuerpos materiales conductores..0.- Recordaremos que llamamos conductores a los cuerpos materiales que admiten el movimiento de cargas libres en su seno y en los que el equilibrio eléctrico consiste en que las cargas se hallen en reposo. Admitiremos las siguientes hipótesis: ª) El conjunto de cargas libres en un cuerpo conductor tiene a través del tiempo una suma constante, ó carga del conductor, mientras no entre en contacto físico con otro conductor ú otras cargas. 2ª) Un conjunto de conductores y cargas en contacto, actúan como un conductor único. El conjunto de partes de un conductor, una vez aisladas entre sí, constituye un conjunto de conductores. 3ª) En un equilibrio eléctrico, un conductor concentra toda su carga Q en su superficie. A cada situación distinta del conductor en el campo corresponde una distribución superficial σ determinada. Ello será siempre posible, aunque la carga del conductor sea nula, y en cada caso se verificará: Q = σds 4ª) Un conductor en el vacío, y en un equilibrio eléctrico correspondiente a la distribución superficial σ, equivale eléctricamente a esta misma distribución superficial de cargas supuesta en el vacío y en el mismo lugar De la hipótesis 2ª deducimos que para obtener una carga determinada en un conductor dado, podremos utilizar el siguiente proceso: º.- Contacto con otro conductor cargado. 2º.- Someter el conjunto a equilibrios eléctricos hasta lograr la distribución deseada de cargas. 3º.- Aislar de nuevo el conductor primero. 29

36 .03.- Otras consecuencias de las hipótesis adoptadas, que se refieren a los equilibrios eléctricos en que no sólo intervienen distribuciones de cargas en el vacío y dieléctricos, sino también conductores, son las siguientes: º.- Podemos seguir utilizando las magnitudes definidas en el capítulo anterior, si tenemos en cuenta que para todos los puntos de un conductor tendremos siempre: P =0; E =0; D =0; ρ=0; ρ P =0; σ=0; σ P =0 En el seno de un conductor no hay pues discontinuidades de P ni tampoco las hay en un contacto conductor-vacío, pues P =0 a ambos lados de la superficie del conductor. 2º.- Las ecuaciones fundamentales del campo E para el equilibrio eléctrico, siguen siendo las (3) y (39) deducidas en el capítulo anterior. 3º.- Existe un potencial V finito y regular en todos los puntos del espacio, y cumple las condiciones normales en el infinito si toda distribución de carga está a distancia finita. 4º.- La intensidad de campo E =- V es un campo irrotacional. Además es armónico en todo dominio sin cargas reales ni ficticias. 5º.- La superficie de un conductor es equipotencial, y por ser V una función armónica en su interior, es equipotencial cada conductor en todos sus puntos Teorema de Coulomb. Por la tercera ley fundamental (39), en la superficie de un conductor se verifica: n (D + -D - ) = σ siendo D + y D - los desplazamientos en puntos infinitamente próximos a la superficie, en el exterior y en el interior del conductor respectivamente, y n un versor ortogonal a la superficie, dirigido de dentro a fuera. Como por tratarse de un conductor tenemos D- =0 en todos sus puntos, si a D lo designamos por D + podremos escribir: (47) n D = σ para todo los puntos de una superficie infinitamente próxima a la del conductor. Esta ecuación constituye el teorema de Coulomb. El valor de D es el generado por todas las cargas eléctricas ficticias y reales que existen en el equilibrio. 30

37 Cuando el conductor está sumergido en un medio normal, tendremos D =εe, con E normal a la superficie por hipótesis, y por tanto por (47) podremos escribir: (48) n E = -n V V = - r n como expresión, en este caso, del teorema de Coulomb Teniendo en cuenta el teorema de Coulomb, lo dicho en A'3.08 y B'4.04, y las características propias de un conductor, podemos establecer: En todo equilibrio eléctrico en que intervienen cargas en el vacío, cuerpos dieléctricos y cuerpos conductores, se puede sustituir el espacio no exterior a una superficie equipotencial cerrada cualquiera de E, por un cuerpo conductor de igual superficie límite, sin que se altere el equilibrio, ni las características eléctricas de los demás puntos del espacio. Estos cambios parciales, nos permiten la sustitución total de cualquier equilibrio eléctrico en que haya cargas fijas, por otro equivalente entre conductores Inducción en un conductor único. Sea un equilibrio eléctrico en una región del espacio sin conductores, e introduzcamos en la misma un conductor de carga Q en una posición determinada. El equilibrio se modificará de acuerdo con las hipótesis mencionadas en '.0, y podremos establecer lo siguiente: a) Llamamos campo inductor al campo E 0 correspondiente al equilibrio original que existía antes de introducir el conductor, b) Introducido el conductor, su carga total Q (que puede ser nula ó no) tomará una distribución superficial σ de equilibrio en la superficie del mismo, que genera un campo E i propio del conductor en el equilibrio. c) El campo total E será la suma del E i y del campo E generado en el equilibrio por los elementos que primitivamente generaban el campo inductor E 0. d) La distribución σ de equilibrio, es la necesaria para que se verifique E =0 en todos los puntos del conductor, ó lo que es equivalente, para que la superficie del conductor sea equipotencial y por tanto que todo el espacio que ocupa sea equipotencial En lo sucesivo, y de no advertir lo contrario, supondremos que nos hallamos en el caso de que el único 3