Tema 3: Electrostática en. Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla. Parte 2/7 El problema del potencial

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1 Tema 3: Electrostática en presencia de conductores Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Parte /7 El problema del potencial

2 Definición y propiedades del equilibrio electrostático táti Es un estado en el que las cargas de los conductores se encuentran en reposo Implica: El campo eléctrico es nulo en los conductores: E = La densidad de carga es superficial: ρ =, σ s El campo eléctrico exterior es normal a cada superficie La superficie de cada uno es equipotencial: = V No hay líneas de campo que vayan de un conductor a sí mismo El campo eléctrico en la superficie vale E=(σ s /ε )n

3 El problema general del potencial Las densidades d de carga suelen estar en presencia de materiales Causan redistribución de la carga en los conductores Las densidades de carga en los conductores son desconocidas a priori Solo conocemos la carga total, o el potencial al que se encuentran Podemos determinar el campo en todas partes? SÍ 3

4 Ecuaciones del problema del potencial nzález Ferná ández 1, A q la carga total, se sabe que el potencial es constante, aunque desconocido Antonio GonSi lo que se conoce es El cálculo del campo entre conductores se reduce a resolver la ecuación de Poisson en el espacio entre conductores Además hay condiciones de contorno: Sobre cada superficie conductora, S k, el potencial tiene un valor constante, t V k V k r S En el infinito el potencial se anula r k 4

5 Diferencias entre conductores a carga constante t y a potencial constante t Un conductor puede estar tener fijado su potencial o su carga total, pero no ambas magnitudes a la vez Q 1 V 1 Si el conductor está aislado (no conectado a nada) tiene carga constante. La carga se redistribuye pero el total no cambia. El potencial puede variar Un conductor conectado a una fuente de tensión ideal mantiene constante su potencial. La fuente añade oq quita itacargaparaq que eno varíe el potencial 5

6 Ejemplo de conductores a carga constante: t variación ió del potencial A una esfera descargada se acerca una esfera de carga positiva + Q 1 > Q = + V 1 > V > + + La carga atrae cargas negativas a la zona próxima Por ser neutro, se acumulan cargas positivas en el lado opuesto La densidad d de carga superficial σ s no es nula, aunque Q = Hay líneas de campo que van de la esfera hacia el El potencial de la esfera es positivo y su valor depende de Q 1 6

7 Ejemplo de conductores a potencial constante: t variación ió de la carga A una esfera a tierra se acerca una esfera de carga positiva Q > 1 V = V 1 > Q < La carga atrae cargas negativas a la zona próxima Estas cargas provienen de la fuente de tensión (la tierra, en este caso) No puede haber líneas de campo de la esfera al En la esfera sólo entran líneas: la carga neta Q es negativa La carga de la esfera es negativa y su valor depende de Q 1 7

8 Resumiendo... Q= NO implica V= V= NO implica Q= 8 1, Antonio González Fernández

9 Teorema de unicidad para el problema del potencial El problema del potencial, cuando los diferentes conductores están a potencial constante o a carga constante, posee solución única. Basta conocer la carga en el interior y el potencial en toda la frontera Ello permite emplear diferentes métodos o hipótesis Dada una posible solución, sólo hay que verificar que se satisfacen la ecuación y las condiciones de contorno 9

10 Una esfera conductora. Planteamiento del problema Sea una esfera metálica a potencial V. No hay más carga ni más conductores en el sistema Debe resolverse la ecuación de Laplace r R c.c.: V r R r Por la simetría del sistema, podemos suponer que r 1

11 Solución del potencial para una esfera conductora, con V conocido La ec. de Laplace se reduce a 1 d d r r dr dr Integrando dos veces B A A? B? r Imponiendo las condiciones de contorno queda: V ( r R) VR E VR ( r R) u r r r ( r R) ( r R) Resulta una distribución VR V s n E ur u r superficial uniforme de carga R R 11

12 Cómo se calcula la carga total almacenada en la esfera? Si V está fijado, no podemos conocer la carga Q de antemano Una vez resuelto el problema del potencial sí podemos hallar Q: 1, Antonio Gon nzález Ferná ley de Gauss para una superficie que envuelva la esfera ández a) Empleando la Q S S 4 E d S VR d S r RV b) Calculando la densidad de carga superficial e integrando [ ] s n E V R Q d s S 4 RV c) Comparando su comportamiento para r >> R con el desarrollo multipolar VR Q pr r 4 r 4 r Q 4 RV 3 1

13 Y si lo que se conoce es la carga de la esfera? NO hay que suponer nada En el equilibrio, sobre la distribución de la su superficie es carga en la superficie equipotencial Hay que suponer un potencial V, que se determinará más tarde Supuesto el potencial, la solución es idéntica a la anterior V ( r R ) VR ( r R) r Q E d S 4 RV S Conocida la carga se halla el potencial V Q Q 4 R 4 R Q 4r ( r R ) ( r R ) 13

14 Comentarios sobre el caso de un solo conductor esférico Para un solo conductor esférico resulta una distribución de carga uniforme Esto NO ocurre si hay más conductores o más cargas Podemos comparar el caso de conductor esférico con carga Q y una esfera cargada en volumen con la misma carga En el primer caso no hay campo en el interior. El volumen es equipotencial< En el segundo caso el volumen no es equipotencial y hay campo en el interior 14

15 Comparación de dos esferas conductoras con dos esferas cargadas en volumen Las diferencias entre volúmenes conductores y no conductores son más evidentes en sistemas más complejos ández nzález Ferná Antonio Gon 1, A Dos esferas conductoras Dos esferas cargadas en volumen 15

16 Ejemplo: potencial en dos esferas de distinto t radio conectadas por un hilo 1 Si están alejadas y R 1 > R Q Q 4 4 El campo es más intenso cerca de la esfera pequeña (equipotenciales más próximas) RV 1 1 RV Q Q 1 Q es mayor en la grande Q1 V 1 4R1 R 1 Q V 4R R 1 La densidad es mayor en la esfera pequeña E E

17 Ejemplo de un pararrayos en barra y de una zanja El mismo principio p se puede aplicar a una barra cilíndrica o a un hueco, aunque se necesite la solución numérica En el caso de una barra el campo se concentra en su extremo superior y a los lados de la barra En el caso de un hueco o zanja, prácticamente no hay campo en el interior 17

18 Efecto punta: incremento del campo en las puntas de los conductores Cuando se tiene un conductor cuya curvatura varía de un punto a otro, la densidad de carga tiende a ser mayor donde es mayor la curvatura Esta concentración del campo eléctrico es el principio del pararrayos: Mayor densidad de carga implica mayor campo en la zona próxima Si el campo es lo bastante intenso puede ionizar el aire de alrededor Cuando cae el rayo sigue el camino de menor resistencia, impactando en el pararrayos Un medio ionizado conduce mejor la corriente eléctrica Esta corriente es luego desviada a tierra por un cable de conexión 18

19 Apantallamiento y jaulas de Faraday Cuando tenemos un conductor con un hueco y el conductor está a V constante, se dice que tenemos una Jaula de Faraday V ρ 1 ρ Del mismo modo, el potencial fuera no depende de qué hay dentro del hueco Dado que el potencial queda determinado por su valor en la frontera de una región y la densidad de carga dentro, el potencial en el hueco no depende de qué hay fuera El conductor es una Jaula de Faraday 19

20 Conductor con densidades de carga interior: i equipotenciales i y campo Si la carga exterior es nula, el único campo es el interior al hueco. Todas las líneas de campo van a parar a la superficie interior del conductor. Dado que el campo en el material conductor es nulo, en la superficie del hueco hay la misma carga que en su interior, pero de signo contrario. d Q h Q E S s S Q s Q h

21 Conductor con densidades de carga exterior: equipotenciales i y campo ández nzález Ferná Antonio Gon g, y p El potencial en el hueco es nulo si el conductor está a tierra 1, A Si la carga es exterior, no hay campo en el hueco 1

22 Conductor hueco a potencial fijado Incluso cuando el conductor no está a tierra, sino a potencial fijado, el campo en un hueco vacío es nulo Todos los puntos del hueco se encuentran al mismo potencial que el conductor

23 Conductor hueco con carga exterior e interior i Cuando hay carga a ambos lados la solución es la superposición de soluciones independientes ández nzález Ferná Antonio Gon 1, A 3

24 Conductor a carga constante: Jaula de Faraday imperfecta Supongamos un conductor aislado y con carga Q, con una cavidad Q Q1 Q 1 Q 1 Si dentro del hueco hay una carga Q 1, en la pared S int se acumula una igual y opuesta, Q1 Q +Q 1 En la superficie exterior S ext debe haber una carga Q +Q 1 En el exterior sólo se ve la carga que hay en S ext Un observador podría deducir la existencia de Q 1,pero no su posición ni siquiera la existencia del hueco 4

25 El problema del potencial y el principio de superposición ió En un sistema de conductores, la introducción de un conductor adicional (incluso descargado) modifica el campo de los conductores previos ández nzález Ferná Antonio Gon 1, A El campo total NO es la suma de los que crean cada conductor por separado, como si no estuvieran los demás 5

26 Puede aplicarse algún tipo de superposición al problema del potencial? La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de soluciones 1 ρ 3 El problema general consiste en resolver suponiendo V k en cada superficie conductora S k r S j r k Solución: combinación lineal de soluciones base r 1 r S k k r Sj, j k V k k k Garantizado por el teorema de unicidad 6

27 Ejemplo de superposición: Cuatro conductores y una carga. 1 ρ 4 3 Para ilustrar el significado de la superposición iió de soluciones, veremos el ejemplo de cuatro conductores y una distribución uniforme de carga de forma irregular. 7

28 El ltérmino independiente: e te:la función có La función verifica. 1 3 r S k r r ρ 4 Esta es la distribución de potencial que habría si estuviera la carga frente a todos los conductores puestos a tierra, no la que habría si estuviera la carga y no los conductores. 8

29 Funciones base: la función Por estar en una jaula de Faraday, sólo hay campo en el hueco La función 1 verifica 1 r r 1 1 S1 r S, k 1 k 1 1 r Ésta es la distribución de potencial que habría si no hubiera carga, el conductor 1 estuviera a potencial unidad, y el resto a tierra 9

30 Funciones base: las funciones, 3 y Del mismo modo se pueden construir las funciones base, 3 y 4. Cada una de ellas es el potencial que habría si uno de los conductores estuviera a potencial y el resto a tierra. 3

31 Combinación lineal de funciones base. Ejemplo numérico Supongamos un caso particular P V 1 =1 V ρ = V = 3V V 3 = V V 4 = V Queremos hallar el potencial en el punto P El valor calculado numéricamente es P 1.813V Combinando las funciones base. V. V V La ventaja es que si cambiamos los V V V k no hay que recalcular los V k V 31

32 Un ejemplo analítico del problema del potencial: esferas concéntricas Dos esferas: una maciza de radio a y una fina corteza de radio b (b>a) Entre ellas y fuera se cumple la ecuación de Laplace Con las condiciones r a V1 El problema de contorno se separa r r b V en tres: La corteza funciona como Jaula de Faraday I. r < a II. a<r<b III. r > b Para r < a la solución es trivial: = V 1, E = 3

33 Dos esferas concéntricas: solución del problema exterior Para r > b tenemos la ecuación de Laplace Con las condiciones r b V de contorno r Éste es exactamente el mismo problema que si tenemos una sola esfera de radio b puesta a potencial V La solución en r > b es Vb r E Vb u r r Esta solución no nos dice nada de qué ocurre entre las dos esferas 33

34 Dos esferas concéntricas: solución del problema interior i Para a < r < b tenemos la ecuación de Laplace Con las r a V1 condiciones de contorno de contorno r b V Suponemos simetría de revolución, = (r) Imponiendo las c.c. La solución es B B B A V1 A V A de la forma r a b La solución en bv av abv1 V 1 a < r < b es ba bar E ab V V 1 r b a r u 34

35 Dos esferas concéntricas: solución completa Combinando los resultados V1 r a bv av ab 1 V1 V arb ba bar Vb r b r Esta solución se puede escribir como c.l. V11V 1 r a r a ab arb b a r b r b ab 1 1 ar b b a a r br r b 35

36 Cálculo de las funciones base por separado. Función 1 Si V 1 = V, V = 1, Entre las esferas y fuera se cumple la ec. de Laplace, con las c.c. c 1 (r = a)= V 1 (r = b) = 1 (r ) En el exterior, el =(r En a < r < b es de la forma potencial es nulo. 1 > b) B 1 A a r b En el interior 1 = V (r < a) r Imponiendo las c.c. B B ab 1 1 V Resulta A A a V 1 a rb b b ar b 36

37 Cálculo de las funciones base por separado. Función Si V 1 =,, V =V Entre las esferas (r = a) = y fuera se cumple la ec. de Laplace, (r = b) = V con las c.c. c (r ) En el exterior, es como el de una sola esfera. Vb r r b Entre las dos, es de la forma B A a rb r Imponiendo las c.c. Resulta Vab B B 1 1 a rb A V A a b a a r b 37

38 Sevilla, diciembre de , Antonio González Fernández