Tema 2: Postulados del Electromagnetismo

Transcripción

1 Tema 2: Postulados del Electromagnetismo 1 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 2

2 La carga eléctrica Cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética Propiedades: Dual: cargas positivas y negativas Cuantizada: Se conserva localmente Invariante relativista 3 Hipótesis de medio continuo En qué condiciones tiene sentido el concepto de densidad? Ejemplo: densidad de población 4

3 La carga eléctrica Hipótesis de medio continuo El concepto de densidad sólo tiene sentido para medios continuos La carga es discreta, pero qe<<qmacroscópica Puede definirse: densidad volumétrica de carga nº especies Carga y nº de partículas especie j-ésima Densidad de partículas especie j-ésima 5 Densidad superficial de carga A veces tenemos carga sobre una superficie Ejemplo: conductores en equilibrio electrostático Se define por analogía la densidad superficial de carga: q 6

4 Densidad superficial de carga Paso al límite de distribuciones volumétricas: q q e e q e Si el volumen tiende a cero pero q es constante: Densidad superficial de carga implica singularidad en la densidad volumétrica 7 Densidad lineal de carga Carga distribuida sobre un hilo: se define la densidad lineal de carga dl En un hilo: 8

5 Distribuciones discretas Modelo de carga puntual Implica una carga finita concentrada en un punto Similar a la partícula puntual usada en mecánica Densidad de carga de distribuciones discretas de carga: z q2 q1 Las expresiones que se obtengan bajo hipótesis de medio continuo pueden ser particularizadas para distribuciones discretas de carga qn x y 9 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 10

6 Corriente eléctrica Carga en movimiento: electrones, iones positivos o negativos, partículas subatómicas... Normalmente se origina como respuesta a un campo eléctrico En este tema trataremos las corrientes sin atender a sus causas: las suponemos conocidas y establecidas a priori 11 Intensidad de corriente Carga que atraviesa una superficie dada por unidad de tiempo Unidad: amperio; A=C/s Caso simple: un solo tipo de portadores con q1, densidad n1 y velocidad Carga que atraviesa en : 12

7 Intensidad de corriente Para s tipos de portadores distintos: Vector densidad de corriente (A/m2) Para la superficie S completa: 13 Relación entre densidades de carga y de corriente Caso de un solo portador: Caso general: no hay relación entre carga y corriente. Ejemplo: hilo conductor de cobre 14

8 Densidad superficial de corriente Corriente restringida a una región de espesor pequeño γ e e Densidad superficial de corriente: γ e (A/m) 15 Corrientes filiformes Gran utilidad práctica: hilos metálicos para circuitos eléctricos La propia intensidad basta para caracterizar la corriente: es la carga que atraviesa la sección transversal del hilo por unidad de tiempo El sentido viene indicado por el signo de I 16

9 Ecuación de continuidad La ley de conservación de la carga implica que debe existir una relación entre la densidad de carga y la densidad de corriente Supongamos un volumen τ que contiene una carga q en presencia de corrientes La carga que abandona el volumen por unidad de tiempo es: Teorema de la divergencia: 17 Ecuación de continuidad Por otra parte: Y la ecuación queda: Como esto es válido para cualquier volumen podemos igualar los integrandos: Ecuación de continuidad Expresión matemática de la ley de conservación de la carga 18

10 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 19 Ecuaciones de Maxwell POSTULADO: La presencia de cargas y corrientes da lugar a la existencia de un campo eléctrico y un campo magnético que satisfacen las Ecuaciones de Maxwell: Densidad de carga Densidad de corriente Permitividad Permeabilidad 20

11 Consideraciones adicionales No pueden solucinarse usando el teorema de Helmholtz, puesto que los campos aparecen acoplados Son ecuaciones lineales: Esto permite establecer un Principio de superposición: Dados dos o más conjuntos de fuentes la solución para los campos de la suma de las fuentes es la suma de las soluciones de los campos para cada conjunto de fuentes 21 Ecuación de continuidad Las ecuaciones de Maxwell deben ser consistentes con el Principio de conservación de la carga En efecto, aplicando divergencia en la ecuación de rotacional del campo magnético: La ecuación de continuidad está implícita en las ecuaciones de Maxwell 22

12 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 23 Fuerza de Lorentz Las cargas y corrientes crean campos eléctricos y magnéticos (ecuaciones de Maxwell) Los campos eléctrico y magnético también ejercen fuerzas sobre cargas y corrientes: Fuerza de Lorentz: para una carga puntual q que se mueve con velocidad Aquí se pueden ver bien las unidades de los campos: 24

13 Distribuciones volumétricas Distribución volumétrica de cargas y corrientes: 25 Distribuciones superficiales y lineales Para una superficie: análisis análogo Para un hilo: Usando: 26

14 Hilo de corriente Los alambres conductores metálicos de los circuitos eléctricos transportan corriente sin carga neta (λ=0) Si están inmersos en un campo magnético: Para un hilo recto de longitud l en un campo uniforme: 27 Planteamiento del problema Las ecuaciones de Maxwell permiten conocer los campos a partir de las fuentes La fuerza de Lorentz nos dice cómo actúan los campos sobre las cargas y corrientes Entonces las partículas cargadas resultan ser productoras de los campos y receptoras de su acción: es un problema acoplado Ejemplo: conductor en equilibrio electrostático Ejemplo: corriente eléctrica en una antena 28

15 Planteamiento del problema Cómo abordaremos la solución de este problema en este curso? Primero supondremos fuentes conocidas a priori (problema idealizado) Temas 3 y 4 de nuestro curso Luego estudiaremos los campos en presencia de medios materiales Será preciso añadir leyes empíricas a los postulados para modelar la respuesta de la materia 29 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 30

16 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Ley de Gauss Forma diferencial Si integramos en un volumen: Sera útil para el cálculo del campo eléctrico en situaciones de alta simetría q(τ) es la carga neta dentro del volumen τ 31 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Ley de inexistencia de monopolos Forma diferencial Si integramos en un volumen: El campo magnético es solenoidal No existen fuentes escalares del campo magnético (cargas magnéticas) 32

17 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Ley de Faraday Forma diferencial Si integramos en una superficie: Flujo magnético: Las variaciones de flujo magnético producen líneas de campo eléctrico 33 Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Ley de Ampere-Maxwell Forma diferencial Si integramos en una superficie: Se usa en magnetostática para calcular campos magnéticos en situaciones de alta simetría 34

18 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 35 Discontinuidades de los campos La existencia de densidades superficiales de carga y de corriente implica la existencia de regiones donde las densidades volumétricas de carga y corriente son infinitas Las densidades volumétricas de carga y corriente aparecen en las ecuaciones de Maxwell como derivadas de los campos Esto implica que las derivadas de los campos son infinitas Pero una función discontinua tiene derivada infinita... Los campos eléctrico y magnético pueden ser dicontinuos en las regiones donde existen densidades superficiales de carga y corriente respectivamente 36

19 Discontinuidad del campo eléctrico Suponemos S con densidad superficial de carga: :vector unitario normal a la superficie Aplicamos Ley de Gauss en forma integral en un volumen tipo caja de pastillas 37 Discontinuidad del campo eléctrico Ley de Gauss: La superficie con ρs introduce una discontinuidad en la componente normal del campo eléctrico 38

20 Discontinuidad del campo eléctrico Para la superficie S con densidad superficial de carga: Qué puede decirse de la componente tangencial del campo eléctrico? Aplicamos Ley de Faraday en forma integral en un camino rectangular γ: Sentido de determinado por sentido de circulación de γ 39 Discontinuidad del campo eléctrico : vector unitario con la dirección y sentido de La componente tangencial del campo eléctrico es continua al atravesar la distribución superficial de carga ρs 40

21 Discontinuidad del campo magnético La densidad de corriente es fuente vectorial del campo magnético Suponemos S con un densidad superficial de corriente: Ley de ausencia de monopolos Continuidad de la componente normal del campo magnético Ley de Ampere-Maxwell Discontinuidad de la componente tangencial del campo magnético 41 Discontinuidades de los campos La componente normal del campo eléctrico experimenta una discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de carga La componente tangencial del campo magnético experimenta una discontinuidad al atravesar una superficie con cierta densidad superficial de corriente La discontinuidad es proporcional a ρs La discontinuidad es proporcional a js La componente tangencial del campo eléctrico y la componente normal del campo magnético son continuas al atravesar cualquier superficie 42

22 Ejemplo Obtenga las fuentes del campo (esféricas): Que cumple: En no es continua en r=r: 43 Ejemplo Obtenga las fuentes del campo (en cilíndricas): Que cumple: Hay una discontinuidad de Bt en r=r: 44

23 Índice La carga eléctrica Corriente eléctrica Ecuación de continuidad Ecuaciones de Maxwell en el vacío Fuerza de Lorentz Forma integral de las ecuaciones de Maxwell Discontinuidades de los campos Conservación de la energía 45 Intercambio de energía entre campos y fuentes Trabajo de las fuerzas electromagnéticas: Potencia que los campos entregan a las fuentes por unidad de volumen 46

24 Principio de conservación de la energía Los campos pueden intercambiar energía con las fuentes Si aceptamos un principio de conservación de la energía, la energía asociada a los campos electromagnéticos en una región puede: Trasvasarse a ó desde las fuentes: Quedar almacenada en los campos Campo eléctrico Campo magnético Ser transportada por los campos 47 Energía almacenada En una región donde existe un campo eléctrico la energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es: Y la energía total almacenada es: En una región donde existe un campo magnético la energía almacenada por unidad de volumen (densidad de energía) es: Y la energía total almacenada es: 48

25 Energía transportada Vector de Poynting: Representa la potencia que atraviesa la unidad de área transversal al propio vector de Poynting La potencia total que atraviesa una superficie dada es el flujo del vector de Poynting: Existe una clara analogía con la fórmula: 49 Teorema de Poynting Es la expresión matemática del principio de conservación de la energía La potencia que las fuentes ceden al campo electromagnético dentro de un volumen τ puede emplearse en aumentar la energía almacenada por los campos en dicha región y también puede escapar por la frontera 50

26 Teorema de Poynting Otra forma de ver lo mismo: La disminución en la energía electromagnética almacenada en una región τ puede emplearse en trabajo realizado por los campos sobre las cargas y energía que escapa por su frontera 51 Forma local del teorema de Poynting Usando el teorema de la divergencia: Obtenemos: Igualando los integrandos se puede escribir el teorema de Poynting en forma diferencial o local Establece un balance local de energía en cada instante 52

27 Resumen del tema 2 Puede hablarse de conceptos como densidad de carga y densidad de corriente bajo hipótesis de medio continuo Cargas y corrientes son fuentes de los campos electromagnéticos Las ecuaciones de Maxwell nos proporcionan el valor de los campos para fuentes conocidas La linealidad de las ecuaciones de Maxwell permite enunciar un Principio de superposición Las ecuaciones de Maxwell conllevan el cumplimiento del Principio de conservación de la carga Cargas y corrientes sufren los efectos (fuerzas) de los campos electromagnéticos La fuerza de Lorentz nos indica la fuerza ejercida por los campos sobre cargas y corrientes 53 Resumen del tema 2 El problema electromagnético completo es un problema acoplado que hay que resolver paso a paso Una superficie en la que existe una densidad de carga superficial introduce una discontinuidad en la componente normal a dicha superficie del campo eléctrico Una superficie en la que existe una densidad de corriente superficial introduce una discontinuidad en la componente tangencial a dicha superficie del campo magnético Los campos electromagnéticos son entes físicos capaces de almacenar, transportar e intercambiar energía El principio de conservación de la energía viene expresado matemáticamente mediante el teorema de Poynting 54