Rotacional del campo magnético creado por corrientes estacionarias. Ley de Ampère

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Rotacional del campo magnético creado por corrientes estacionarias. Ley de Ampère Consideremos un conductor que ocupa un volumen τ. Sea r el vector de posición de los puntos del conductor. Supongamos que por el conductor circula una corriente estacionaria de densidad volumétrica de corriente J(r ). De acuerdo con la ley de Biot y Savart, el campo magnético B(r) creado por el conductor en un punto P de vector de posición r viene dado por: B(r) = µ 0 J(r ) 4π τ 3 dτ (1) Vamos a obtener una expresión para el rotacional del campo vectorial B(r) que aparece en la ecuación (1). Teniendo en cuenta que el operador no actúa sobre las variables de integración de las integrales de (1) (que son las coordenadas del vector r ) sino sobre las coordenadas del vector r, podemos escribir: B(r) = = µ 0 4π µ 0 4π τ τ J(r ) J(r ) 3 dτ 3 dτ (2) Si ahora hacemos uso de la identidad vectorial (A B) = (B )A (A )B + A( B) B( A) (donde A = A(r) y B = B(r) son dos campos vectoriales) en el caso en que A = J(r ) y B = ( r r r r 3 ), el integrando de la segunda integral de la ecuación

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 (2) se puede reescribir: J(r ) 3 = 3 J(r ) (J(r ) ) 3 +J(r r r ) 3 3 ( J(r )) (3) Ahora bien, si tenemos en cuenta que el operador no actúa sobre las coordenadas del vector r y hacemos uso de la expresión obtenida en el tema 0 para la delta de Dirac tridimensional (junto con el resultado del apartado a) del problema 2 del Boletín 0), podemos escribir que: 3 J(r ) = 0 (4) J(r r r ) 3 = J(r 1 ) = J(r ) 2 1 = 4πJ(r )δ( ) (5) J(r ) = 0 (6) y sustituyendo las ecuaciones (4), (5) y (6) en la ecuación (3), se llega a que: J(r ) 3 = (J(r ) ) 3 + 4πJ(r )δ( ) (7) Si sustituimos en la ecuación (2) el resultado obtenido en la

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 ecuación (7), se llega a que: B(r) = µ 0 4π W(r) + µ 0 (4πJ(r )δ( )) dτ 4π τ = µ 0 4π W(r) + µ 0J(r) (8) donde el campo vectorial W(r) se dene como: W(r) = τ (J(r ) ) 3 dτ (9) Vamos a demostrar que el campo vectorial W(r) es nulo. Con tal n, empezaremos por demostrar que la componente x de W(r) es nula. La expresión matemática de esa componente es: W x (r) = τ (J(r ) ) 3 dτ (10) donde se ha supuesto que r = xu x + yu y + zu z y que r = x u x + y u y + z u z. Si ahora tenemos en cuenta el resultado del apartado c) del problema 2 del boletín 0, el integrando de la ecuación (10) debe poderse escribir como: (J(r ) ) 3 = (J(r ) ) 3 (11) En la ecuación anterior, el operador actúa sobre las coordenadas del vector r (recuérdese que el operador actúa sobre las coordenadas del vector r). Si ahora hacemos uso de la identidad vectorial A f = f( A) (fa) (que a su vez se deduce de la identidad vectorial (fa) = f( A) + A f, siendo f = f(r ) un campo escalar y A = A(r ) un campo vectorial) en el caso en que

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 A = J(r ) y f = x x r r 3, el resultado obtenido en la ecuación (11) se puede reescribir: (J(r ) ) 3 = 3 ( J(r )) 3 J(r ) (12) Pero la ecuación de continuidad nos dice que J(r ) = 0 ya que hemos supuesto que la corriente en el conductor es estacionaria, con lo cual, la ecuación (12) queda reducida a: (J(r ) ) 3 = 3 J(r ) (13) Y si ahora introducimos en la ecuación (10) el resultado obtenido en la ecuación (13), se llega a que: W x (r) = τ 3 J(r ) dτ (14) Como el operador actúa sobre las coordenadas de r y, por tanto, sobre las variables de integración de la integral de volumen de (14), dicha integral puede ser transformada mediante el teorema de la divergencia en una integral extendida a la supercie S del conductor por el que circula la corriente estacionaria. La expresión de esta integral de supercie es: W x (r) = S 3 J(r ) ds (15) Si ahora tenemos en cuenta que el vector J(r ) es un vector tangente a S (ya que en caso contrario los portadores de carga

5 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 del conductor se moverían hacia fuera del mismo) y que ds es un vector normal a S, se va a cumplir que J(r ) ds = 0 sobre los puntos de S, con lo cual, la integral que aparece en la ecuación (15) es nula, y W x (r) = 0. Siguiendo un razonamiento análogo al anterior, es fácil demostrar que las componentes y y z del campo vectorial W(r) denido en la ecuación (10) son idénticamente nulas, con lo cual, W(r) = 0, y en consecuencia, la ecuación (8) queda reducida a: B(r) = µ 0 J(r) (16) La ecuación (16) constituye la expresión diferencial de la ley de Ampère. Aunque la ecuación (16) ha sido deducida para el campo magnético creado por un conductor no liforme que ocupa un cierto volumen en el espacio, dicha ecuación es también válida para el campo magnético creado por conductores liformes y por conductores laminares. No obstante, en esos casos la densidad de corriente volumétrica J(r) tiende a innito en los puntos ocupados por los conductores (ya que el área de la sección transversal de los conductores tiende a cero), y esos valores innitos de J(r) deben ser tratados matemáticamente utilizando deltas de Dirac. Debe tenerse en cuenta que al obtener la ecuación (16), se ha hecho uso explícitamente de que la corriente que circula por el conductor es estacionaria (de hecho, se ha hecho uso de la ecuación J(r) = 0). Eso quiere decir que la ecuación (16) en general no será válida para el campo magnético creado por corrientes no estacionarias, tal y como se verá en el tema 8.

6 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 Consideremos ahora un conductor no liforme que transporta una corriente estacionaria de densidad volumétrica de corriente J(r). Consideremos asimismo una supercie S limitada por la curva cerrada Γ, y supongamos que la supercie S está situada en la región donde se encuentra el conductor (vea la gura adjunta). De acuerdo con la ecuación (16), el ujo del rotacional del campo magnético creado por el conductor a través de la supercie S vale: ( B(r)) ds = µ S 0 J(r) ds = µ S 0I(S) (17) siendo I(S) la intensidad de corriente de conducción que atraviesa la supercie S en el sentido del vector ds. Por otro lado, el teorema de Stokes relaciona el ujo de B a través de la supercie S con la circulación de B a lo largo de la curva Γ mediante la ecuación: ( B(r)) ds = B(r) dr (18) S Γ estando relacionado el sentido de recorrido de Γ con el sentido de ds mediante la regla del sacacorchos. Pues bien, si combinamos las ecuaciones (17) y (18), se obtiene la siguiente ecuación: Γ B(r) dr = µ 0I(S) (19)

7 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 La ecuación (19) se conoce con el nombre de ley de Ampère. Aunque esta ley ha sido deducida para el campo magnético creado por un conductor no liforme por el que circula una corriente estacionaria, la ley también es válida para conductores liformes y conductores laminares por los que circulan corrientes estacionarias (para obtener la ley en este caso, basta expresar la densidad volumétrica de corriente en los conductores mediante deltas de Dirac). De acuerdo con la ecuación (19), la ley de Ampère establece que la circulación del campo magnético creado por una corriente estacionaria a lo largo de una curva cerrada es igual a µ 0 por la intensidad de corriente de conducción que atraviesa cualquier supercie limitada por dicha curva cerrada, estando el sentido de la intensidad de corriente relacionado con el sentido de recorrido de la curva cerrada mediante la regla del sacacorchos. La ley de Ampère es muy útil para calcular el campo magnético creado por corrientes estacionarias cuando la distribución de dichas corrientes presenta una alta simetría. En este sentido la ley de Ampère desempeña en Magnetostática un papel similar al que desempeña la ley de Gauss en Electrostática.