Razón de cambio. f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1. dt = lím f(x 2 ) f(x 1 )

Transcripción

1 Razón de cambio Al denir la derivada de una función y f en un punto jo, se tiene f f f Si cambia de a tenemos que y el cambio correspondiente en y es: y f f El cociente de las diferencias y f f se llama razón de cambio promedio de y con respecto a en el intervalo [, ] y se puede interpretar como la pendiente de la línea secante P Q. Al escribir f f nos estamos reriendo a la razon de cambio instantanea de la variable y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable. Podemos decir que con este limite se busca una razón de cambio instantanea de la variable y con respecto a la variable Ejemplo En Física Si ft s es la función de posición de una partícula que se mueve en línea recta, la velocidad promedio t y representa la velocidad instantánea v ds dt f f s t representa Ejemplo Dada la ecuación de movimiento rectilineo s t + t Hallar la velocidad promedio entre t y t 6 y hallar la velocidad instantanea en t Solución En este caso para la velocidad promedio tenemos que 6 + st st t t s6 s ,875 Cálculo Diferencial e Integral

2 En este caso para la velocidad instantanea tenemos que st s t + t 6 + t t t + t + 6 t tt t t t t + t + 6 t t + t t t t Ejemplo El radio en centimetros de un globo esférico que se esta inando, después de t minutos está dado por rt t + 8, donde 0 t 0. Cual es la razón de cambio en t 8 en a rt b El volumen del globo c El área de la supercie esférica Solución Par el inciso a se tiene Usamos la identidad algebraica y tenemos entonces que r8 + h r8 6 + h 6 y y + y + y 6 + h h h h Para el inciso b tenemos que el volumen de la esfera es 6 v πr ahora bien con este volumen y el radio dado obtenemos v π t + 8 6πt + 8 luego entonces la razón de cambio instantanes es: v8 + h v8 6π6 + h 6π6 6 + h 6 6π 6π Para el inciso c tenemos que el área de la supercie esférica es v πr Cálculo Diferencial e Integral

3 ahora bien con esta área y el radio dado obtenemos a π t + 8 6πt + 8 luego entonces la razón de cambio instantanes es: a8 + h a8 6π6 + h 6π6 6π h h 6 h 6π h 0 6π 6 + h h h h + 6 6π h h h π 6 Teorema. Si f : D R R es diferenciable en 0 entonces f es continua en 0 Demostración. D con 0 se tiene que puesto que f es diferenciable en 0 entonces f f 0 0 f f 0 f f f f 0 f f f f f h por tanto f f 0 0 f f y f es continua en 0 Ejemplo El reciproco de este resultado no es cierto, para comprobarlo considere la función sen f si 0 0 si 0 comprobemos que f es continua pero no diferenciable en 0 0. Demostración. Primero comprobemos que f es continua en 0 0 para eso tenemos que f sen 0 f0 0 0 Cálculo Diferencial e Integral

4 por tanto f es continua en cero. Para comprobar que f no es diferenciable en cero tenemos que f f f0 sen sen el cual f no es diferenciable en 0 0 f f Ejemplo Considere la función f sen si 0 0 si 0 Para comprobar que f es diferenciable en cero tenemos que Demostración. f f f sen 0 0 sen 0 f es diferenciable en 0 0 Ejemplo Considere la función f f f Esta función es continua solo en 0 0 pues 0 si Q 0 si / Q 0 0 si Q si / Q f0 es continua en cero. Para comprobar que f es diferenciable en cero tenemos que Demostración. f f f f es diferenciable en f f si Q 0 si / Q Cálculo Diferencial e Integral

5 Ejemplo Hallar f 0 para f ln denida R + Solución tenemos que f f f 0 ln ln ln ln ln e 0 0 Ejemplo Hallar f 0 para f e denida R Solución tenemos que f f f 0 e e y }} e 0 y 0 ln + y e0 y 0 ln+y ye 0 lny+ 0 y 0 ln ln ln [ e 0 e 0 0 e 0 0 e 0 0 e 0 y 0 ln + y y e 0 e 0 ln y 0 + y y lne e0 e0 ] e 0 y 0 ln + y y Cálculo Diferencial e Integral 5