Ecuaciones Diferenciales II. Series de Fourier

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales II Series de Fourier José C. Sabina de Lis Universidad de La Laguna La Laguna, 9 de noviembre de 23

2 . Problemas de Contorno y series de autofunciones. A) Series de Fourier en senos. El problema: x = λx t [, π] x() = x(π) =, λ n = n 2 π 2, n =, 2,..., ψ n = sen nt. Proposición. Toda f C 2 [, π] tal que f() = f(π) = se representa en la forma: f(t) = π b n sen nt, b n = 2 f(t) sen nt dt, π siendo la serie uniformemente convergente en [, π]. El desarrollo converge en media cuadrática si f(t) R[, π], sin más restricciones sobre f.

3 B) Series de Fourier en cosenos. El problema: x = λx t [, π] x () = x (π) =, λ n = n 2 π 2, n =,, 2,..., ψ n = cos nt. Proposición 2. Toda f C 2 [, π] tal que f () = f (π) = se representa en la forma: f(t) = a 2 + π a n cos nt, a n = 2 f(t) cos nt dt, π siendo la serie uniformemente convergente en [, π]. El desarrollo converge en media cuadrática si f(t) R[, π], sin más restricciones sobre f.

4 C) Series de Fourier en cosenos & senos. Las funciones 2πperiódicas son el mejor ejemplo de las funciones del siguiente resultado. Proposición 3. Sea f C 2 [ π, π] tal que f( π) = f(π), f ( π) = f (π). Entonces: f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt, b n = π π π f(t) sen nt dt, a n = π π π f(t) cos nt dt a = π π π f(t) dt, siendo la serie uniformemente convergente en [ π, π]. El desarrollo converge en media cuadrática si f(t) R[ π, π], sin más restricciones sobre f.

5 Demostración. Para reducir el caso periódico a los anteriores escribimos: donde: f(t) = g(t) + h(t) f(t) + f( t) f(t) f( t) g(t) = h(t) =. 2 2 Al desarrollarlas en el intervalo [, π]: g(t) = a 2 + h(t) = a n cos nt, () b n sen nt, (2) donde, al converger uniformemente en [, π] también lo hacen en [ π, π].

6 Denición. Para f R[, π], f(t) = b n sen nt, t [, π] se denomina el desarrollo de Fourier de f en senos, en el intervalo [, π], f(t) = a 2 + a n cos nt, t [, π] es el desarrollo de Fourier de f en cosenos, en el intervalo [, π]. Para f R[ π, π], f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt, es simplemente el desarrollo en serie de Fourier de f, en el intervalo [ π, π]

7 Relación entre los tres desarrollos Si f R[ π, π] es par en [ π, π] su desarrollo de Fourier: f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt = a 2 + a n cos nt. π a n = 2 f(t) cos nt dt. π que coincide con el desarrollo de Fourier en cosenos de su restricción al intervalo [, π]. Si f R[ π, π] es impar en [ π, π] su desarrollo de Fourier: f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt = b n sen nt

8 π b n = 2 f(t) sen nt dt. π que coincide con el desarrollo de Fourier en senos de su restricción al intervalo [, π]. Si f R[, π] es una función arbitraria y f es su extensión par al intervalo [ π, π], el desarrollo de f en el intervalo [ π, π] : f(t) = ā 2 + = a 2 + ā n cos nt + b n sen nt a n cos nt pues b n = y ā n = π 2 π f(t) cos nt dt, que es el desarrollo en serie de cosenos de f en [, π].

9 Análogamente, si f R[, π] y ˆf es su extensión impar al intervalo [ π, π], el desarrollo de ˆf en el intervalo [ π, π] : ˆf(t) = â n cos nt + ˆb n sen nt = b n sen nt pues â n = y ˆb n = π 2 π f(t) sen nt dt, que es el desarrollo en serie de senos de f en [, π]. Ejemplo. El desarrollo de f(t) = t en serie de cosenos en [, π]: t = π 2 4 π cos(2n )t. (2n ) 2 El desarrollo de Fourier de f(t) = t en [ π, π] : t = π 2 4 π cos(2n )t. (2n ) 2

10 Ejemplo. El desarrollo de f(t) = en serie de senos en [, π]: f(t) = 4 π 2n sen(2n )t. El desarrollo de Fourier de ˆf(t) = signo(t) en [ π, π] : ˆf(t) = 2 ( ) n sen nt. n

11 2. Identidad de Parseval. Teorema (Identidades de Parseval). Sean f, g funciones en R[ π, π] se tiene que: a) π π f(t)g(t) dt = π { a â 2 + } a n â n + b nˆb n, b) { π a π f(t) 2 2 dt = π 2 + } a 2 n + b 2 n. Si f, g en en R[, π] se tiene que: c) π f(t)g(t) dt = π 2 { a â 2 + } a n â n, d) π f(t) 2 dt = π { a } a 2 n, mientras: e) π f(t)g(t) dt = π 2 { b nˆb n }, f) π f(t) 2 dt = π 2 { b 2 n }.

12 Teorema 2 (Principio de identidad). Sean f y g funciones continuas en [ π, π] con desarrollos en serie de Fourier : f(t) = a 2 + g(t) = ā 2 + a n cos nt + b n sen nt, ā n cos nt + b n sen nt. Entonces f(t) = g(t) si y sólo si a n = ā n & b n = b n para todo n. Demostración. Recuérdese que las igualdades precedentes se entienden en media cuadráctica.

13 Teorema 3 (Integración término a término). Sea f R[ π, π] entonces para t jo y cada t [ π, π] se tiene que: t t f(s) ds = a 2 (t t )+ t a n t cos ns ds + b n t t sen ns ds, siendo la convergencia uniforme en [ π, π]. Análogamente, para f R[, π]: t t f(s) ds = t b n t sen ns ds, t t f(s) ds = a 2 (t t ) + t a n t cos ns ds, en donde t, t [, π] y la convergencia es uniforme en [, π].

14 Ejemplo/Ejercicio. La función f(t) = se representa en serie de senos en el intervalo [, π]: = 4 π 2n sen(2n )t. Por tanto: De aquí sale que: (2n ) 2 = π2 8. n 2 = π2 6.

15 Ejemplo/Ejercicio. La función f(t) = se representa en serie de senos en el intervalo [, π]: = 4 π 2n sen(2n )t. Al integrar la serie término a término obtenemos: t = 4 π (2n ) 2 4 π (2n ) 2 cos(2n )t, es decir: t = π 2 4 { } cos 3t cos 5t cos t + π Por el momento sólo sabemos que la primera serie converge en media cuadrática, mientras la segunda converge uniformemente en [, π]. Nota. Obsérvese que f(t) = t no cumple las condiciones f = en t =, π. Sin embargo la serie converge uniformemente.

16 3. Convergencia puntual. Para estudiar la convergencia puntual, la serie de referencia es: f(t) = a 2 + donde suponemos que: es 2πperiódica: a n cos nt + b n sen nt f(t) R[ π, π] f(t + 2π) = f(t). Funciones como f(t) = t, f(t) = e t, etc, se extienden periódicamente fuera de [ π, π]. Para estudiar la serie de Fourier en senos de f R[, π], primero se la extiende impar a [ π, π] y después 2πperiódicamente a R. Para estudiar la serie de Fourier en cosenos de f R[, π], primero se la extiende par a [ π, π] y después 2πperiódicamente a R.

17 Extensiones periódicas: funciones denidas[ π, π] Extensión 2π periódica de f(t) = signo(t)

18 Extensión 2π periódica de f(t) = t

19 Extensión 2π periódica de f(t) = e t

20 Extensión 2π periódica de f(t) = t

21 Extensión 2π periódica de f(t) = t 2

22 Extensión 2π periódica de f(t) = t

23 Extensiones periódicas: funciones denidas[, π] Extensión par 2π periódica de f(t) = e t

24 Extensión impar 2π periódica de f(t) = e t

25 Extensión impar 2π periódica de f(t) = π 2 + x 2

26 Extensión par 2π periódica de f(t) = π 2 + x 2

27 Teorema 4. Sea f(t) una función 2πperiódica que es C a trozos en [ π, π]. Entonces: f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt, en cada punto t R donde f sea continua. En particular, la identidad es cierta t [ π, π] si f es continua en R. La continuidad de f en t = t no basta para que: f(t ) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt. El teorema requiere la derivabilidad en un entorno reducido de t donde las derivadas admiten límites laterales. Contraejemplos: L. Fejér (9), C. Jordan, principios del siglo XX.

28 La serie de Fourier de las funciones f(t) = t, f(t) = t 2, f(t) = t o f(t) = e t converge puntualmente en ( π, π). Las extensiones 2πperiódicas de f(t) = t 2 y f(t) = t son continuas sus series convergen puntualmente en [ π, π]. Las series de Fourier de f(t) = t y f(t) = e t también convergen en t = ±π. No lo hacen a los valores f(±π).

29 Teorema 5. En las condiciones precedentes: f(t+) + f(t ) 2 = a 2 + a n cos nt + b n sen nt, donde f(t+), f(t ) son los límites laterales de f en t por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Si f es C a trozos la serie de Fourier converge al valor medio de la discontinuidad de salto.

30 3.5 3 f(t) s(t) s(t) s2(t) t Las tres primeras sumas parciales de la serie de Fourier en cosenos de f(t) = t y en el intervalo [, π]. La primera es s (t) = π/2, luego vienen s (t) y s 2 (t) = t.

31 4 f(t)=t 4 s(t) s (t) 4 s2(t) Las tres primeras sumas parciales de la serie de Fourier en cosenos de f(t) = t en el intervalo [, π], s (t) = π/2, s (t) y s 2 (t) = t.

32 Las tres primeras sumas parciales de la serie de Fourier de f(t) = t en el intervalo [ π, π], s (t) = π/2, s (t) y s 2 (t) = t.

33 f(t) s(t) s2(t) s3(t) s4(t) s5(t) Las cinco primeras sumas parciales de la serie de Fourier de la función signo(t) en el intervalo [ π, π].

34 .5 f(t) s7(t) Suma parcial s 7 (t) de la serie de Fourier de la función signo(t) en el intervalo [ π, π].

35 .5 s7(t) Suma parcial s 7 (t) de la serie de Fourier de la función signo(t) en el intervalo [, 7π].

36 Las siete primeras sumas parciales de la serie de Fourier de la función f(t) = t. Se han dibujado en el intervalo [, 2π].

37 4 3 f(t) s2(t) La suma parcial s 2 (t) de la serie de Fourier de la función f(t) = t. Se ha dibujado en el intervalo [, 2π] para resaltar el salto en el punto t = π. Se observa la formación incipiente del fenómeno de Gibbs.

38 . Convergencia uniforme. Un teorema de convergencia uniforme para series trigonométricas Teorema 6. Sea f(t) una función continua y C a trozos en el intervalo [ π, π] que cumple: f( π) = f(π). Entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en el intervalo [ π, π]: f(t) = a 2 + a n cos nt + b n sen nt. Teorema 7. En las condiciones del teorema anterior: f(t) S N (t) π 2 6 N n 2 /2 π π π f (t) 2 dt N n 2 (a 2 n + b2 n ) /2.

39 Ejercicio Hallar la serie de Fourier de f(t) = t. a) Estimar el error cometido al substituir f por s 3. b) Hallar N para que el error se menor que,. Solución. t = π 2 4 π cos(2n )t. (2n ) 2 Llamamos E N al error asociado a S N (t). Entonces E 2,..., E 5 :, ,297,558 mientras E 6,..., E :,434,58,88.922,877. Vemos pues que con nueve términos N = 9 bajamos de,.

40 Ejercicio. Hallar la serie de Fourier de f(t) = t 4. Determinar el error cometido al substituir f por s 3. Solución. t 4 = π4 5 + ( ) n8(π2 n 2 6) n 4 cos nt. s 3 (t) = π4 5 8(π2 6) cos t+ 8(π ) 2 4 cos 2t 8(π ) 3 4 cos 3t. El factor: a := π 2 6 N /2 n 2 N=3 =,5328. b := π π π f (t) 2 dt N n 2 (a 2 n + b2 n ) /2 N=3

41 b 2 = 32π (π 2 6) (4π 2 6) (9π 2 6) = 4, El error es: E 3 = ab =