Sucesiones y Series de Funciones

Transcripción

1 Sucesiones y Series de Funciones Consideremos una sucesión {f n }, donde f n : I R R, entonces decimos que {f n } es una sucesión de funciones. Ejemplos: i) {f n }, donde f n : R R está dada por Tenemos = x2n + x 2n ii) {f n }, donde f n : [, ] R está dada por = nx( x) n. f n alcanza su valor máximo, donde f n =. Pero f n = n 2 x( x) n + n( x) n, de donde se deduce que el valor donde f n alcanza su valor máximo es x = n+.

2 iii) {f n }, donde f n : [, 2] R, está dada por n 2 x si x n = 2n n 2 x si n x 2 n si 2 n x 2 iv) {f n }, donde f n : [, ] R está dada por = x n. v) {f n }, donde f n : [ π, 3π] R está dada por. = sin x sin 2x 2 + sin 3x 3 sin 4x 4 n sin nx + + ( ) n 2

3 Si dada una sucesión de funciones {f n } en un intervalo I, evaluamos cada uno de los términos de {f n } en I, obtenemos una sucesión numérica {f n ( )}. Ejemplos: i) = x n Al evaluar f n en, se obtiene,,,,, si se evalúa en x =, se obtiene,,,, si se evalúa en x = 2, se obtiene 2, 4, 2 3, 2 4,. Definicion.- Decimos que una sucesión de funciones {f n }, donde f n : I R R converge en I a f( ), si {f n ( )} converge, es decir, ɛ > N(ɛ, ) tal que f n ( ) f( ) < ɛ n > N(ɛ, ). Si = x n y = 2 la sucesión de funciones converge a, ya que dado ɛ >, 2n > ɛ n > log 2 ɛ, 2 < ɛ, n > N(ɛ) = [log n 2 ɛ ] + ii) Sea {f n }, donde f n : [, ] R está dada por = nx( x) n, si x = se obtiene,,,,, al evaluar cada f n ; si x = se obtiene,,,,, al evaluar cada f n. Si x = n+ se obtiene ( 2 )2, ( 3 )3, ( 4 )4, ( ) f n = n ( ) n n + n + n + = ( ) ( ) n ( = ) n+ n + n + n + ( ) n n + ɛ Definicion.- Decimos que una sucesión de funciones {f n } converge puntualmente a f en I si para cada ɛ y cada x I, N(ɛ, x) tal que f(x) < ɛ n < N(ɛ, x). Ejemplos: i) {f n }, donde f n : [, ] R está dada por = x n converge a f : [, ] R dada por { si x f(x) = si x = 3

4 ii) {f n }, donde f n : R R está dada por = nx converge a f(x) =. [ x ] n x < ɛ si n > + = N(ɛ, x) ɛ iii) {f n } donde f n : R R está dada por = nx no converge a una función. 4

5 Consideremos f n donde f n : R R está dada por Converge f n? = x2n + x 2n Definición.- Decimos que una sucesión de funciones {f n }, donde f n : I R R, converge uniformemente a f : I R R, si ɛ > N(ɛ) tal que f(x) < ɛ. n > N(ɛ), x I. 5

6 Ejemplos: i) La sucesión de funciones {f n }, donde f n : R R está dada por = n sin nx, converge uniformemente en R a la función idénticamente cero. En efecto, dado > ɛ >, sin nx n = n sin nx n < ɛ n > ɛ y x R ii) La sucesión de funciones {f n }, donde f n : [, ] R está dada por = x n Converge uniformemente? No converge uniformemente, ya que dado ɛ >, y x I x n = x n < ɛ, n > ln ɛ ln x, pero ln x cuando x, en consecuencia ln ɛ ln x + cuando x. Si en lugar de tomar f n : [, ] R, se toma f n : [, δ] R donde δ es tan pequeño como se quiera, pero fijo, entonces x n < ɛ, n > ln ɛ ln( δ) y x I. Entonces la sucesión de funciones, donde : x n está definida en [, δ] converge uniformemente a la función idénticamente. iii) La sucesión de funciones {f n }, donde f n : R R está dada por = 2 π arctan nx Converge? Converge uniformemente? Sí converge y converge a f : R R con si x < f(x) = si x = si x > No converge uniformemente = sgnx 6

7 Definición.- Si {} es una sucesión de funciones en I decimos que {S n (x)}, donde S n (x) = f (x) + f 2 (x) + + es una serie de funciones y se denota A se le llama término enésimo de la serie y a S n (x) se le llama suma parcial enésima de la serie. Definición.- Decimos que la serie de funciones en I converge en I, si la sucesión de sumas parciales {S n (x)} converge en. Definición.- Decimos que una serie de funciones Teorema en I converge uniformemente en I, si la sucesión de funciones {S n (x)} converge uniformemente en I. Si se tiene una serie que converge uniformemente en I y cada término de la serie se multiplica por una función acotada ϕ en I, entonces la serie converge uniformemente en I. ϕ(x) Demostración: Como la serie converge uniformemente, entonces dado ɛ > N(ɛ)tal que S n (x) S(x) < ɛ M n > N(ɛ) y x, es decir, f n x < ɛ M n=n(ɛ)+ 7

8 Teorema Si en consecuencia M n=n(ɛ)+ por lo tanto la serie < ɛ, pero n=n(ɛ)+ M ϕ(x) M M ϕ(x) = ϕ(x) n=n(ɛ)+ < ɛ ϕ(x) converge uniformemente en I. n=n(ɛ)+ y g n (x) Son series de funciones que convergen uniformemente en I, entonces la serie + g n (x) converge uniformemente. Demostración: Sean S n (x) = f (x) + + S n(x) = g + + g n (x) S(x) = S (x) = g n (x) 8

9 Sea ɛ >, entonces N(ɛ) tal que S n (x) S(x) < ɛ 2 y S n(x) S (x) < ɛ 2 y s n(x) S (x) < ɛ 2 n > N(ɛ) y x I. Entonces S n (x) + S n(x) S(x) + S (x) S n S(x) + S n(x) S (x) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ n > N(ɛ) y x I, por lo tanto + g n (x) Converge uniformemente Definición.- Dada una serie de funciones decimos que una serie numérica en I M n (donde M n > ) de números positivos domina la serie de funciones si M n n y x I A la serie se le llama serie dominante y a la serie se le llama serie dominada. M n 9

10 Teorema Si es una serie de funciones y es una serie dominante convergente de la serie de funciones, entonces ésta converge uniformemente. Demostración: M n Como la serie numérica es convergente, entonces dado ɛ > N(ɛ) S m S < ɛ m > N(ɛ), es decir es decir M n M n < ɛ m > N(ɛ) n=m+ M m+ + M m+2 + < ɛ m > N(ɛ). En consecuencia f m+ (x) + f m+2 (x) + < ɛ m > N(ɛ) y x I. Por lo tanto f m+ (x) + f m+2 (x) + < ɛ m > N(ɛ) y x I, es decir n=m+ < ɛ m > N(ɛ) y x I entonces, la serie de funciones converge uniformemente.

11 Ejemplos: i) La serie de funciones En efecto como la serie numérica sin nx n 2 Converge uniformemente n 2 es una serie dominante de la serie de funciones y sabemos que converge, en consecuencia la serie de funciones converge uniformemente ii) La serie de funciones sin nx Converge uniformemente?. Derivemos, n 2 sin 2x 4 4 x + n 4, x [, ]. x2 f n(x) = ( + n4 x 2 ) 2n 4 x 2 ( + n 4 x 2 ) 2 = n4 x 2 ( + n 4 x 2 ) 2 entonces el máximo de es x = n 2, entonces el valor máximo de es

12 Entonces la serie ( ) n f n n 2 = 2 + n ( ) 4 = 2n n 2 2 2n 2 es una serie dominante de la serie de funciones, por lo tanto la serie converge uniformemente. iii) La serie ( ) n x [, ) x + n Converge uniformemente?. No existe una serie dominante de la serie que sea convergente < ɛ n=m m > N(ɛ) y x I ( ) n x + n x + m < m n=m Criterio M de Weierstrass Teorema (Criterio de Cauchy) Una sucesión de funciones {} definidas en [a, b] converge uniformemente a una función f en [a, b] si y sólo si para todo ɛ > existe N(ɛ) tal que: f n+p(x) fn(x) < ɛ para todo n > N(ɛ), p > y para todo x [a, b]. Demostración: ) Como {} converge uniformemente a f en [a, b], dado ɛ > N(ɛ) tal que f(x) < ɛ 2 y f n p (x) f(x) < ɛ 2 para todo n > N(ɛ), p > y para todo x [a, b]. En consecuencia: f n+p (x) = f n+p (x) + f(x) f(x) 2

13 Teorema f n+p (x) f(x) + f(x) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ para todo n > N(ɛ), todo p > y x [a, b]. ) Como ɛ >, N(ɛ) tal que f n+p (x). < ɛ () n > N(ɛ), p > y para todo x [a, b]. Si tomamos x [a, b] fijo, a partir de () se tiene una sucesión numérica de Cauchy para cada x [a, b] fijo. Sea f : [a, b] R la función ite de {}. Si en () se hace tender p a infinito se obtiene: f(x) < ɛ n > N(ɛ), y x [a, b]. Una serie de funciones en [a, b] converge uniformemente a una función S(x) en [a, b] si y solo si ɛ > N(ɛ) tal que Teorema S n+p (x) S n < ɛ n > N(ɛ), p > y x [a, b]. Si una sucesión de funciones continuas {} en [a, b] converge uniformemente a f : [a, b] R, entonces f es continua en [a, b]. Demostración: Como {} converge uniformemente a f en [a, b] dado ɛ >, N(ɛ) tal que f(x) < ɛ 3 y f n (x + h) f(x + h) < ɛ 3 para todo n > N(ɛ) y x [a, b], siempre que (x + h) [a, b]. Como f n es continua en [a, b], entonces f n (x + h) < ɛ 3 si h < δ(ɛ) 3

14 En consecuencia f(x + h) f(x) = f(x + h) + + f n (x + h) f n (x + h) f(x) f n (x + h) f(x + h) + f n (x + h) + f(x) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ = ɛ 3 si h < δ(ɛ) Por lo tanto f es continua en [a, b]. Teorema Si una serie de funciones continuas en [a, b] converge uniformemente en [a, b] a S(x), entonces: S : [a, b] R es continua. Demostración: (*Llegar a que la función ite de la sucesión es continua) Consideremos la sucesión de sumas parciales {S n (x)}. Se tiene que S n C [a,b] y {S n (x)} converge uniformemente a S(x) en [a, b], por lo tanto: S : [a, b] R es continua según el teorema anterior..- Dada la sucesión de funciones {}, donde f n : [, ] R está dada por f(x) = x n. Calcular: i) ii) dx f n(x)dx 2.- Igual que en, para la sucesión {}, donde f n : [, ] R está dada por = n 2 x( x) n 2..- i) x n dx = n + xn+ 4

15 ii) f n(x)dx = {x n } f(x) = dx = { si x < si x = i) ii) n2 ( x ( x)n+ n + n 2 x( x) n dx = + ) (n + )(n + 2) xn+2 = n 2 (n + )(n + 2) = n2 n 2 = n2 x( x) n dx = dx = Teorema 3.- Igual que en para {} donde = 4nx 3 e nx4, en [, ] i) ii) ( 4nx 3 e nx4 dx = e nx4 ) = ( = ) e n = 4nx3 e nx4 dx = dx = Si {} es una sucesión de funciones continuas en [a, b] que converge uniformemente a f : [a, b] R, entonces Para todo, x [a, b]. f n (t)dt = f n(t)dt x = f(t)dt 5

16 Demostración: Como {} converge uniformemente a f en [a, b], entonces dado ɛ > existe N(ɛ) tal que f(x) < ɛ si n > N(ɛ) x [a, b]; Como f n C [a,b] y f C [a,b] existen f n (t)dt y f(t)dt Se tiene: f n (t)dt x f(t)dt = (f n (t) f(t))dt < f n (t) f(t) dt ɛ b a dt = ɛ b a (x ) < ɛ Por lo tanto, f n (t)dt = f(t)dt f n(t)dt Teorema Si una serie de funciones continuas en [a, b] converge uniformemente a S(x) en [a, b], entonces para todo, x [a, b]. f n (t)dt = f n (t)dt 6

17 Demostración: S n (x) = f (x) + + es continua en [a, b] n N, entonces {S n (x)} es una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a S(x). En consecuencia Es decir Teorema de donde se obtiene Por lo tanto S n (t)dt = S(t)dt (f(t) + f 2 (t) + + f n (t)) dt = S(t)dt ( ) f (t)dt + f 2 (t)dt + f n (t)dt = S(t)dt f n (t)dt = f n (t)dt Si {} es una sucesión de funciones donde f n C [a,b] tal que {} converge uniformemente, entonces: Teorema f n(x) = ( ) para cada x [a, b] Si {} es una sucesión de funciones donde f n C [a,b], que converge a una función f en [a, b] y {f n(x)} converge uniformemente a una función ϕ, entonces f (x) = ϕ(x). Demostración: Como {f n(x)} converge uniformemente a ϕ, entonces f n(t)dt = f n(t)dt x 7

18 es decir f n(t)dt = ϕ(t)dt de donde se obtiene (f n(x) f n ( )) = ϕ(t)dt En consecuencia f(x) f( ) = ϕ(t)dt, luego f(x) = f( ) + ϕ(t)dt Como f es la suma de funciones continuas, es continua. Entonces f (x) = ϕ(x), es decir ( ) f n(x) = f n(x) Si una sucesión de funciones {} no satisface el que {f n(x)} converja uniformemente, no necesariamente se cumple el resultado. Ejemplos: Sea {}, donde f n : R R está dada por = n ln(nx + n 2 x 2 + ) Cual es la función limite de {}? A que converge? Para calcular el limite de, usemos el teorema de L Hôpital. = Por otro lado n ln(nx + ( ln(nx + n2 x 2 + ) ) n 2 x 2 + ) = (n) = nx + n 2 x 2 + ( x + nx 2 ) = n2 x 2 + x = n2 x 2 + = f n(x) = n2 x 2 + x n 2 x nx 2 n2 x 2 + (nx + n 2 x 2 + ) = 8

19 Por lo tanto ( ) f n() = f n(x) = Teorema Si una serie de funciones, donde f n C [a,b] converge a una función S(x) y la serie f n(x) converge uniformemente a una función σ(x) en [a, b], entonces S (x) = σ(x). Demostración: Teorema Si consideramos la sucesión de sumas parciales {S n (x)} de la serie con S n (x) C [a,b] n N Además {S n(x)} converge uniformemente a σ(x). Por lo tanto S (x) = σ(x), es decir ( ) = f n(x) Si es una serie de funciones que converge uniformemente y x = C n en un intervalo alrededor de, entonces la serie: 9

20 C n también converge y : x = C n Demostración: Sea ɛ >, entonces existe N(ɛ) tal que f m+ (x) + f m+2 (x) + + f m+p (x) < ɛ 2 () m > N(ɛ), p > y todo x en el intervalo alrededor de. Si hacemos tender x hacia, se obtiene: C m+ + C m+2 + C m+p ɛ 2 (2) Si en () y (2) se hace tender p a infinito, se obtiene n=m+ ɛ 3 y C n < ɛ 3 n=m+ Elijamos δ(ɛ) > tal que C n < ɛ 3 si < x < δ(ɛ) Entonces, f n (x) C n Cn + n=m+ + C n n=m+ < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ 2

21 para < x < δ(ɛ). Por lo tanto. Teorema x = C n Si {} es una sucesión de funciones que converge uniformemente y entonces: Demostración: x = ln x f n(x) = x. Construir una serie como resultado anterior 2. Aplicarla 3. Demostrar teorema Consideremos la serie de funciones : f (x) + (f 2 (x) f (x)) + (f 3 (x) f 2 (x)) + ( f n (x)) + converge uniformemente por lo tanto c/resultado anterior. Demostración: Por el resultado anterior: es decir x ( f (x) + ) f n (x) = n=2 ( ) ( ) = f (x) + (l n l n ) = l + (l n l n ) x n=2 f n(x) = L n = x 2