1. Construcción de la Integral

Transcripción

1 1. Construcción de la Integral La integral de Riemann en R n es una generalización de la integral de funciones de una variable. La definición que vamos a dar reproduce el método de Darboux para funciones acotadas definidas en rectángulos. La generalización a otra familia más amplia de conjuntos se verá más adelante. Llamamos rectángulo en R n a un producto cartesiano de intervalos = [a 1, b 1 ] [a n, b n ] y llamamos volumen de al producto de las longitudes de sus lados v() = Π n i=1(b i a i )

2 Llamamos partición de a una familia P formada por una partición de cada uno de los intervalos, P = {P 1,..., P n }, donde P i = {a = t 0 t ki = b i } es una partición de [a i, b i ] Una partición P de define una familia finita de rectángulos, que llamaremos R P, que verifica = R; v() = v(r) R R P R R P

3 Si P = {P 1,..., P n } y Q = {Q 1,..., Q n } son dos particiones de, se dice que Q P, o que Q es más fina que P, si para cada i entre 1 y n P i Q i. En este caso, Q define en cada rectángulo R de R P una partición Q R.

4 Dadas dos particiones P y Q de, llamaremos P Q a la partición formada por todos los puntos de cada P i y Q i

5 Definición (Sumas de Riemann). Sea f : R una función acotada, y P una partición de. Para cada rectángulo R R P se definen: m R (f) = inf{f(x); x R} M R (f) = sup{f(x); x R} Se definen la Suma Inferior de Riemann y la Suma Superior de Riemann por S(f, P ) = R R P m R (f) v(r) S(f, P ) = respectivamente. R R P M R (f) v(r)

6 Si f es una función no negativa, S(f, P ) es la suma de los volúmenes de los rectángulos R [0, m R (f)], levantados por debajo de la gráfica de f, y S(f, P ) es la suma de los volúmenes de los rectángulos R [0, M R (f)] construidos por encima de la gráfica de f Caso n=1:

7 Caso n=2

8 Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:

9 Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades: 1.- Para toda partición P de, S(f, P ) S(f, P )

10 2.- Si P y Q son dos particiones con P Q, entonces S(f, P ) S(f, Q) y S(f, P ) S(f, Q) es decir, cuanto más fina es la partición, la suma inferior es mayor y la superior es menor. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 P Q P = {t 0,t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } S(f,P) Q = {s 0,s 1,s 2,s 3,s 4,s 5,s 6,s 7,s 8,s 9,s 10 } S(f,Q)

11 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 P Q P = {t 0,t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } S(f,P) Q = {s 0,s 1,s 2,s 3,s 4,s 5,s 6,s 7,s 8,s 9,s 10 } S(f,Q)

12 3.- Para toda partición P de, m (f)v() S(f, P ) S(f, P ) M (f)v() M (f)v() S(f,P) S(f,P) t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 m (f)v() P = {t 0,t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 }

13 4.- Si P y Q son dos particiones cualesquiera de, S(f, P ) S(f, Q) t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 P = {t 0,t 1,t 2,t 3,t 4,t 5 } S(f,P) Q = {s 0,s 1,s 2,s 3,s 4,s 5,s 6 } S(f,Q)

14 Definimos ahora las integrales inferior y superior de una función de la siguiente manera: Definición (Integral Superior e Integral Inferior). Sea un rectángulo en R n, y f : R una función acotada. Se llama integral inferior de f en a f = sup{s(f, P ); P partición de } Y se llama integral superior de f en a f = inf{s(f, P ); P partición de } Las integrales superior e inferior están bien definidas, en el sentido de que como los conjuntos de sumas superiores e inferiores de Riemann de f son acotados, existen el supremo y el ínfimo respectivamente. demás, por las propiedades que hemos visto antes, se tiene que m (f)v() f f M (f)v()

15 Definición (Función Integrable Riemann). Sea un rectángulo en R n, y f : R. Se dice que f es integrable Riemann en si es acotada y las integrales superior e inferior de f en coinciden. En este caso se llama integral de f en a f = f = f

16 Ejemplo 1. Toda función constante en un rectángulo es integrable. demás, si f(x) = a para cada x, entonces f = av() En efecto, si P es una partición cualquiera de, y R es uno de los rectángulos definidos por P, m R (f) = a = M R (f), así que S(f, P ) = M R (f)v(r) = av(r) = a v(r) = av() R R P R R P R R P y S(f, P ) = R R P m R (f)v(r) = R R P av(r) = a Por tanto f = inf{s(f, P ), P partición de } = av() y f = sup{s(f, P ), P partición de } = av() las dos integrales son iguales, f es integrable, y R R P v(r) = av() f = av()

17 Ejemplo 2. La función de Dirichlet, f : [0, 1] R definida por { 1 si x Q f(x) = 0 si x Q no es integrable Riemann. En efecto, si P es una partición cualquiera de, y R es uno de los rectángulos definidos por P, en R habrá números racionales y números irracionales, de modo que m R (f) = 0 y M R (f) = 1, así que S(f, P ) = M R (f)v(r) = v(r) = v([0, 1]) = 1 R R P R R P y S(f, P ) = m R (f)v(r) = 0 R R P Por tanto f = inf{s(f, P ), P partición de } = 1 y f = sup{s(f, P ), P partición de } = 0

18 Ejemplo 3. Funciones no integrables en R 2 Partiendo del ejemplo anterior, es fácil construir funciones que no sean integrables, definidas en conjuntos de R 2, o en general de R n. Por ejemplo, puede ser f(x, y) = { 1 si x Q 0 si x Q definida en = [0, 1] [0, 1], o { 1 si (x, y) Q 2 g(x, y) = 0 si (x, y) Q 2

19 2. Criterio de Riemann El primer teorema que vamos a demostrar, da una condición equivalente para la integrabilidad de una función, aunque no da el valor de su integral. Es una condición parecida a la condición de Cauchy de las sucesiones de números reales, o de vectores de R n. Teorema (Criterio de Integrabilidad de Riemann). Sea un rectángulo en R n, y f : R una función acotada en. f es integrable en si y sólo si para cada ɛ > 0 existe una partición P ɛ de tal que S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) ɛ Demostración: (Saltar al final de la demostración) Supongamos primero que f es integrable en, y sea ɛ > 0. Por la definición de la integral superior como el ínfimo de las sumas superiores de Riemann, existirá al menos una partición P 1 de tal que S(f, P 1 ) < f + ɛ/2. Y por la definición de la integral inferior como supremo de las sumas inferiores, existirá al menos una partición P 2 de tal que S(f, P 2 ) > f ɛ/2.

20 y Consideramos entonces la partición P unión de P 1 y P 2, y tenemos S(f, P ) S(f, P 1 ) < f + ɛ/2 S(f, P ) S(f, P 2 ) > f ɛ/2 de donde restando las dos desigualdades se obtiene S(f, P ) S(f, P ) < f + ɛ/2 f + ɛ/2 = ɛ ya que por ser f integrable f = f. Recíprocamente, supongamos ahora que para cada ɛ > 0 existe alguna partición P ɛ de tal que S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ Entonces como f S(f, P ɛ ) y f S(f, P ɛ ), tenemos 0 f f S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ

21 y esto para todo ɛ > 0, luego necesariamente f = y por tanto f es integrable en. (Volver al enunciado) f Como consecuencia de este teorema es fácil demostrar que toda función continua en un rectángulo es integrable, o incluso que toda función monótona es integrable (ver problemas)

22 3. Para terminar este primer capítulo, vamos a demostrar las propiedades elementales de la integral Teorema ( de la Riemann). Sea un rectángulo en R n, y sean f : R y g : R dos funciones integrables en. 1. la suma f + g es integrable y (f + g) = f + g 2. para todo α R el producto αf es integrable, y (αf) = α f 3. si f 0, entonces f 0 4. si f g, entonces 5. f también es integrable, y f g f 6. max{f, g} y min{f, g} son integrables 7. el cuadrado f 2 es integrable f 8. el producto fg es integrable

23 Demostración: (Saltar al final de la demostración) (1) Como f y g son acotadas, también f + g es acotada. Sea P una partición cualquiera de, y R R P un rectángulo cualquiera definido por P. entonces y m R (f + g) = inf{f(x) + g(x), x R} inf{f(x), x R} + inf{g(y), y R} = m R (f) + m R (g) M R (f + g) = sup{f(x) + g(x), x R} sup{f(x), x R} + sup{g(y), y R} = M R (f) + M R (g) En consecuencia, multiplicando por v(r) y sumando S(f, P ) + S(g, P ) S(f + g, P ) (f + g) (f + g) S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) Si tomamos ahora dos particiones cualesquiera de, P 1 y P 2, y consideramos la unión P = P 1 P 2, tenemos

24 S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f + g, P ) (f + g) (f + g) S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ) S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) Dejando fija P 2, y tomando a la izquierda de la cadena supremos en P 1, como f es integrable queda f + S(g, P 2 ) (f + g) (f + g) S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) y tomando ahora supremos en P 2 f + g (f + g) (f + g) S(f, P 1 ) + S(g, P 2 ) Repitiendo estos argumentos con la parte derecha de la desigualdad, tomando ínfimos en vez de supremos, obtenemos f + g (f + g) (f + g) f + g

25 luego en efecto f + g es integrable, y su integral es la suma de las integrales de f y g (2) Si f es integrable, entonces es acotada y evidentemente entonces también αf es acotada. Supongamos ahora que α 0. Sea P una partición cualquiera de, y R uno de los rectángulos de R P. m R (αf) = inf{αf(x), x R} = α inf{f(x), x R} = αm R (f) y análogamente M R (αf) = sup{αf(x), x R} = α sup{f(x), x R} = αm R (f) Entonces, multiplicando por el volumen de cada rectángulo de la partición, y sumando S(αf, P ) = m R (αf)v(r) = αm R (f)v(r) = αs(f, P ) R R P r R P y S(αf, P ) = M R (αf)v(r) = αm R (f)v(r) = αs(f, P ) R R P r R P

26 Por tanto αf = sup{s(αf, P ), P partición de } = = sup{αs(f, P ), P partición de } = = α sup{s(f, P ), P partición de } = = α f y análogamente αf = inf{s(αf, P ), P partición de } = = inf{αs(f, P ), P partición de } = = α inf{s(f, P ), P partición de } = = α f sí que como f es integrable, αf también lo es, y αf = α f Cuando α < 0, hay que tener en cuenta que para sacar α de un supremo o un ínfimo, hay que cambiar el sentido de las desigualdades, con lo que se cambian los ínfimos por supremos y los supremos por ínfimos:

27 m R (αf) = inf{αf(x), x R} = α sup{f(x), x R} = αm R (f) y análogamente M R (αf) = sup{αf(x), x R} = α inf{f(x), x R} = αm R (f) de modo que y S(αf, P ) = S(αf, P ) = R R P m R (αf)v(r) = R R P M R (αf)v(r) = r R P αm R (f)v(r) = αs(f, P ) De aquí αf = sup{s(αf, P ), P partición de } = = sup{αs(f, P ), P partición de } = = α inf{s(f, P ), P partición de } = = α f r R P αm R (f)v(r) = αs(f, P )

28 y análogamente αf = inf{s(αf, P ), P partición de } = = inf{αs(f, P ), P partición de } = = α sup{s(f, P ), P partición de } = = α f sí que también αf es integrable y αf = α f (3) Es trivial, ya que si f(x) 0 para todo x, entonces f f m (f)v() 0 (4) Se deduce de las tres propiedades anteriores: por (2), g es integrable, y ( g) = g. Por (1), f g = f + ( g) es integrable, y (f g) = f + ( g) = f g. Y por (3), como f(x) g(x) 0 para todo x, f g = (f g) 0

29 luego f g (5) Como f es integrable, en particular es acotada, y por tanto también f es acotada. Sea P una partición cualquiera de, y R uno de los rectángulos definidos por P, R R P, y sean x e y dos puntos cualesquiera en R. Se tiene luego m R (f) M R (f) f(x) f(y) M R (f) m R (f) f(x) f(y) f(x) f(y) f(x) f(y) M R (f) m R (f) y tomando supremos en x e ínfimos en y, M R ( f ) m R ( f ) M R (f) m R (f) Multiplicando cada una de estas desigualdades por el volumen de R, y sumando S( f, P ) S( f, P ) = R R P (M R ( f ) m R ( f )) v(r) R R P (M R (f) m R (f)) v(r) S(f, P ) S(f, P )

30 Como f es integrable, aplicando el Criterio de Riemann, dado ɛ > 0 existe alguna partición P ɛ de tal que S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ. Y entonces S( f, P ɛ ) S( f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ luego aplicando el mismo criterio a f, también es integrable. demás, como para todo x f(x) f(x) f(x) aplicando las propiedades (2) y (4) f f f de donde se deduce que f f (6) Basta observar que para cada cada x max{f, g}(x) = max{f(x), g(x)} = f(x) + g(x) + f(x) g(x) 2

31 y min{f, g}(x) = min{f(x), g(x)} = y aplicar las propiedades anteriores. f(x) + g(x) f(x) g(x) 2 (7) Como f es integrable, es acotada, y entonces también f 2 es acotada. demás también f es integrable, como ya hemos visto. Sea k > 0 tal que f(x) k para todo x, y sea ɛ > 0. plicando el criterio de Riemann a la función f, existe una partición P de tal que S( f, P ) S( f, P ) ɛ 2k Si R es uno de los rectángulos definidos por esa partición, tenemos M R (f 2 ) = sup{f 2 (x), x R} = sup{ f(x) 2, x R} = = sup{ f(x), x R} 2 = M R ( f ) 2 m R (f 2 ) = inf{f 2 (x), x R} = inf{ f(x) 2, x R} = = inf{ f(x), x R} 2 = m R ( f ) 2

32 (es decir, el cuadrado se puede sacar fuera del supremo y del ínfimo de una familia de números positivos) Entonces M R (f 2 ) m R (f 2 ) = M R ( f ) 2 m R ( f ) 2 = = (M R ( f ) m R ( f ))(M R ( f ) + m R ( f )) 2k(M R ( f ) m R ( f )) Multiplicando estas desigualdades por el volumen de cada rectángulo R, y sumando, queda S(f 2, P ) S(f 2, P ) 2k(S( f, P ) S( f, P )) 2k ɛ 2k = ɛ plicando el criterio de Riemann a la función f 2, ésta es integrable. (8) Por último, para demostrar que el producto de f y g es integrable basta escribir fg = (f + g)2 (f g) 2 4 y aplicar las propiedades anteriores. (Volver al enunciado)

33 Y además Proposición. Sea P una partición cualquiera de. f es integrable en si y sólo si para cada rectángulo R R P la restricción de f a R es integrable. demás en este caso f = f R R P R Demostración: Sea P una partición cualquiera de. Supongamos primero que f es integrable en, plicando el criterio de Riemann a, dado ɛ > 0 existe una partición P ɛ de tal que S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ. Consideramos entonces en la unión de las dos particiones, Q = P P ɛ, que es mayor que P ɛ, con lo que S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ɛ ) S(f, P ɛ ) < ɛ y también es mayor que P, con lo que define sobre cada rectángulo R R P una partición Q R. Los rectángulos definidos por Q R en R son los rectángulos S R Q que están contenidos en R.

34 P P ɛ R S Q = P P ɛ R Para un rectángulo R R P cualquiera, si calculamos para esa partición Q R definida en R la diferencia entre la suma superior y la inferior, obtendremos S(f R, Q R ) S(f R, Q R ) = S R Q,S R [M S (f) m S (f)]v(s) S R Q [M S (f) m S (f)]v(s) = = S(f, Q) S(f, Q) < ɛ

35 Por tanto la restricción de f a R es integrable. Recíprocamente, supongamos que la restricción de f a cada rectángulo R de R P es integrable. Dado ɛ > 0, aplicando en cada rectángulo R el criterio de Riemann, existirá una partición P R de R tal que S(f R, P R ) S(f R, P R ) ɛ k donde k es el número de rectángulos definidos por la partición P. Definimos entonces la partición Q de unión de la partición original P y todas las particiones P R, que es mayor que P, y define en cada rectángulo R de R P una partición Q R mayor que P R, formada por los rectángulos S R Q que están contenidos en R

36 P R1 P R2 R 1 R 2 P Q R1 Q R2 P Q = P P R1 P R2 Para calcular la diferencia entre la sumas superior e inferior definidas por Q, aplicamos la propiedad distributiva de la suma, agrupando los rectángulos S R Q que están en cada rectángulo R R P

37 S(f, Q) S(f, Q) = [M S (f) m S (f)]v(s) = S R Q = [M S (f) m S (f)]v(s) = R R P S R Q,S R = [M S (f) m S (f)]v(s) = R R P S R QR = [ S(f R, Q R ) S(f R, Q R ) ] R R P [ S(f R, P R ) S(f R, P R ) ] R R P ɛ k = ɛ R R P Por tanto f es integrable en. demás, si P es ahora una partición cualquiera de, y consideramos la unión Q = P P, y como antes la partición Q R definida por Q en cada rectángulo R de R P, tenemos

38 S(f, P ) S(f, Q) = = R R P S R Q m S (f)v(s) = S R Q,S R = S(f R, Q R ) R R P m S (f)v(s) = f R R R P y tomando supremos cuando P recorre todas las posibles particiones de se tiene f f R R R P nálogamente

39 S(f, P ) S(f, Q) = = R R P S R Q M S (f)v(s) = S R Q,S R = S(f R, Q R ) R R P M S (f)v(s) = f R R R P y tomando ínfimos cuando P recorre todas las posibles particiones de, se tiene f f R R R P Por tanto f = f R R R P

40 Ejemplo 4. Las funciones f + y f Un caso particular que se deduce de las propiedades anteriores, y que jugará un papel especial en la teoría de integración es el de las funciones f + y f. Dada una función f : R, se llaman y f + (x) = max{f(x), 0} f (x) = min{f(x), 0} = max{ f(x), 0}

41 f f + f Contenido Las funciones f + y f son funciones no negativas, y cumplen f = f + f y f = f + + f de donde se deduce, por ejemplo, que f es integrable si y sólo si f + y f son integrables.