Integración doble Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

Transcripción

1 Nuestra intención es extender la definición de integral doble, de funciones continuas, sobre regiones más generales que el rectángulo. Para ello definiremos dos tipos de regiones en el plano, que llamaremos regiones elementales, que vienen determinadas por su forma. El teorema de Fubini para regiones no rectangulares y el teorema del cambio de variable nos permitirán calcular el valor de integral doble de funciones continuas sobre dichas regiones.

2 Regiones elementales. efinición iremos que una región es una región elemental de tipo I (banda vertical) si contiene los puntos (x, y) tales que para cada x fijo entre las constantes a y b, la coordenada y varía de g 1 (x) a g 2 (x), donde g 1 y g 2 son funciones continuas. a x b g 1 (x) y g 2 (x)

3 Ejemplo 1 x 3 1/x y x 0 x 4 x/2 y 2

4 efinición iremos que una región es una región elemental de tipo II si contiene los puntos (x, y) tales que para cada y fijo entre las constantes c y d, la coordenada x varía de h 1 (y) a h 2 (y), donde h 1 y h 2 son funciones continuas. (Banda horizontal) c y d h 1 (y) x h 2 (y)

5 Ejemplo 0 y 2 y x 2y 1 y 9 si y x 3 1 x 3 si 1 y x 2

6 Sea una región elemental tal que existe un rectángulo R que la contiene, R, y sea f una función continua definida en. Construimos la función F : R R como F (x, y) = { f(x, y) si(x, y) 0 si(x, y) R

7 efinición Si la integral doble de F existe sobre R, entonces definimos la integral doble de f sobre una región elemental, como f(x, y)dx dy = F (x, y)dx dy Teorema Si f es una función continua sobre una región elemental, entonces f es integrable sobre R

8 Teorema de Fubini para regiones elementales. Si es una región de tipo I y f es una función continua sobre, entonces ( b ) g2 (x) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx x=a y=g 1 (x) Si es una región de tipo II y f es una función continua sobre, entonces ( d ) h2 (y) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. y=c x=h 1 (y)

9 Ejercicio Calcula e y2 dx dy donde es la región delimitada por las rectas y = 2x, y = 2 y x = x/2 e y2 dx dy

10 Propiedades Proposición Sea f una función continua sobre. Si f = 1, entonces f(x, y) dx dy = Área f(x, y) dx dy es el volumen bajo la gráfica z = f(x, y) y por encima de, si f(x, y) 0 para todo (x, y) R. Regla de subdivisión: Si la región de integración se puede dividir en dos subregiones 1 y 2 entonces f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy. 1 2

11 Propiedades Proposición Sean f y g funciones continuas sobre. Regla de linealidad: Si a y b son constantes, [a f(x, y) + b g(x, y)] dx dy = a f(x, y) dx dy + b g(x, y) dx dy.

12 Cambio de variables Teorema del cambio de variable Sean, R 2 y T : la aplicación biyectiva dada por T (u, v) = (x, y). Supongamos que x e y admiten derivadas parciales continuas respecto a u y v en. Entonces si f : R es continua se tiene que f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) J du dv donde J J = (x, y) (u, v) = x u y u x v y v

13 Cambio de variables Ejemplo Halla el area de la elipse centrada en el origen (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 a b/a a 2 x 2 a b/a a 2 x 2 dy dx = 1 2π 0 0 x = a r cos θ y = b r sin θ 0 r 1; 0 θ 2π J = (x, y) (r, θ) = a cos θ b sin θ abr dθ dr = πab x r y r ar sin θ br cos θ x θ y θ = = abr

14 Cambio de variables Coordenadas Polares El cambio de variables que más vamos a utilizar es el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Coordenadas polares x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 θ = arctan (y/x)

15 Cambio de variables Coordenadas Polares La ecuación cartesiana de la circunferencia de centro (a, 0) y radio a es (x a) 2 + y 2 = a 2. Y su ecuación en polares es (r cos θ a) 2 + (r sin θ) 2 r 2 2ra cos θ + a 2 = a 2 = r = 2a cos θ

16 Cambio de variables Coordenadas Polares Teniendo en cuenta que el J = se tiene que Proposición (x, y) (r, θ) = x r y u cos θ sin θ x θ y v = r sin θ r cos θ (r cos θ) r (r sin θ) r (r cos θ) θ (r sin θ) θ = = r(cos 2 θ + sin 2 θ) = r f(x, y) dx dy = f(x(ρ, θ), y(ρ, θ)) r dθ dρ

17 Cambio de variables Coordenadas Polares Ejemplo = 2 1 (1 + xy) dx dy = Hallar la integral (1 + xy) dx dy siendo la región del primer cuadrante limitada por las curvas y 2 + x 2 = 4, y 2 + x 2 = 1. 2 π/2 ρ ( θ + ρ 2 sin 2 θ/2 ) π/2 0 dρ = 1 0 ρ ( 1 + ρ 2 cos θ sin θ ) dθ dρ 2 1 ρπ/2+ρ 2 /2 dρ = 3π/4+7/6

18 Cambio de variables Coordenadas Polares Ejercicio Calcular siguiente figura (x 2 + y 2 ) 2 dx dy = donde es el dominio de la

19 Cambio de variables Coordenadas Polares Ejemplo Halla el area de la región I dentro de la circunferencia (x 1) 2 + y 2 = 1 pero fuera de la circunferencia x 2 + y 2 = 1