a n en las que n=1 s n = n + 1 Solución: a) Utilizando el criterios de D Alembert se obtiene que a n+1 n a n 3 > 1 n=1

Transcripción

1 EJERCICIO DE FUNDAMENTO MATEMÁTICO eries. Estudia el carácter de las series (a El término general es a n en las que (b la suma parcial n-sima es a n n n+ 3 n, n,, 3,... s n n, n,, 3,... n + olución: a Utilizando el criterios de D Alembert se obtiene que a n+ lim 4 n a n 3 > y la serie diverge. b Claramente se ve que lim s n n Como s n es la suma parcial y converge, entonces la serie converge.. Estudia el campo de convergencia de la serie ( (n (x n 4 6 (n ( 3 (n +!! (x n (n!! olución: Aplicando el criterio de D Alembert a la serie de valores absolutos ( lim a n+ 3 n + n a n lim x x < n n + luego la serie converge para < x < < x < Para x y x la serie también es absolutamente convergente. e prueba utilizando el criterio de Raabe.

2 3. Considera la función y arccos(x. a Halla su desarrollo en potencias de x (McLaurin. b Justifica que el desarrollo anterior es útil para hallar I / arccos(x dx y expresa I como una serie numérica convergente. c Indica una cota del error cometido al tomar como valor de I la suma de los tres primeros términos de la serie obtenida en b. olución: a abemos que f(x arccos(x f (x x x 4 x( x4 / y teniendo en cuenta que ( m ( + x m + entonces + mx + ( x 4 / ( + ( x 4 / ( + ( m x + m(m x +! ( x 4 + ( m x + + n ( + x4 + 3! x8 + + y como n n! (n!! f (x x( x 4 / donde tomamos por definición (!!. cuenta que arccos( π entonces f(x π x + n n x n + m(m (m x 3 + 3! ( ( x n (n!! x 4n +, x < n n! n (n!! x 4n+ (n!! (n!! t 4n+ dx π (n!! n i integramos y tenemos en (n!! (n!!(4n + x4n+ π x 3 4 x6 + b El resultado obtenido nos vale para calcular el desarrollo en serie de la integral que nos piden / ( / I arccos(x π dx (n!! (n!!(4n + x4n+ dx n π / x (n!! (n!!(4n + (4n + 3 x4n+3 π 4 (n!! π (n!!(4n + (4n + 3 4n n ( x 4 n +

3 c e puede obtener una cota al error cometido utilizando estos tres primeros términos ya que tenemos para el resto una serie de potencias de la forma n a nx n donde los a n son positivos y decrecientes, donde a n x n a x n n x n a x x Analizar el carácter de las siguientes series utilizando los criterios indicados a b c n ln(n n+ n +n+5 n 3 n +5 ol: Div (Integral ol: Div (Comparación ol: Conv (Comparación d 3n+ ol: Conv (D Alembert 3 n e f n x n ol: Conv si x < (Raíz p ol: p > Conv; p < Div (Raabe ( 3 5 (n 4 6 (n 5. Clasifica las siguientes series a c e g 3+sin (n, ol.: conv b n 3n n +n, ol.: conv 5 n+ a n, a > ol.: conv d n! ( n+ ln(n, ol.: conv n 3 n n!, ol.: div f n n! n n, ol.: conv n ( n n n, ol.: conv h ( + n n, ol.: div 6. Obtener el radio de convergencia de las siguientes series de funciones a n x n n, ol.: x < b 3 n x n, ol.: x < 3 n x n c ol.: x < d e n x n, ol.:x n ( n x n+ n f sin(x, ol.:x R e (n +! x, ol.: x > n n g cos(x ( n xn (n!, ol.:x R h x n ex n!, ol.:x R n i ( n xn n, ol.: < x j x n n, ol.: x < 3

4 7. Utiliza el desarrollo de Taylor para aproximar la integral I. sin(x x dx. olución: abemos que luego y sin(x x sin(x sin(x n n ( n x n+ (n +! ( n x(n+ (n +! ( n x 4n (n +! x4 3! + x8 5! n Como la serie es absolutamente convergente para todo valor de x tenemos que I. n sin(x. dx x ( n x 4n (n +! dx n n. x 4n ( n (n +! dx ( n x 4n+ (n +!(4n + x x5 3!5 + x9 5!9 x x5 3 + x9 8 Como la serie es alternada y decreciente, con los dos primeros términos ya obtenemos una aproximación con error menor que 9 /8. Integración Múltiple. Cambiar el orden de integración de las siguientes integrales dobles (es conveniente dibujar las regiones en cuestión. a 4 dy f(x, ydx (ol.: dx f(x, ydy b a dx a x f(x, ydy (ol.: a dy a y f(x, ydx c 3 dx x x/3 f(x, ydy (ol.: dy 3y y/ f(x, ydx+ 9 dy 3 x+ y/ f(x, ydx d dy y f(x, ydx (ol.: dx 6 y 4 f(x, ydy+ 8 dx x x+ x+ e dy 3 f(x, ydx (ol.: dx 4+x f(x, ydy+ 3 dx f(x, ydy y f(x, ydy

5 . Calcula el volumen de la esfera x + y + z a. i la densidad de la misma viene dada por δ(x, y, z (x + y + z /3, calcula su masa y la densidad media. olución: Para este problema, lo más apropiado es utilizar coordenadas esféricas x r sin(θ cos(ϕ y r sin(θ sin(ϕ x, y, z z r cos(θ J r sin(θ r, θ, ϕ y los límites de integración pasan a ser: r [, a], θ [, π], ϕ [, π], luego π π a V dx dy dz r sin(θdr dθ dϕ π dϕ R π sin(θdθ a r dr 4 3 πa3. La masa total será, teniendo en cuenta que δ r /3 π π a M δ(x, y, zdx dy dz r /3 r sin(θdr dθ dϕ πa/3. R y el promedio será P M V 9 a/3 3. Considera la intersección de una esfera de radio R con un cono cuyo vértice esta en el centro de la esfera y tiene una abertura de ángulo α. Calcula a El centro de gravedad de la figura (densidad constante. b La superficie total de la pieza y el centro de gravedad de la superficie. olución: a Por la simetría del problema, las coordenadas más apropiadas para resolver el problema son las coordenadas esféricas. x r sin(θ cos(ϕ y r sin(θ sin(ϕ z r cos(θ x, y, z J r sin(θ r, θ, ϕ i suponemos que la pieza esta situada con simetría de revolución respecto al eje z, y los límites de integración pasan a ser: r [, R], θ [, α], ϕ [, π]. En primer lugar calculamos el volumen de la pieza π α R V dx dy dz r sin(θdr dθ dϕ π dϕ D α sin(θdθ 5 R r dr 3 πr3 ( cos(α.

6 Obsérvese que si α π tenemos la esfera total y el volumen es V 4 3 πr3, y si α π/ tenemos el volumen de media esfera. Para calcular el centro de gravedad, por la simetría del problema tiene que estar en el eje z, por lo que sólo tenemos que calcular Z c.g. zdx dy dz π α R r cos(θr sin(θdr dθ dϕ V V V π dϕ D α cos(θ sin(θdθ R r 3 dr 3R( cos(α 6( cos(α. Obsérvese que si α π tenemos la esfera total y el centro de gravedad esta en el origen, Z c.g., y si α π/ tenemos media esfera, y su centro de gravedad es Z c.g. 3 8 R. b Para calcular la superficie de la pieza, primero calculamos la superficie de la parte esférica, e, y después la del cono, c. De las coordenadas polares, (r, θ, ϕ, en la parte esférica vemos que r R, siendo constante y θ [, α], ϕ [, π], mientras que para el cono tenemos que ahora la variable que es constante es θ α y r [, R], ϕ [, π]. π α x, y e x, z θ, ϕ y, z θ, ϕ J dθ dϕ θ, ϕ c π α π R π R R sin(θ dθ dϕ πr ( cos(α x, y J r, ϕ r sin(α dr dϕ πr sin(α + x, z y, z r, ϕ J dr dϕ r, ϕ NOTA: El área se puede obtener también fácilmente utilizando coordenadas cartesianas utilizando. Para la ecuación de la parte esférica utilizaríamos z R x y y para la ecuación del cono z m x + y, con x + y R sin(α. Las integrales dobles las resolveríamos utilizando coordenadas polares. e repiten las integrales anteriores multiplicando el integrando por z R cos(θ en e o por z r cos(α en c. Esto es, calculamos π α x, y Z e z x, z θ, ϕ y, z θ, ϕ J dθ dϕ θ, ϕ Z c π α π R π R R 3 cos(θ sin(θ dθ dϕ x, y z r, ϕ r cos(α sin(α dr dϕ 6 x, z y, z r, ϕ J dr dϕ r, ϕ

7 y Z c.g. ez e + c Z c e + c 4. Hallar el área de la superficie de un toro dado por las ecuaciones paramétricas x (b + a cos(θ cos(ϕ y (b + a cos(θ sin(ϕ z a sin(θ con b > a y θ [, π], ϕ [, π]. olución: Tras una operaciones obtenemos que x, y x, z θ, ϕ y, z θ, ϕ J a (b + a cos(θ θ, ϕ y por tanto A π π a (b + a cos(θ dθ dϕ 4 π a b 5. Hallar el área de la superficie del paraboloide z x + y, limitado por z. olución: A D + (z x + (z y dx dy π 6 ( Calcular el área de la parte del plano x + y + z a, limitada por x + y a, x, y, z. olución: A 3 4 π a. 7. Hallar el flujo del campo vectorai F (xz, yz, z a través de la porción de esfera de radio unidad que se encuentra en el primer octante. olución: La ecuación de la esfera en el primer octante viene dada por z f(x, y x y, x, y. En coordenadas cartesianas tenemos Φ F ds ( F f x F f y +F z dx dy 7 dx dy π 4.

8 8. Hallar el área total y el área de la intersección encerrada por las elipses (a > b x a + y b, x b + y a. olución: Tomaremos coordenadas elípticas, pero estas coordenadas serán distintas para cada elipse. Para la elipse alargada según el eje x tendremos { x ar sin(α y br sin(α con r [, ] y aunque tenemos α [, π] no significa que α sea el ángulo de las coordenadas polares. Por ejemplo, por la simetría del problema, las dos elipses se cortarán cuando x y. Por tanto, si igualamos ar sin(α br sin(α tan(α a ( a α arctan b b Con esto, un cuarto del área total será 4 A tot arctan a b arctan a b a b r dr dα a b arctan a b El área de la intersección se obtiene repitiendo los mismos pasos, pero siguiendo la otra elipse, donde las coordenadas son { x br sin(α y ar sin(α En estas nuevas coordenadas, las dos elipses se cruzan para el siguiente ángulo br sin(α ar sin(α tan(α b ( b α arctan a a Con esto, un cuarto del área de la intersección será arctan b 4 A a int arctan b a a b r dr dα a b arctan b a 9. Considera el campo vectorial F (y, y, xz y la superficie delimitada por los planos x + z 4, z y el cilindro (x + y 4. a Calcular el volumen y el área de la pieza. b Hallar el flujo del campo a través de la cara superior de la pieza. c Calcular el flujo de F a través de la misma superficie y comprueba el Teorema de tokes. 8

9 olución: a El volumen es V (4 xdx dy y utilizando polares (desplazadas dos unidades en el eje x { x + r cos(α y r sin(α V π ( r cos(αr dr dα 8 π. Respecto al área, tenemos que la parte inferior vale 4π. La superior π π (z x + (z y + r dr dα r dr dα 4 π Para el área lateral, podemos utilizar lo estudiado en integrales curvilíneas 3 z dl donde C es la curva que describe el perímetro de la parte superior de la pieza. La podemos parametrizar como siguie: con t [, π] 3 C z dl π C x + cos(t y sin(t z 4 x cos(t (x + (y + (z dt π + sin (t dt Esta integral no tiene solución explícita en términos de funciones elementales y habría que evaluarla numéricamente. b Φ F ds ( F f x F f y + F z dx dy (y + x z dx dy c Es el ejercicio hecho en la práctica 3. 9