Nombre/Código: Septiembre Parcial II

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1 1 Cálculo II Sección 1 Guillermo Mantilla Nombre/Código: Septiembre 11 1 Parcial II Instrucciones: Duración 7mins. Durante el examen no son permitidos libros, notas, calculadoras, celulares o en general dispositivos electrónicos de cualquier tipo. LA RESPUESTA A CADA PROBLEMA DEBE SER ESCRITA DE MANERA CLARA DENTRO DEL RECTANGULO DADO. Muestre cada paso de su solución en la PÁGINA DONDE APARECE EL PROBLEMA; no justificacción = no puntaje, aun si la respuesta dada es correcta. Problemas 1 /5pts /5pts 3 /3pts /pts Puntuación Total: /1pts

2 Preguntas Problem 1[5 pts]: Encuentre la longitud de la curva y = ln(sec(x)), x π/6. 1 ln( 3) = ln(3). π/6 La longitud de la curva está dada por 1 + (y ) dx. Como la derivada de y = sec(x) tan(x) π/6 ln(sec(x)) es y = = tan(x) la longitud es igual a 1 + tan (x) dx = sec(x) π/6 sec(x) dx = (ln(sec(x) + tan(x))) π/6 ( = ln ) ln(1) = ln( 3 ) = ln( 3) En caso que lo necesite cos(π/6) = 3/ y sin(π/6) = 1/.

3 3 Problem [5 pts]: Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de la curva y = x, x 15 alrededor del eje x. 168π. El área de la superficie de rotación está dada por π de y = x es y = 1 x el área es igual a π π ( ) x + 1 x x dx = π x y 1 + (y ) dx. Como la derivada ( ) x dx = ( ) x + 1 dx = π 3 (x )3/ = 8π 3 (163/ 1) = 8π 3 (3 1) = 8π 3 (6 1) = 8π (63) = 8π1 = 168π. 3

4 Problem 3[3 pts]: La curva C es definida por las ecuaciones paramétricas: x(t) = 6 t 1 + t, y(t) = t + 1t t. (3.a) [8 pts] Calcule dx/dt y dy/dt. dx dt = t (1 + t ) ; dy dt = 1(1 t ) (1 + t ). Utilizando la regla del cociente para derivar se encuentra que: dx dt = 8t(1 + t ) (6 t )(t) = t ( t 6 + t ) = t (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) dy dt = (t + 1)(1 + t ) (t + 1t + 1)(t) = t + t t t 3 t t (1 + t ) (1 + t ) = 1t + 1 = 1(1 t ) (1 + t ) (1 + t ) (3.b) [5 pts] Encuentre todos los puntos (x, y) sobre la curva C tales que la recta tangente a C en (x, y) es horizontal. (1, 6) y (1, ). La tangente es horizontal cuando = dy dt = 1(1 t ) (1 + t ) y dx dt = t. Es claro que (1 + t ) ésto pasa solamente ( para t = ±1. Por lo tanto los puntos con tangentes horizontales son 6 (x(1), y(1)) = 1 + 1, ) ( 6 = (1, 6) y (x( 1), y( 1)) = , ) = (1, ).

5 5 (3.c) [5 pts] Encuentre todos los puntos (x, y) sobre la curva C tales que la recta tangente a C en (x, y) es vertical. (6, 1). La tangente es vertical cuando = dx dt = t (1 + t ) y dy dt = 1(1 t ). Es claro (1 + t ) que ésto pasa ( solamente para t =. Por lo tanto el único punto con tangente vertical es 6 (x(), y()) = 1 +, ) = (6, 1). 1 + (3.d) [1 pts] Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (, 5). Note que (, 5) es el punto correspondiente a t = 1/. y = 3 x + 8. Del punto (a) tenemos que dy dx = dy dt /dx dt = 1(1 t ) t = t 1. t Evaluando en t = 1 obtenemos que la pendiente de la recta tangente a C en el punto (x(1/), y(1/)) = (, 5) es 3. Se sigue de lo anterior que la ecuación de la recta tangente a C en (, 5) es y= 3 3 (x ) + 5 = x + 8.

6 6 Problem [ pts]: (.a) [5 pts] Convierta el punto ( 1, 1) de coordenadas cartesianas a polares. ( ), 3π. r = ( 1) + 1 =. Para obtener el ángulo θ observe que ( 1, 1) está en el tercer cuadrante. Por lo tanto π θ es el único valor en [, π/) tal que tan(π θ) = 1 1 = 1. En otras palabras π θ = arctan(1) = π o equivalentemente θ = π π = 3π. (.b) [5 pts] Convierta el punto (, 3π ) de coordenadas polares a cartesianas. (, ). Sol 1: x = sin ( ) ( ) 3π 3π = ; y = cos =. Sol : El ángulo 3π indica que el punto está sobre el eje y en la dirección negativa. Como el radio es negativo se invierte el ángulo y se obtiene el punto en el eje y en dirección positiva de longitud igual a. En otras palabras (, ).

7 7 (.c) [1 pts] Identifique la curva r = sin(θ) + cos(θ). Círculo de radio centrado en (1, 1) Sol 1: Utilizando la identidad trigonométrica sin(θ + α) = sin(θ) cos(α) + cos(θ) sin(α) con α = π vemos que la ecuación que define la curva es r = sin(θ + π ). De lo visto en clase sabemos que la curva descrita por r = sin(θ) es elcírculo de radio centrado en (, ). Se sigue que r = sin(θ + π ) es también un circulo de radio, y para saber su centro sólo necesitamos saber donde va el punto (, ) después de rotarlo un angulo de π/ en dirección horaria. Como (, ) está sobre el eje y, la rotación de π lo envía sobre un punto en el primer cuadrante sobre la recta y = x. Dado que la rotación no cambia la longitud el punto debe ser (1, 1) Sol : Multiplicando por r la ecuación que define la curva i.e., r = cos(θ) + sin(θ) se obtiene que el punto (r, θ) sobre la curva también satisface la ecuación r = r cos(θ) + r sin(θ). Si r entonces podemos dividir la segunda ecuación por r para así obtener la primera. Dado que el origen, i.e., cuando r =, es un punto que satisface las dos ecuaciones (tome θ = π/ en la primera) se tiene que la curva es igual al conjunto de puntos que satisface la segunda ecuación. Pasando esta ecuación a coordenadas cartesianas, es decir utilizando que r = x + y, x = r cos(θ) y que y = r sin(θ) encontramos que la curva está definida por la ecuación cartesiana x + y = x + y. Completando cuadrados se obtiene (x 1) + (y 1) = es decir, el círculo de radio centrado en (1, 1).