CÁLCULO III (0253) PRIMER PARCIAL (33.33%) SECCIONES 02 Y 04 27/03/09. . π

Transcripción

1 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 Una curva C está definida por y = sen(x) x 0 y = x x 0 x + (y + ) = x 0 a Parametrice la curva C en sentido horario ( puntos) b Encuentre la ecuación cartesiana de la circunferencia osculatriz en el punto ( / ) ( puntos) Sea la curva t t r(t) = t t a Halle los puntos de intersección de su asíntota vertical y sus dos tangentes horizontales y calcule la distancia entre esos puntos b Determine las coordenadas de dos puntos críticos de la curva e indique si se trata de un máximo o un mínimo local ( puntos + punto) Sea la curva r(t) = (t t t ) a Halle τ(t) / κ (t) ( puntos) b Calcule W(0) = T' (0) + N' (0) + B' (0) 4 Sean las ecuaciones en coordenadas polares r = + sen( θ ) y r = + sen( θ ) a Identifique y grafique cada curva en un mismo sistema ( puntos) b Calcule los puntos de intersección entre estas curvas ( puntos) 5 Una partícula se mueve con vector posición r(t) = ta + t B + t A B donde A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de / Calcule el tiempo empleado para desplazarse una distancia de unidades de longitud de arco desde la posición inicial r(0) /

2 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 PREGUNTA Una curva C está definida por y = sen(x) x 0 y = x x 0 x + (y + ) = x 0 a Parametrice la curva C en sentido horario SOLUCIÓN ( puntos) Proceso de parametrización en el sentido indicado: (( ) puntos) C : y = sen(x) 0 x r (t) = (tsen(t)) 0 t C : y = x 0 x r (u) = ( u u) 0 u u + + t = u + r (t) = ( (t ) (t )) t + C : x + (y ) = x 0 r (s) = (cos(s) sen(s)) 5 5 s s t s = r (t) = (cos(t ) sen(t )) + t + Una parametrización de la curva frontera de la región R en sentido horario es: (t sen(t)) 0 t r(t) = ( (t ) (t )) t (cos(t ) sen(t )) + < t + Al graficar la región R se tiene (ver figura ): (05 puntos) Figura Representación gráfica de la curva de la pregunta b Encuentre la ecuación cartesiana de la circunferencia osculatriz en el punto ( / ) SOLUCIÓN ( puntos) Si se sustituye en la curva r(t) = (t sen(t)) el parámetro t por / se puede verificar que r( / ) = ( / ) de modo que se encontrará la circunferencia osculatriz para t = / Paso Cálculo de la curvatura en t = / (05 puntos) f ''( ) sen( ) k( ) = = = / / ( + (f '( )) ) ( + (cos( )) )

3 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 Paso Cálculo del vector normal en t = / r '( ) r''( ) r '( ) (cos( )0) (0 sen( )0) (cos( )0) N( ) = = r'( ) r''( ) r '( ) (cos( )0) (0 sen( )0) (cos( )0) (00) ( 0 0) (00) (00 ) (00) = = = (0 0) (00) (0 0) (00) (00 ) (00) Paso Cálculo del radio y el centro de curvatura en t = / (05 puntos) Radio de curvatura: R( / ) = = κ( / ) Centro de curvatura: C( / ) = ( / ) + (0 ) = ( / 0) Ecuación cartesiana de la circunferencia osculatriz: (x / ) + y = La circunferencia osculatriz y la curva se pueden apreciar en la figura Figura Circunferencia osculatriz y la curva de la pregunta PREGUNTA Sea la curva t t r(t) = t t a Halle los puntos de intersección de su asíntota vertical y sus dos tangentes horizontales y calcule la distancia entre esos puntos SOLUCIÓN Paso Cálculo de la asíntota vertical t t t t lím = 0 lím = + lím = 0 lím = t t t t t t t + t + ( puntos) Por lo tanto x = 0 es una asíntota vertical de la curva cuando t y cuando t + Paso Cálculo de r (t) t + t t + x'(t) = = ( t ) ( t ) t( t) + t t t + t t t t( t) y'(t) = = = = ( t) ( t) ( t) ( t) Paso Cálculo de las tangentes horizontales 5 y'(t) = 0 t = 0 ó t = x'(0) = x'() = 9 (05 puntos) La curva tiene una tangente horizontal en r(0) = (0 0) de ecuación y = 0 y otra en r () = ( 4) de ecuación y = 4

4 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 Paso 4 Cálculo de los puntos de intersección y su distancia A(00): Intersección asíntota vertical x = 0 y tangente horizontal y = 0 B(0 4) : Intersección asíntota vertical x = 0 y tangente horizontal y = 4 La distancia entre los puntos A y B es de 4 unidades de longitud (05 puntos) b Determine las coordenadas de dos puntos críticos de la curva e indique si se trata de un máximo o un mínimo local SOLUCIÓN Paso Crecimiento y decrecimiento de r(t): t - 0 x y (05 puntos) Paso Valores máximos y mínimos: (05 puntos) y(0) = 0 es un valor mínimo y y() = 4 es un valor máximo para la función y Coordenadas: P(00) mínimo local P( 4) máximo local PREGUNTA Sea r(t) = (t t t ) a Halle τ(t) / κ (t) SOLUCIÓN ( puntos) Paso Cálculo de r' (t) r'' (t) y r''' (t) (05 puntos) r' (t) = ( tt ) r'' (t) = (0 6t) r''' (t) = (006) Paso Cálculo de τ (t) (5 puntos) ( r'(t) r''(t)) r '''(t) (6 t t4 ) (006) 4 τ (t) = = = 4 4 r'(t) r''(t) 08t + 44t t + 44t + 48 = = 9t + t + 4 (t + ) 4 Paso Cálculo de κ (t) (075 puntos) r'(t) r''(t) 4 08t + 44t + 48 (t + ) κ (t) = = = = r'(t) (4 + t + 9t ) (t + ) (t + ) 4 / Paso 4 Cálculo de τ(t) / κ (t) (05 puntos) b Calcule W(0) = T' (0) + N' (0) + B' (0) SOLUCIÓN τ(t) / κ (t) = τ (t) = κ(t) t D( r) De acuerdo a las fórmulas de Frenet-Serret y en concordancia con el resultado anterior se tiene que: W(0) = T' (0) + N' (0) + B' (0) = κ (0)s'(0) N(0) + τ(0)s'(0) B(0) κ(0)s'(0) T(0) τ(0)s'(0) N(0) = κ (0)s'(0) N(0) + κ(0)s'(0) B(0) κ(0)s'(0) T(0) κ (0)s'(0) N(0) = κ(0)s'(0) B(0) T(0) (004 ) (00) = B (0) T (0) = B (0) T (0) = = ( 0) 4

5 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 PREGUNTA 4 Sean las ecuaciones en coordenadas polares r = + sen( θ ) y r = + sen( θ ) a Identifique y grafique cada curva en un mismo sistema SOLUCIÓN ( puntos) Paso Identificación de la primera curva (05 puntos) r = + sen( θ ) = + cos( θ ) Como a / b = entonces se trata de un cardioide con ángulo de rotación igual a / radianes Paso Identificación de la segunda curva r = = + sen( θ ) + cos( θ ) (05 puntos) Se tiene que la excentricidad es igual a por lo tanto se trata de una hipérbola con ángulo de rotación igual a / radianes Paso Gráfico de las curvas en un mismo sistema (Ver figura ) Figura Representación gráfica de las curvas en polares de la pregunta 4 b Calcule los puntos de intersección entre estas curvas SOLUCIÓN ( puntos) Paso Determinación de las representaciones de cada curva (05 puntos) Para el cardioide se tienen dos representaciones: r = + cos( θ ) r = + cos( θ ) Para la hipérbola se tienen dos representaciones: r = r = + cos( θ ) cos( θ ) Paso Búsqueda de los puntos de intersección (5 puntos) Sistemas a resolver de acuerdo a las representaciones establecidas: r = + cos( θ ) r = + cos( θ ) r = + cos( θ ) r = + cos( θ ) r = r = + cos( θ ) r = + cos( θ ) r cos( θ ) = cos( ) θ

6 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 Del primer sistema se tiene que: + sen( θ ) = (+ sen( θ ))( + sen( θ )) = + sen( θ ) + sen ( θ ) = + sen( θ) + sen( θ ) + sen ( θ ) = 0 ± ± 5 ± 5 sen( θ ) = = = De modo que se derivan dos situaciones: 5 sen( θ ) = No tiene solución sen( θ ) = θ = + k (k Z) y θ = + k (k Z) Si se toma θ 0 entonces se tienen los ángulos Las coordenadas polares de los puntos de intersección serían ( ) ( 5 ) De acuerdo al gráfico del inciso anterior ya se encontraron todos los puntos de intersección por tanto no hace falta resolver los demás sistemas Paso Verificación del polo como punto de intersección De acuerdo al gráfico el polo no es un punto de intersección PREGUNTA 5 Una partícula se mueve con vector posición / r(t) = ta + t B + t A B donde A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de / Calcule el tiempo empleado para desplazarse una distancia de unidades de longitud de arco desde la posición inicial r(0) SOLUCIÓN Paso Cálculo de r' (t) y r' (t) / r' (t) = A + tb + t A B / / r' (t) = r' (t) r' (t) = A + tb + t A B A + tb + t A B / / = A A + t( A B) + t ( A ( A B)) + t( B A) + 4t ( B B) + 4t t ( B ( A B)) / + t (( A B) A) + 4t t (( A B) B) + 4 t ( A B) ( A B) Paso Uso de propiedades para el cálculo de r'(t) Propiedades a usar: De manera que / A A = A = B B = B = A B = B A A B = A B cos( ) = 4 A B = A B sen( ) = ( A B) ( A B) = A B = A ( A B) = ( A B) A = 0 B ( A B) = ( A B) B = 0 ( puntos)

7 UCV FIUCV CÁLCULO III (05) PRIMER PARCIAL (%) SECCIONES 0 Y 04 7/0/09 / / / / 4 r' (t) = + t + t 0 t 4t 4t t 0 t 0 4t t 0 4 t r' (t) = + t + t + 4t + 4 t = 4t + 4t + = (t + ) r' (t) = t + Paso Cálculo de s(t) Por lo tanto t t t r' 0 r (0) 0 s(t) = (t) dt = (α + )d α = ( α + α ) = t + t = t + t = t + t = 0 (t + 4)(t ) t = 4 ó t = Como t debe ser mayor o igual a cero entonces se toma t =