Encuentre para el alambre: a. Las coordenadas de su centro de masa. (3 puntos) b. Su momento de inercia respecto al eje x.

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1 CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 Encuentre el área de la cerca indicada en la figura, que tiene por base la curva en coordenadas polares de ecuación r = + cos( θ ), con θ y se encuentra limitada superiormente por la superficie de ecuación z = x + y Figura Un alambre tiene la forma de una curva C que se obtiene al intersectar la porción de superficie cilíndrica de ecuación z = y ; y con la porción del plano de ecuación x + z = 4 ; x 4 La densidad del alambre en cada uno de sus puntos viene dada por ρ (x,y,z) = z 8y + Encuentre para el alambre: a Las coordenadas de su centro de masa (3 puntos) b Su momento de inercia respecto al eje x ( punto) 3 Sean el campo de fuerzas F(x,y,z) = ( y,x,z) y la curva C de intersección de las superficies x + y + z = x, z = x Calcule el trabajo realizado por el campo F al mover una partícula a lo largo de C en sentido antihorario visto desde la dirección positiva del eje z 4 Sea el campo de velocidades de un fluido xy xy xy F(x,y,z) = (ye cos(z) + y z + cos(x)cos(y),xe cos(z) + xyz sen(x)sen(y), e sen(z) + xy z) a Pruebe que F es conservativo ( puntos) b Calcule el flujo a lo largo de una curva C que una los puntos A(,,) y B(,, ) 4 ( puntos) 5 La curva C (epicicloide) tiene ecuaciones paramétricas x = 5 cos(t) cos(5t), y = 5sen(t) sen(5t), t y la curva C (circunferencia) tiene ecuación cartesiana x + y = 6 Use el teorema de Green para calcular el área de la región limitada por C y C como se indica en la figura Figura

2 CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 PREGUNTA Encuentre el área de la cerca indicada en la figura, que tiene por base la curva en coordenadas polares de ecuación r = + cos( θ), donde θ y se encuentra limitada superiormente por la superficie de ecuación z = x + y Figura Representación gráfica de la región de la pregunta Paso Parametrización de la curva C r ( θ ) = (( + cos( θ))cos( θ ),( + cos( θ))sen( θ)), θ Paso Cálculo de la norma del vector derivada ( punto) r' ( θ ) = ( + cos( θ )) + (sen( θ )) = + cos( θ ) + cos ( θ ) + sen ( θ ) = + cos( θ) θ = + cos( θ ) = cos( ) Paso 3 Dependencia de la superficie del parámetro de integración ( punto) θ z = x + y = ( + cos( θ)) cos ( θ ) + ( + cos( θ)) sen ( θ ) = + cos( θ ) = cos ( ) Paso 4 Cálculo del área de la cerca ( puntos) θ θ 3 θ 3 θ A = f(x,y)ds = 4 cos ( ) cos( ) dθ = 4 cos ( )dθ cos ( )dθ C θ 3 θ = 6(sen( ) sen ( )) = 6( ) = PREGUNTA Un alambre tiene la forma de una curva C que se obtiene al intersectar la porción de superficie cilíndrica de ecuación z = y ; y con la porción del plano de ecuación x + z = 4 ; x 4 La densidad del alambre en cada uno de sus puntos viene dada por ρ (x,y,z) = z 8y + Encuentre para el alambre: a Las coordenadas de su centro de masa Paso Parametrización de la curva C

3 CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 Proyectando en el plano xy se tiene que x + y = 4 ; y En consecuencia r(t) = (4 t,t,t ) r' (t) = ( t,,t) r' (t) = 8t + t Paso Cálculo de la masa del alambre 3 + C 8t t t 6 m = ρ (x, y, z)ds = 8t + dt = t dt = t dt = = 3 3 Paso 3 Cálculo de los momentos 3 xy C M = y ρ (x,y,z)ds = t dt =, ( punto) ( puntos) t t Myz = x ρ (x,y,z)ds = (4 t )t dt = (4t t )dt = = = C xz M = z ρ (x,y,z)ds = t dt = t dt = = C Paso 4 Cálculo del centro de masa Myz M M xz xy 4 centro de masa = (x,y,z) =,, =,, m m m 5 5 b Su momento de inercia respecto al eje x t ( punto) t t I x = (y + z ) ρ (x,y,z)ds = (t + t )t dt = (t + t )dt = + = + = C PREGUNTA 3 Sean el campo de fuerzas F(x,y,z) = ( y,x,z) y la curva C de intersección de las superficies x + y + z = x, z = x Calcule el trabajo realizado por el campo F al mover una partícula a lo largo de C en sentido antihorario visto desde la dirección positiva del eje z Paso Parametrización de la curva C Proyectando en el plano xy se tiene que (x ) y x + y + x = x x x + y = (x x + ) + y = + = 4 4 ( punto) En consecuencia r = + sen(t), + r' = cos(t), Paso Cálculo del trabajo mecánico T = F d r = F( r(t)) r'(t)dt C = ( sen(t), + cos(t), + cos(t)) ( sen(t), cos(t), sen(t))dt 4 4 = ( sen (t) + cos(t) + cos (t) sen(t) cos(t)sen(t))dt (3 puntos)

4 CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 4 4 = ( + cos(t) sen(t) cos(t)sen(t))dt 4 4 = dt + c os(t)dt sen(t)dt cos(t)sen(t)dt t sen(t) cos(t) sen (t) 4 8 = + + = PREGUNTA 4 Sea el campo de velocidades de un fluido xy xy xy F(x,y,z) = (ye cos(z) + y z + cos(x)cos(y),xe cos(z) + xyz sen(x)sen(y), e sen(z) + xy z) a Pruebe que F es conservativo ( puntos) xy xy P(x, y, z) = ye cos(z) + y z + cos(x) cos(y), Q(x,y,z) = xe cos(z) + xyz sen(x)sen(y), Se tiene: xy R(x,y,z) = e sen(z) + xy z R xy Q = xe sen(z) + 4xyz = y z, P xy = + = R ye sen(z) y z z x, Q xy xy P = e cos(z) + xye cos(z) + yz cos(x)sen(y) = x y Por lo tanto F es conservativo b Calcule el flujo a lo largo de la curva C que une los puntos A(,,) y B(,, ) 4 xy xy ( puntos) f(x,y,z) = (ye cos(z) + y z + cos(x)cos(y))dx = e cos(z) + xy z + sen(x)cos(y) + g(y,z) Por lo tanto xy xy xe cos(z) + xyz sen(x)sen(y) = xe cos(z) + xyz sen(x)sen(y) + g (y,z) g (y,z) = g(y,z) = h(z) y xy xy e sen(z) + xy z = e sen(z) + xy z + h'(z) h(z) = C Flujo = f(b) f(a) = xy f(x,y,z) = e cos(z) + xy z + sen(x)cos(y) + C PREGUNTA 5 C (epicicloide) tiene ecuaciones paramétricas dadas por x = 5cos(t) cos(5t), La curva y = 5sen(t) sen(5t) para t y la curva C (circunferencia) tiene ecuación cartesiana x + y = 6 Use el teorema de Green para calcular el área de la región limitada por C y C como se indica en la figura y

5 CÁLCULO INTERMEDIO APLICADO (64) PRIMER PARCIAL (%) 5//9 Figura Región de la pregunta 5 Curva ( C ): A = xdy ydx = xdy ydx xdy ydx = I I C C C x(t) = 5cos(t) cos(5t) x'(t) = 5sen(t) + 5sen(5t) y(t) = 5sen(t) sen(5t) y'(t) = 5cos(t) 5cos(5t) C I = xdy ydx = x(t)y'(t)dt y(t)x'(t)dt = x(t)y'(t) y(t)x'(t) dt = (5 cos(t) cos(5t))(5 cos(t) 5 cos(5t)) (5sen(t) sen(5t))( 5sen(t) + 5sen(5t)) dt = 5 cos (t) 3 cos(5t) cos(t) + 5 cos (5t) + 5sen (t) 3sen(5t)sen(t) + 5sen (5t) dt = 5 3(cos(5t) cos(t) + sen(5t)sen(t)) + 5 dt = cos(5t t)dt = cos(4t)dt = 3 + = 3 Curva ( C ): x(t) = 4cos(t) x'(t) = 4sen(t), y(t) = 4sen(t) y'(t) = 4cos(t) Por lo tanto C I = xdy ydx = x(t)y'(t)dt y(t)x'(t)dt = x(t)y'(t) y(t)x'(t) dt C C C = 6 cos (t) 6sen (t) dt = 8 dt = 6 A = xdy ydx = xdy ydx xdy ydx = 3 6 = 4