Integral Doble e Integral Triple

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1 Práctica 6 Integral Doble e Integral Triple Cambio de variable con coordenadas polares y coordenadas ciĺındricas. Cálculo Superior Instituto Tecnológico de Costa ica Escuela de Matemática Calcule y verifique los siguientes resultados, a) b) c) d) e) f ) g) h) i) x y y e xy dx dy = e (x + xy y ) dy dx = 975 x π/ x y y y xy dx dy = 5 π sen x y +y ( y sen x) x + x dx dy = 7 ( + x ) dx dy = 7 (y) dy dx = π dy dx = π + π 8 + ln( ) 8 (x y + xy ) dx dy = xy e x+y dy dx =. En cada caso, dibujar las región de integración y calcular las integrales en el orden dx dy. a) b) c) x+ x x e ln(y) dy dx / 5 dy dx / (x + y) dx dy / e

2 d) arc cos(y) dx dy /. Dibuje la región de integración y calcule la integral doble si, a) (x + y ) da donde es la región limitada por x =, x =, y = x + ; y =. b) c) d) { x da, donde = (x, y)/ x y, x y }. [ cos(x) sin(y) da donde =, π ] [, π ]. (x y) da donde es la región, en el primer octante, limitada por las rectas con ecuación x + y =, y = y las curvas de ecuación y = x, x = y.. En cada caso, determinar el valor de la integral iterada: x y ( ) + z a) dz dy dx / z b) c) d) e) f ) π/ π/ a (a y )/a h y a x x y 6 y x/ y/ 5. Calcular yz S r cos (θ) dr dθ dx / dz dx dy / 85 π 8a h 9, a y h constantes. ayz dz dy dx / a dz dx dy / 6 xyz dx dy dz / 8 9 ln() 6 dv (x + y + z + ) donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y el plano x + y + z =. / ln() 6. Considere la integral I, donde I = a) Dibuje le región de integración. y y b) eescriba I con el orden de integración dy dx. 7. El área de una región del plano xy está dada por: f(x, y) dx dy.

3 a) Dibuje la región. A = x/+ dy dx + 9 x/+5/ x/+ dy dx b) Plantee las integrales dobles correspondientes al área de la región, invirtiendo el orden integración. c) Calcule el área de la región. / A = El área de la región del plano xy está dada por: a) Dibuje la región. A = x x dy dx + x x dy dx b) Plantee las integrales dobles correspondientes al área de la región, invirtiendo el orden integración respecto a las integrales dadas. c) Calcule el área de la región. 9. Cambio de variable: polares, cilíndricas y esféricas. a) Calcule el área de la región sombreada (entre la recta x = y el círculo r = ) en la figura que π sigue. /. b) Calcular el área de la región limitada por las circunferencias x + y = x, (x ) + y = 6 y las rectas y = y y = x. / 6 + π. 6 8 Ayuda: cos t dt = t/ + sen(t) + C. c) Calcular el área de la región limitada por las circunferencias x + y = x, (x ) + y = 6 y las rectas y = x y y = x. / 6/5 π + arctan().

4 d) Calcular el área de la región que es la parte común al círculo de ecuación x + y = x y al círculo de ecuación x + y = y. / π. Ayuda: sen θ dθ = t/ sen(t) + C. e) Calcular el área de la región limitada por la cardioide r = ( + cos θ) y la circunferencia r =, tal y como se muestra en la figura que sigue. / 8 + π. f ) Calcular el área de la región limitada por el lazo de la curva r = / + cos θ. / /8 + π/. θ=π/ θ= π/ Ayuda: notar que el lazo tiene ecuación r = / + cos θ, π/ θ π/. g) Calcular el área de la región limitada por la curva (x + y ) = x y con x, y. / π/8.

5 5 Ayuda: en este caso, los límites de integración son las tangentes al polo. Si hacemos el cambio de variable x = r cos θ y y = r sen θ obtenemos r = sen(θ). Los límites de integración son las rectas (tangentes al polo) θ = y θ = π/. Tangentes al polo: Las tangentes a la curva r = f(θ) son rectas con pendiente m = dy/dθ dx/dθ. Un cálculo rápido nos da m = f(θ) cos θ + f (θ) sen θ f(θ) sen θ f (θ) cos θ. Para determinar las tangentes al polo, resolvemos r = f(θ) =. Si θ = α es una solución de la ecuación f(θ) =, para la cual f (α) y cos α, entonces la recta tangente tiene pendiente m = f (α) sen α f = tan α y entonces θ = α sería una tangente al polo. (α) cos α Un caso especial es cuando tenemos α = π/, el eje, como tangente (vertical) al polo. Otro caso especial es cuando f no está definida en α pero m si se puede calcular usando un límite unilateral para la derivada, como en el ejercicio que sigue. h) Calcular el área de la región limitada por la curva (x + y ) = (x y ). /. Ayuda: usando coordenadas polares se obtiene r = cos θ con θ ] π/, π/ [ ] π/, 5π/ [. Ver el ejemplo (página ) del material complementario.. Efectuando un cambio de variable a coordenadas polares, calcular a) b) c) y x + y dy dx x dx dy x + y a a x x + y dy dx, a es constante positiva.

6 6 d) a ax x. Calcular S x dv (x + y ) dy dx, a es constante positiva. donde S es el recinto limitado por los planos coordenados y la esfera de radio a y centro en el origen, en el primer octante. /. Verifique que el volumen de un cilindro recto de radio y altura h, es π h. a 5 π 5. Plano z = h h. Verifique que el volumen una esfera de radio es π.. Verifique, usando coordenadas cilíndricas, que el volumen de un cono de altura H y radio es Hπ. H Ayuda: El cono está limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficie z H = y + y.

7 Calcule el volumen del so lido Q limitado por la esfera x + y + z = y el cilindro x + (y ) = 8, z, como se especifica en la figura que sigue. / (/ π). Ayuda: cos x dx = sin(t) sin( t) Calcule el volumen del casquete, de altura h, de una esfera de radio, tal y como se especifica en la π h ( h). figura que sigue. / h h z=-h 7. Verifique, que el volumen de un cono de altura H y radio es h - h Hπ. H Ayuda: El cono esta limitado arriba por el plano z = H y abajo por la superficie z y y = +. H

8 8 Observe que sec ϕ tan ϕ dϕ = Además usar la identidad cos(arctan(x)) = sec ϕ(sec ϕ tan ϕ) dϕ = sec ϕ x +. + K, pues (sec x) = sec x tan x. 8. Considere el sólido Q limitado por el casquete de esfera y + x + z = y el plano z = / Verifique que Q 6z dv = π a.) Usando coordenadas cilíndricas. b.) (*) Usando coordenadas esféricas. 9. Considere el sólido Q limitado por la esfera x + y + z = y el cono z = x + y. con z. a.) Verificar que z dv = π, usando coordenadas cilíndricas. b.) (*)Verificar que Q Q z dv = π, usando coordenadas esféricas.. Calcule el volumen de los siguientes sólidos.

9 9 a) Calcule, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido Q limitado por la porción de paraboloide z = x y, la porción de esfera x + y + z = 6 y el plano x = y; en el primer octante. y=x b) Sólido Q limitado por las superficies y + x =, z = x y x = y = z =. c) Sólido Q limitado por las superficies y + x = 6, z = x / y x = y = z =. 6 d) Sólido Q limitado por las superficies z + y =, y = x y x = y = z =.

10 e) Sólido Q limitado por las superficies z + y = 6, y = x y x = y = z =. 6 6 f ) Sólido Q 5 limitado por las superficies z =, y + x = y z =. g) Sólido Q 6 limitado por las superficies z + y =, y + x = y z =.

11 h) Sólido Q 7 limitado por el casquete de esfera y + x + z = y el plano z = / i) Sólido Q 8 limitado por el casquete de esfera y +x +z = y el cilindro x +y = /, con z. j ) Sólido Q 9 limitado por el casquete de esfera y + x + z = y el cono z = x + y con z

12 k) Sólido Q limitado por el paraboloide z = y + x y los planos z = y z = ; en el primer octante. l) Sólido Q limitado por el paraboloide z = y + x y los planos x = y, z = y z = ; en el primer octante. m) Sólido Q limitado por el paraboloide y = x z y los planos x =, y =, z = con x, y y z.

13 n) Sólido Q limitado por las superficies z = y +, y + x = y z =. - ñ) Sólido Q limitado por las superficies y = x +, y + z = 5 y z =. 5 o) Sólido Q 5 limitado por las superficies z = x y, z = y x =, y = con x, y.

14 p) Sólido Q 6 limitado por las superficies z = x y y z = + x + y q) Sólido Q 7 limitado por las superficies z = x, x + y =, z = y z = y = r) Sólido Q 8 limitado por las superficies x + z =, y + x =, z =, y y =, x =. s) Sólido Q 9 limitado por las superficies z = x, y + z = 8, y = x, x =, z = y x.

15 5 t) Sólido Q limitado por las superficies z = x /, y = 6 x, y = x, y y = ; en el primer octante.

16 Bibliografía [] Louis Brand. Advanced Calculus. An Introduction to Classical Analysis. Wiley & Sons, Inc [] Claudio Pita. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall [] Sherman Stein. Cálculo con Geometría Analítica. McGraw-Hill. 98. [] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 967 [5] Jorge Poltronieri. Cálculo Integral: Integración Múltiple. Editorial Cimpa. ra ed. Escuela de Matemática, Universidad de Costa ica. 6. [6] Jerrold Marsden, Anthony Tromba. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley. ra ed